En el análisis funcional, la extensión de Friedrichs del es una extensión canónica del uno mismo-adjoint de un operador simétrico denso definido no negativo . Se nombra después Kurt Friedrichs del matemático. Esta extensión es particularmente útil en las situaciones donde un operador puede no poder ser el uno mismo-adjoint esencialmente o cuyo uno mismo-adjointness esencial es difícil de demostrar.

Un T del operador es no negativo si

$\backslash \; langle\; \backslash \; XI\; \backslash \; mediados\; de\; T\; \backslash \; XI\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \; patio\; \backslash \; XI\; \backslash \; en\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; T$ de los dom

Ejemplos

Ejemplo . La multiplicación por una función no negativa en un L espacio de ² es operador no negativo del uno mismo-adjoint. Dejar el U ser un sistema abierto en el n del ^{del R . En el L 2 ( U ) consideramos el los operadores diferenciados de la forma}

$\backslash \; phi\; (x)\; =\; -\; \backslash \; sum\_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; partial\_\; \{x\_i\}\; \backslash \; \{a\_\; \{i\; j\}\; (x)\; \backslash \; partial\_\; \{x\_j\}\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \}\; \backslash patiox\; \backslash \; en,\; \backslash \; phi\; \backslash \; en\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; \_0^\; de\; U\; \backslash \; infty\; (U),$

donde está funciones el de las funciones un i j del _{de con valores reales infinitamente diferenciables en el U . Consideramos el T que actúan en el subespacio denso de funciones complejo-valoradas infinitamente diferenciables de la ayuda compacta, en símbolos $del$}

l \ operatorname {C} _0^ \ infty (U) \ subseteq L^2 (U).

Si para cada &isin del x ; U los × del n ; matriz del n el $del$

l \ comienza {el a_ del bmatrix} {1 1} (x) y el a_ {1 2} (x) y \ los cdots y \ del a_ {1 n} (x) \ a_ {2 1} (x) y a_ {2 2} (x) y \ los cdots y \ \ \ del a_ {2 n} (x) los vdots y \ los vdots y \ los ddots y \ \ de los vdots \ a_ {n 1} (x) y a_ {n 2} (x) y \ los cdots y el a_ {n n} (x) \ extremo {bmatrix}

es semi-definite no negativo, después el T es operador no negativo. Esto significa (a) que la matriz es el hermitiano y

$\backslash \; sum\_\; \{i,\; j\}\; a\_\; \{i\; j\}\; (x)\; c\_i\; \backslash \; overline\; \{\}\; \backslash \; geq\; 0$ del c_j

para cada opción del c ₁ de los números complejos,…, c _n. Esto es probada usar la integración por las piezas .

Estos operadores son el elíptico aunque en operadores elípticos generales pueden no ser no negativos. Los sin embargo limitan de debajo.

Definición de la extensión de Friedrichs

La definición de la extensión de Friedrichs se basa en la teoría de formas positivas cerradas en los espacios de Hilbert. Si el T es no negativo, entonces, \ eta del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {Q} (\ XI) = \ langle \ XI \ mediados de T \ + \ langle \ XI \ mediados de \ eta \ rangle del eta \ del rangle

es una forma sesquilinear en el T de los dom y, \ XI del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {Q} (\ XI) = \ langle \ XI \ mediados de + \ langle \ XI \ mediados de \ XI \ rangle \ geq de T \ XI \ rangle \|\ XI \|^2.

Así Q define un producto interno en el T de los dom. Dejar el H ₁ ser la terminación de los dom que el T con respecto al H ₁ del Q. es un espacio abstracto definido; por ejemplo sus elementos pueden ser representados mientras que la equivalencia clasifica de las secuencias de Cauchy de elementos del T de los dom. No es obvio que pueden todos los elementos en el H ₁ identificado con los elementos del H . Sin embargo, lo que sigue puede ser probado:

La inclusión canónica

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; T\; \backslash \; rightarrow\; H$ de los dom

extiende a un &rarr continuo inyectivo del H ₁ del mapa del ; H . Miramos el H ₁ como subespacio del H .

Definir un A del operador cerca

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; A\; de\; los\; dom\; =\; \backslash \; \{\backslash \; XI\; \backslash \; en\; H\_1:\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; XI:\; \backslash \; eta\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; operatorname\; \{Q\}\; (\backslash \; XI,\; \backslash )\; \backslash \; mbox\; del\; eta\; \{es\; linear\; limitada.\}\; \backslash \}$

En la fórmula antedicha, el limitado está concerniente a la topología en el H ₁ heredado del H . Por el teorema de la representación de Riesz se aplicó al &phi funcional linear; _ξ ampliado al H, hay un &xi único del A ; ∈ H tales que, \ eta del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {Q} (\ XI) = \ langle A \ XI \ mediados de \ eta \ rangle \ patio \ eta \ en H_1

Teorema . El A es operador no negativo del uno mismo-adjoint tales que el A del T ₁= - I extiende el T .

El T ₁ es la extensión de Friedrichs del T .

Teorema de Krein en extensiones no negativas del uno mismo-adjoint

El M. Krein ha dado una caracterización elegante de todas las extensiones no negativas del uno mismo-adjoint de un no negativo T del operador simétrico.

Si el T, S es operadores no negativos, escribir $T\; \backslash \; leq\; S$ del

l

si, y solamente si,
$del$

\ operatorname {dom} (s) \ subseteq \ operatorname {dom} (t)
$del$

\ langle \ XI \ mediados de T \ XI \ rangle \ leq \ langle \ XI \ mediados de S \ XI \ rangle \ patio \ forall \ XI \ en \ operatorname {dom} (s)

Teorema . Hay el único T _min de las extensiones del uno mismo-adjoint y el T _max de cualquier no negativo T del operador simétrico tales que

$T\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; leq\; T\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{máximo\}\},$ del mathrm {minuto}

y cada no negativo S de la extensión del uno mismo-adjoint del T está entre el T _min y el T _max, es decir

$T\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; leq\; S\; \backslash \; leq\; T\_\; del\; mathrm\; \{minuto\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{máximo\}\}.$

La extensión de Friedrichs del T es el T _min.

Ver también

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