En la álgebra del extracto, un $algebraico\; L/K$ de la extensión del campo reputa el normal si el $L$ es el campo que parte de una familia de los polinomios en el $K$. El Bourbaki llama tal extensión una extensión de los quasi-Galois .

Características y ejemplos equivalentes

Las condiciones siguientes son equivalentes al $L/K$ que es una extensión normal:

jó $K^a$ ser un encierro algebraico de $K$ que contenía $L$. Cada que encaja el σ de de $L$ en $K^a$ que restrinja a la identidad en $K$, satisface σ$(L)=L$. Es decir el σ es un automorfismo de $L$ sobre $K$.

que cada polinomio irreducible en $K$ que tenga una raíz en $L$ descomponga en factores en factores lineares en $L$.

Por ejemplo, el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash raíz\; cuadrada\{2\})$ es una extensión normal del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$, puesto que es el campo que parte de $x^2-2$. Por una parte, el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})$ no es una extensión normal del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$ puesto que el $x^3-2$ polinómico tiene una raíz en él (a saber, $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}$), pero no de todos (no tiene las raíces cúbicas non-real de 2).

El hecho de que el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})$ no sea una extensión normal del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$ se puede también probar usar la primera de las dos características equivalentes de arriba. El $delcampo\backslash \; el\; mathbb\; \{A\}$ de los números algébricos complejo es un encierro algebraico del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$ que contienen el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})$. Por una parte

$\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})\; =\; \backslash \; \{a+b\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{2\}\; +c\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{4\}\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash ,\; de\; A|\backslash ,\; a,\; b,\; c\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \}\; de\; Q$ y, si el ω es una de las dos raíces cúbicas non-real de 2, después mapa

de la raíz cuadrada {4} es una encajadura del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})$ en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{A\}$ cuya restricción al $\backslash \; al\; mathbb\; \{Q\}$ es la identidad. Sin embargo, el σ no es un automorfismo del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})$.

Otras características

Dejar $L$ ser una extensión de un campo $K$. Entonces:

si la extensión es normal y si $E$ es un campo tales que $L$  ⊃   $E$  ⊃   $K$, entonces $L$ es también una extensión normal de $E$.

si $E$ y $F$ son extensiones normales de $K$ contenido en $L$, entonces $EF$ y $E$  ∩   $F$ son también extensiones normales de $K$.