el

l este artículo está sobre la fórmula de Euler en complejo del análisis de . Para la fórmula de Euler en teoría de gráfico y combinatoria polihédrica ver el Euler característico. Ver también los asuntos nombrados después de Euler .

La fórmula de Euler indica que, para cualquie x del número verdadero, ¡= \ lechuga romana del $e^\; del$

l {IX} (x) + i \ pecado (x) \!

donde el $e\; del$

l \, es la base del logaritmo natural el $i\; \backslash ,\; del$

l es la unidad imaginaria

$\backslash \; lechuga\; romana\; (x)\; \backslash !$ y style=" del $\backslash \; pecado\; (x)\; \backslash !$ son las funciones trigonométricas

El Richard Feynman llamó el " de la fórmula de Euler; nuestro jewel" y " la fórmula más notable del mathematics".

Historia

La fórmula de Euler era probado por primera vez al lado de los corrales de Rogelio en el 1714 en la forma $\backslash \; ln\; del$

l (\ lechuga romana (x) + =ix \ de i \ del pecado (x))

(donde " ln" significa el logaritmo natural, es decir registro con el bajo e ).

Era Euler que publicó la ecuación en su forma actual en el 1748, basando su prueba en la serie infinita de ambos lados que eran iguales. Ni unos ni otros de estos hombres vieron la interpretación geométrica de la fórmula: la vista de números complejos como puntos en el plano complejo se presentó solamente unos 50 años más adelante (véase el Caspar Wessel ). Euler consideraba natural presentar a estudiantes a los números complejos mucho anteriores que lo hacemos hoy. En su libro de texto de la álgebra elemental, Los elementos del de la álgebra, él introduce estos números casi inmediatamente y después los utiliza de una manera natural en todas partes.

Usos en teoría de número complejo

La fórmula de Euler del, nombrada después Leonhard Euler, es una fórmula matemática en el análisis complejo que demuestra una relación profunda entre las funciones trigonométricas y la función exponencial complejo. (la identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler.)

Esta fórmula se puede interpretar como diciendo que el IX del ^{del e de la función traza el círculo de unidad en el plano del número complejo como gamas del x con los números verdaderos. Aquí, el x es el ángulo que una línea que conecta el origen con un punto en el círculo de unidad hace con el eje verdadero positivo, medido al revés a la derecha y en los radianes la fórmula es válida solamente si el pecado y lechuga romana toman sus discusiones en radianes algo que grados.}

La prueba original se basa en las extensiones de la serie de Taylor del z del ^{del e de la función exponencial (donde está un número el z complejo) y de sin  x y cos  x para el x de los números verdaderos (véase abajo). De hecho, la misma prueba demuestra que la fórmula de Euler es incluso válida para todo el complejo z de los números del .}

La fórmula de Euler se puede utilizar para representar números complejos en los coordenadas polares . Cualquie z del número complejo =   del x ; +  el iy se puede escribir como $del$

l z = x + iy = |z| (\ lechuga romana \ phi + i \ pecado \ phi) = |z| e^ {} \, de i \ de la phi $del$
de \ barra {z} = x - iy = |z| (\ lechuga romana \ phi - i \ pecado \ phi) = |z| e^ {-} \, de i \ de la phi

donde

$x\; =\; \backslash \; mathrm\; \{con\; referencia\; a\}\; \backslash \; \{z\; \backslash \}\; \backslash ,$ real parte
$y\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; \backslash \; \{z\; \backslash \}\; \backslash ,$ el $del$
de la parte imaginaria|z| = \ raíz cuadrada {x^2+y^2} la magnitud z y el $\backslash \; la\; phi\; \backslash ,$ es la discusión &mdash del z ; el ángulo entre el eje y el z del x del vector medidos a la izquierda y en &mdash de los radianes ; cuál es definido hasta la adición de de 2π. Ahora, tomando esta fórmula derivada, podemos utilizar la fórmula de Euler para definir el logaritmo de un número complejo. Para hacer esto, también utilizamos los hechos eso

$a\; =\; e^\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; ln\; (a)$

y

$e^a\; e^\; \{b\}\; =\; e^\; \{\}\; \backslash ,\; de\; a\; +\; de\; b$

válido para cualquie de los números complejos un y el b .

