La fórmula de De Moivre del, nombrada después Abraham de Moivre, indica que para cualquier x del número complejo (y, particularmente, para cualquie número verdadero ) y cualquier n del número entero sostiene eso el $del$

l \ salió (\ lechuga romana x+i \ pecado x \ derecho) del ^n= \ de lechuga romana \ salió (nx \ derecho) de +i \ de pecado \ se fue (nx \ derecho). \,

La fórmula es importante porque conecta los números complejos (el i representa la unidad imaginaria ) y la trigonometría . El " de la expresión; x de lechuga romana + " del x del pecado del i ; se abrevia a veces al " " cis del x ;.

Ampliando el lado de mano izquierda y después comparando las piezas verdaderas e imaginarias, es posible derivar las expresiones útiles para lechuga romana (nx del ) y el pecado (nx del ) en términos de lechuga romana ( x ) y el pecado ( x ). Además, uno puede utilizar esta fórmula para encontrar las expresiones explícitas para el n - raíces del th de la unidad, es decir, z de los números complejos tales que el zⁿ = 1.

Derivación

Aunque esté probada históricamente anterior, la fórmula de Moivre se pueda derivar fácilmente de la fórmula de Euler = \ lechuga romana x del $e^\; del$

l {IX} + i \ pecado x \,

y la ley exponencial $del$

l \ (e^ {IX} \ derecho) ^n = e^ dejados {inx}. \,

Entonces, por la fórmula de Euler, $e^\; del$

l {i (nx)} = \ lechuga romano (nx) + i \ pecado () \, del nx .

Prueba por la inducción

Consideramos tres casos.

Para el n > 0, procedemos por la inducción matemática . Cuando el n = 1, el resultado es claramente verdad. Para nuestra hipótesis, asumimos que el resultado es verdad para un cierto positivo k del número entero. Es decir, asumimos el $del$

l \ salió (\ lechuga romana x + i \ el pecado x \ derecho) de = \ lechuga romana del ^k \ se fue (KX \ derecho) + i \ pecado \ se fue (KX \ derecho). \,

Ahora, en vista del n del caso = k + 1:

$\backslash \; comenzar\; \{alignat\}\; \{2\}\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x+i\; \backslash \; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{k+1\}\; y\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x+i\; \backslash \; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; de\; k\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x+i\; \backslash \; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; se\; fue\; +\; i\; \backslash \; pecado\; \backslash \; se\; fue\; (KX\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x+i\; \backslash \; pecado\; x\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; del\; qquad\; \backslash \; del\; mbox\; \{por\; lahipótesisde\; la\; inducción\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romano\; \backslash \; se\; fue\; (KX\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; lechuga\; romano\; x\; -\; \backslash \; pecado\; \backslash \; se\; fue\; (KX\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; pecado\; x\; +\; i\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (KX\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; pecado\; x\; +\; \backslash \; pecado\; \backslash \; se\; fue\; (KX\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; lechuga\; romana\; x\; \backslash \; \backslash \; derecho\; \backslash \; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (k+1\; \backslash \; derecho)\; x\; \backslash \; derecho\; +\; i\; \backslash \; pecado\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (k+1\; \backslash \; derecho)\; x\; \backslash \; derecho\; \backslash \; qquad\; \backslash \; el\; mbox\; \{por\; las\; identidades\; trigonométricas\}\; \backslash \; extremo\; \{alignat\}$

Deducimos que el resultado es verdad para el n = el k + 1 cuando es verdad para el n = el k . Por el principio de inducción matemática sigue que el resultado es verdad para todo el &ge positivo del n de los números enteros; 1.

Cuando el n = 0 la fórmula es verdad desde el $\backslash \; lechuga\; romana\; (0x)\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; (0x)\; =\; 1\; +\; i0\; =\; 1$, y (por la convención) $z^0\; =\; 1$.

Cuando el n < 0, nosotros considera un positivo m del número entero tales que el n = − m . Tan $del\; \backslash \; comenzar\; \{alignat\}\; \{2\}\; \backslash \; dejó\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; el\; ^\; \{n\}\; y\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; del\; ^\; \{-\; m\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; (\backslash \; lechuga\; romana\; x\; +\; i\; \backslash \; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{m\}\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; lechuga\; romana\; MX\; +\; i\; \backslash \; MX\; del\; pecado\; \backslash \; derechos)\}\backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; dejó\; (MX\; \backslash \; derecho)\; -\; i\; \backslash \; pecado\; \backslash \; dejó\; (MX\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; se\; fue\; (-\; MX\; \backslash \; derecho)\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; \backslash \; dejó\; (-\; MX\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; se\; fue\; (nx\; \backslash \; derecho)\; +\; i\; \backslash \; pecado\; \backslash \; se\; fue\; (nx\; \backslash \; derecho).\; \backslash \; extremo\; \{alignat\}$

Por lo tanto, el teorema es verdad para todos los valores de número entero del n .

Generalización

La fórmula es realmente verdad en un ajuste más general que indicada arriba: si el z y el w son números complejos, entonces $del$

l \ (\ lechuga romana z + i \ pecado z \ derecho) ^w dejado

es una función polivalente mientras que

$\backslash \; lechuga\; romano\; (wz)\; +\; i\; \backslash \; pecado\; ()\; \backslash ,\; del\; wz$

no es. Por lo tanto uno puede indicar eso

$\backslash \; lechuga\; romano\; (wz)\; +\; i\; \backslash \; pecado\; ()\; \backslash ,\; del\; wz$          es un of  del valor;         el $\backslash \; salió\; (\backslash \; lechuga\; romana\; z\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; z\; \backslash \; derecho)\; del\; ^w\; \backslash ,$.

Usos

Esta fórmula se puede utilizar para encontrar las raíces del $n^\; \{th\}$ de un número complejo. Si $z$ es un número complejo, escrito en forma polar como el $z=r\; del$

l \ salió (\ lechuga romana x+i \ pecado x \ derecho) de, \,

entonces

$z^\; \{1/n\}\; =\; \backslash \; ido\; r\; \backslash \; ido\; (\backslash \; lechuga\; romana\; x+i\; \backslash \; pecado\; x\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; right^\; \{1/n\}\; =\; r^\; \{1/n\}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{x+2k\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; +\; i\; \backslash \; pecado\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{x+2k\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho$

donde está un número entero $k$, conseguir al $n$ diversas raíces de $z$ uno necesita solamente considerar valores de $k$ de $0$ a $n-1$.

Ver también

Fórmula de Euler
Raíz de la unidad

.

Zenithic

Duke Energy

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