En las matemáticas, un algebraico L / K de la extensión del campo es el separable si puede ser generado colindando al K un sistema cada uno cuyos de elementos esté una raíz de un polinomio separable sobre el K . En ese caso, cada β en L tiene un polinomio mínimo separable sobre el K .

La condición de la posibilidad de separación es central en la teoría de Galois . Un campo perfecto es uno para el cual (equivalente, algebraico) las extensiones todo finitas son separables. Existe un criterio simple para el perfectness: un F del campo es perfecto si y solamente si
el F del

tiene característico 0, o
El F tiene un característico diferente a cero p, y cada elemento del F tiene un p - raíz del th en el F .

Equivalente, la segunda condición dice que el endomorphism de Frobenius F, $x\; \backslash \; mapsto\; x^p$, es un automorfismo .

Particularmente, todos los campos característico 0 y todos los campos finitos son perfectos. Esto significa que la condición de la posibilidad de separación se puede asumir en muchos contextos. Los efectos de la inseparabilidad (necesario para el infinito K del característico p ) se pueden considerar en el teorema del elemento primitivo, y para el producto de tensor de los campos .

Dado un L / K de la extensión finita de campos, hay un más grande M del subcampo del L que contiene el K tales que el M es una extensión separable del K . Cuando el M = el K el L / K de la extensión se llama una extensión puramente inseparable . En general una extensión algebraica descompone en factores como extensión puramente inseparable de una extensión separable, puesto que el compositum de una familia de extensiones separables es otra vez separable.

Las extensiones puramente inseparables ocurren por razones absolutamente naturales, por ejemplo en la geometría algebraica en el característico p . Si el K es un campo del característico p, y el V una variedad algebraica sobre el K de la dimensión > 0, considerar el K ( V ) del campo de la función y su p del ^{del K ( V ) del subcampo p - energías del th. Esto es siempre una extensión puramente inseparable. Tales extensiones ocurren tan pronto como una mire la multiplicación por el p en una curva elíptica sobre un campo finito del característico p .}

Haciendo frente al no-perfecto K, uno de los campos introduce el separable K ^sep del encierro dentro de un encierro algebraico, que es el subextension separable más grande del K del K ^alg/. Entonces la teoría de Galois se puede realizar dentro del K ^sep.