Por lo tanto, uno puede escribir:

$z=|z|\; e^\; \{i\; \backslash \; phi\}\; =\; e^\; \{\backslash \; ln\; |z|\}\; e^\; \{i\; \backslash \; phi\}$

e^ {\ ln |z| +} \, de i \ de la phi

para cualquie $z\; \backslash \; ne\; 0$. Tomar el logaritmo de ambos lados demuestra eso: $del$

l \ z= del ln \ ln |z| + i \ phi. \,

y de hecho esto se puede utilizar como la definición para el logaritmo complejo . El logaritmo de un número complejo es así una función polivalente, debido al hecho de que el $\backslash \; la\; phi\; \backslash ,$ es polivalentes.

Finalmente, la otra ley exponencial $del$

l (, \, del e^a)^k = del e^ {una k}

cuál se puede ver para sostenerse para todo el k de los números enteros, junto con la fórmula de Euler, implica varias identidades trigonométricas así como la fórmula de De Moivre.

Relación a la trigonometría

La fórmula de Euler proporciona una conexión de gran alcance entre el análisis y la trigonometría, y proporciona una interpretación de las funciones del seno y de coseno como sumas cargadas de la función exponencial:

$\backslash \; lechuga\; romano\; x\; =\; \backslash \; mathrm\; \{con\; referencia\; a\}\; \backslash \; \{e^\; \{IX\}\; \backslash \}\; =\; \{e^\; \{IX\}\; +\; e^\; \{-\; IX\}\; \backslash \; sobre\; 2\}$
$\backslash \; pecado\; x\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; \backslash \; \{e^\; \{IX\}\; \backslash \}\; =\; \{e^\; \{IX\}\; -\; e^\; \{-\; IX\}\; \backslash \; sobre\; 2i\}$

Las dos ecuaciones antedichas pueden ser derivadas agregando o restando las fórmulas de Euler: = \ lechuga romana x del $e^\; del$

l {IX} + i \ pecado x \; = \ lechuga romana del $e^\; del$

l {- IX} (- x) + i \ pecado (- x) = \ lechuga romana x - i \ pecado x \;

y solucionando para el coseno o el seno.

Estas fórmulas pueden incluso servir como la definición de las funciones trigonométricas para el complejo x de las discusiones. Por ejemplo, dejando el x = el iy, tenemos: $\backslash \; lechuga\; romana\; del$

l (iy) = {e^ {- y} + e^ {} \ sobre de y 2} = \ garrote (y) $\backslash pecadodel$

l (iy) = {e^ {- y} - e^ {} \ sobre de y 2i} = i \ cdot \ sinh (y).

Los exponentials complejos pueden simplificar la trigonometría, porque son más fáciles de manipular que sus componentes sinusoidales. Una técnica es simplemente convertir sinusoids en expresiones equivalentes en términos de exponentials. Después de las manipulaciones, el resultado simplificado es todavía con valores reales. de For example:

$\backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; lechuga\; romana\; (y)\; y\; =\; \backslash \; frac\; \{(e^\; \{IX\}\; +e^\; \{-\; IX\})\}\{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{(e^\; +e^\; \{iy\}\; \{-\; iy\})\}\{2\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{i\; (x+y)\}\; +e^\; \{i\; (x-y)\}+e^\; \{i\; (-\; x+y)\}\; +e^\; \{i\; (-\; x-y)\}\}\; \{4\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{i\; (x+y)\}\; +e^\; \{i\; (-\; x-y)\}\}\; \{4\}\; +\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{i\; (x-y)\}de\; +e^\; \{i\; (-\; x+y)\}\}\; \{4\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; +\; \backslash \; frac\; de\; lechuga\; romana\; (x+y)\}\; \{2\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; (x-y)\}\{2\}.\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

Otra técnica es representar los sinusoids en términos de parte real de una expresión más compleja, y realiza las manipulaciones en la expresión compleja. Por ejemplo :

