En el análisis numérico, la extrapolación de Richardson del es un método de la aceleración de la secuencia, usado para mejorar el índice de la convergencia de una secuencia . Se nombra después de la fritada Richardson de Lewis, que introdujo la técnica en el siglo a principios de siglo 20. En las palabras Birkhoff y de la nómina, " … su utilidad para los cómputos prácticos puede apenas ser overestimated."

Definición simple

Suponer que el A ( h ) es una valoración del hn de la orden para A= \ lim_ {h \ a 0} A (h), es decir A-A (h) = a_n h^n+O (h^m), ~a_n \ ne0, ~m>n. Entonces R del (h) = A (h/2) + \ frac {A (h/2) - = \ frac {2^n de A (h)} {2^n-1} \, A (h/2) - A (h)} {2^n-1} se llama el Richardson extrapolan del A ( h ); es una estimación del hm de la orden para el A, con el m>n del .

Más generalmente, el factor 2 se puede substituir por cualquier otro factor, como se muestra abajo.

Muy a menudo, es mucho más fácil obtener una precisión dada usando el R (h) algo que el A (el h') con un h mucho más pequeño, que del puede causar los problemas debido a la precisión limitada (errores de redondeo) y/o debido al número cada vez mayor de cálculos necesitó (véase los ejemplos abajo).

Fórmula general

Dejar el A ( h ) sea una aproximación del A que depende de un positivo h del tamaño de paso con una fórmula del error del A - A del de la forma (h) = a_0h^ {k_0} + a_1h^ {k_1} + a_2h^ {k_2} + \ los cdots donde está desconocido el ai los constantes y el ki son constantes sabidos tales que el hki > el hki+1 .

El valor exacto buscado se puede dar por el del A = A (h) + a_0h^ {k_0} + a_1h^ {k_1} + a_2h^ {k_2} + \ los cdots cuál se puede simplificar con la notación grande O para ser del A = A (h)+ a_0h^ {k_0} + O (h^ {k_1}). ¡\, \!

Usar el h de los tamaños de paso y el h/t de para un cierto t, las dos fórmulas para el A están: ¡

A = A (h)+ a_0h^ {k_0} + O () \, \! del h^ {k_1} del
de A = A \ ido (\ frac {h} {t} \ derecho) + a_0 \ (\ frac {h} {t} \ derecho) ^ dejado {k_0} + O (h^ {k_1}).

Multiplicar la segunda ecuación por el tk 0 del y restar la primera ecuación da el del (t^ {k_0} - 1) A = el t^ {k_0} A \ se fueron (\ frac {h} {t} \ derecho) - A (h) + O (h^ {k_1}) cuál se puede solucionar para el A para dar = \ frac {t^ {k_0} A \ se fue (\ frac {h} {t} \ derecho) - A del A del (h)} {t^ {k_0} - 1} + O (h^ {k_1}).

Por este proceso, hemos alcanzado una mejor aproximación del A restando el término más grande del error que era el O ( k 0 del del h ). Este proceso se puede repetir para quitar más términos del error para conseguir incluso mejores aproximaciones.

Una relación de repetición general se puede definir para las aproximaciones por = \ frac de A_ del del {i+1} (h) {el t^ {k_i} A_i \ se fue (\ frac {h} {t} \ derecho) - A_i (h)} {t^ {k_i} - 1} tales que del A = A_ {i+1} (h) + O (h^ {k_ {i+1}}).

Un uso práctico bien conocido de la extrapolación de Richardson es la integración de Romberg, que aplica la extrapolación de Richardson a la regla del trapecio.

Debe ser observado que la extrapolación de Richardson se puede considerar como transformación linear de la secuencia.

Ejemplo

Usar el teorema de Taylor, f del (x+h) = f (x) + f'(x) h + \ + \ cdots del frac { de f (x)} {2} h^2 el derivado del de f ( de x) es dado tan por = \ frac {f del f'(del x) (x+h) - f (x)} {h} - \ + \ cdots. del frac {f (x)} {2} h

Si las aproximaciones iniciales del derivado se eligen para ser el
A_0 del
(h) = \ frac {f (x+h) - f (x)} {h} entonces ki = i +1.

Para el t = 2, la primera fórmula extrapolada para el A sería A del = 2A_0 \ dejó (\ frac {h} {2} \ derecho) - A_0 (h) + O (h^2).

Para el nuevo
A_1 (h) = 2A_0 \ ido (\ frac {h} {2} \ derecho) - A_0 del
de la aproximación (h) podemos extrapolar otra vez para obtener = \ frac del del A {4A_1 \ se fue (\ frac {h} {2} \ derecho) - A_1 (h)} {3} + O (h^3).

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