$\backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; (x\; \backslash \; cdot\; n)+\; \backslash \; lechuga\; romana\; (x\; \backslash \; cdot\; (n-2))\; y\; =\; \backslash \; mathrm\; \{con\; referencia\; a\}\; \backslash \; \{\backslash \; e^\; delpatio\{IX\; n\}\; +e^\; \{IX\; (n-2)\}\backslash \; patio\; \backslash \}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; mathrm\; \{con\; referencia\; a\}\; \backslash \; \{\backslash \; e^\; del\; patio\; \{IX\; (n-1)\}\backslash \; cdot\; ()\; \backslash \; patio\; del\; e^\; \{IX\}\; +e^\; \{-\; IX\}\; \backslash \}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; mathrm\; \{con\; referencia\; a\}\; \backslash \; \{\backslash \; e^\; del\; patio\; \{IX\; (n-1)\}\backslash \; del\; cdot\; 2\; \backslash \; lechuga\; romana\; (x)\; \backslash \; patio\; \backslash \}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; (x\; \backslash \; cdot\; (n-1))\backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; lechuga\; romana\; (x).\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

Otros usos

En las ecuaciones diferenciales, el IX del del e de la función es de uso frecuente simplificar derivaciones, incluso si la respuesta final es una función verdadera que implica seno y coseno. La identidad de Euler es una consecuencia fácil de la fórmula de Euler.

En la ingeniería eléctrica y otros campos, las señales que varían periódico en un cierto plazo se describen a menudo como una combinación de funciones del seno y de coseno (véase el análisis de Fourier ), y éstas se expresan más convenientemente como la parte real de funciones exponenciales con los exponentes imaginarios, usar la fórmula de Euler. También, el análisis de Phasor de circuitos puede incluir la fórmula de Euler para representar la impedancia de un condensador o de un inductor.

Pruebas

Usar la serie de Taylor

Aquí está una prueba de la fórmula de Euler usar extensiones de la serie de Taylor así como hechos básicos sobre las energías del i : el $del$

l \ comienza {alinear} i^0 y {} = 1, \ patio y i^1 y {} =, \ patio de i y i^2 y {} = -1, \ patio y i^3 y {} = - i, \ \ &= i^4 {} 1, \ patio y, \ patio del &= i^5 {} i y i^6 y {} = -1, \ patio y i^7 y {} = - i, \ \ \ extremo {alinear}

y así sucesivamente. El x , lechuga romana ( x ) y pecado ( x ) del ^{del e de las funciones (el asumido x es el verdadero) se puede expresar usar sus extensiones de Taylor alrededor de cero: el $del$}

l \ comienza {alinear} e^x y {} = 1 + x + \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^3} {3!} + \ de los cdots \ \ \ lechuga romana x y {} = 1 - \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^4} {4!} - \ frac {x^6} {6!} + \ de los cdots \ \ \ pecado x y {} = - \ frac {x^3} {3 de x!} + \ frac {x^5} {5!} - \ frac {x^7} {7!} + \ cdots \ extremo {alinear}

Para el complejo z definimos que cada uno de éstos funciona por la serie antedicha, substituyendo el x por el z . Esto es posible porque el radio de la convergencia de cada serie es infinito. Entonces encontramos eso el $del$

l \ comienza {alinear} e^ {iz} y {} = 1 + + \ frac del iz {(iz) ^2} {2!} + \ frac {(iz) ^3} {3!} + \ frac {(iz) ^4} {4!} + \ frac {(iz) ^5} {5!} + \ frac {(iz) ^6} {6!} + \ frac {(iz) ^7} {7!} + \ frac {(iz) ^8} {8!} + \ de los cdots \ \ y {} = 1 + - \ frac {z^2} {2 del iz!} - \ frac {iz^3} {3!} + \ frac {z^4} {4!} + \ frac {iz^5} {5!} - \ frac {z^6} {6!} - \ frac {iz^7} {7!} + \ frac {z^8} {8!} + \ de los cdots \ \ y {} = \ se fue (1 - \ frac {z^2} {2!} + \ frac {z^4} {4!} - \ frac {z^6} {6!} + \ frac {z^8} {8!} - \ cdots \ derecho) + i \ ido (- \ frac {z^3} {3 de z!} + \ frac {z^5} {5!} - \ frac {z^7} {7!} + \ cdots \) \ derecho \ y {} = \ lechuga romana (z) + i \ pecado (z) \ extremo {alinear}

El cambio de términos se justifica porque cada serie es el absolutamente convergente. Tomando el z = el x a ser un número verdadero da la identidad original como Euler la descubrió.

Usar cálculo

Definir (posiblemente el f ( x ) de la función del complejo), del x de la variable verdadera, como $f\; del$

l (x) = \ frac {\ lechuga romana x + i \ pecado x} {e^ {IX}}. \

La división por cero se imposibilita desde la ecuación e^ del $del$

l {IX} \ e^ del cdot {- IX} = e^ {IX \, + \, (- IX)} = e^0 = 1 \

implica que $e^\; \{IX\}\; \backslash$ nunca es cero.

El derivado f ( x ), según la regla del cociente, es: el $del$

l \ comienza {alinear} \ frac {d} {dx} f (x) y {} = \ frac {e^ {IX} \ (del cdot \ del frac {d} {dx} \ lechuga romana x+i \ pecado x) - (\ lechuga romana x+i \ pecado x) \ cdot \ frac {d} {dx} (e^ {IX})}{(e^ {IX}) ^2} \ \ y {} = \ frac {e^ {IX} \ cdot (- \ pecado x + i \ lechuga romana x) - (\ lechuga romana x+i \ pecado x) \ cdot (es decir ^ {IX})}{(e^ {IX}) ^2} \ \ y {} = \} ^2 del frac {- \ e^ del pecado x \ cdot {IX} - i^2 \ e^ del pecado x \ cdot {IX}} {(e^ {IX}) \ patio \ patio \ del patio (i^2=-1) \ \ y {} = \ \ del frac {- \ e^ del pecado x \ cdot {IX} + \ e^ del pecado x \ cdot {IX}} {(e^ {IX}) ^2} \ y {} = 0. \ extremo {alinear}

Por lo tanto, el f ( x ) debe ser una función constante en el x . Porque se sabe el f (0), el constante que los iguales del f ( x ) para todo el verdadero x también están sabidos. Así, $\backslash \; frac\; del$

l {\ lechuga romana x + i \ pecado x} {e^ {IX}} = f (x) = 0) = \ frac de f ({\ lechuga romana 0 + i \ pecado 0} {e^0} = 1.

Cambio, sigue eso = \ lechuga romana x del e^ del $del$

l {IX} + i \ pecado x \.

Usar ecuaciones diferenciales ordinarias

Definen función g ( x ) por

$g\; (x)\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; e^\; \{IX\}.\; \backslash$

La consideración de que el i es constante, los primeros y segundos derivados del g ( x ) son

$g\text{'}(x)\; =\; esdecir^\; \{IX\}\; \backslash$
$g\; (x)\; =\; i^2\; e^\; \{IX\}\; =\; -\; e^\; \{IX\}\; \backslash$

porque ^{del de i 2} = − 1 por definición. De esto se construye la ecuación diferencial ordinaria 2^nd-order linear siguiente : $g\; del$

l (x) = - g (x) \ o del $g\; del\; (x)\; +\; g\; (x)\; =\; 0.\; \backslash$

Está siendo una ecuación diferencial 2^nd-order, allí dos soluciones independientes linear que la satisfacen:

$g\_1\; del\; (x)\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; ($
$g\_2\; de\; x)\; \backslash$ (x) = \ pecado (x). \

Lechuga romana ( de x) y el pecado ( de x) son las funciones verdaderas en las cuales el derivado 2^nd es idéntico a la negativa de esa función. Cualquier combinación linear de soluciones a una ecuación diferencial homogénea es también una solución. Entonces, la solución a la ecuación diferencial está generalmente

Ver también

Leonhard Euler
Identidad de Euler
Número complejo
Fórmula de De Moivre
Exponenciación
Función exponencial
Trigonometría

.

Zenithic

Ghana Federation of Labour

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