En las matemáticas, la fórmula integral de Cauchy del, nombrada después Agustín Louis Cauchy, es una declaración central en el análisis complejo . Expresa el hecho que un que la función olomorfa definió en un disco es determinado totalmente por sus valores en el límite del disco. Puede también ser utilizada para obtener las fórmulas integrales para todos los derivados de una función olomorfa. La significación analítica de la fórmula de Cauchy es que demuestra que en " complejo del análisis ; la diferenciación es equivalente al integration": el differentation así complejo, como la integración, se comporta bien bajo límites, un resultado del uniforme que no sea verdad en el análisis verdadero .

El teorema

Suponer que el U es un subconjunto abierto del C, f del plano complejo : &rarr del U ; El C es una función olomorfa y el cerrado D del disco = {el z : | &minus del z ; z ₀| ≤ el r } se contiene totalmente en el U . Dejar el C ser el círculo que forma el límite D . Entonces para cada un en el interior del D :

$f\; (a)\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\; \backslash \; pi\; i\}\; \backslash \; oint\_C\; \{f\; (z)\; \backslash \; sobre\}\; \backslash ,\; del\; z-a\; DZ$

donde el integral de contorno se toma el a la izquierda.

La prueba de esta declaración utiliza el teorema integral de Cauchy y requiere semejantemente solamente el f ser el diferenciable complejo. La fórmula implica que el f es realmente infinitamente diferenciable, con ¡$f^\; del$

l {(n)} (a) = {n! \ sobre 2 \ pi i} \ oint_C {f (z) \ sobre} \, del ^ (del z-a) {n+1} dz.

Esta fórmula se refiere a veces como fórmula de la diferenciación de Cauchy del ; es también una consecuencia del hecho de que las funciones olomorfas son analíticos.

El C del círculo se puede substituir por cualquier curva rectificable cerrado en el U que tiene número uno de la bobina sobre un . Por otra parte, en cuanto al teorema integral de Cauchy, es suficiente requerir ese f sea olomorfo en la región abierta incluida por la trayectoria y continua en su encierro.

Prueba del bosquejo

Usando el teorema integral de Cauchy, uno puede demostrar que el integral sobre el C (o la curva rectificable cerrada) es igual al mismo integral asumido el control un círculo arbitrariamente pequeño alrededor de un . Puesto que el f ( z ) es continuo, podemos elegir un círculo bastante pequeño en qué f ( z ) es arbitrariamente cerca del f ( un ). Por una parte, el integral $del$

l \ oint_C {{1 \ sobre} \, del z-a DZ}

sobre cualquier C del círculo centrado en el un es &pi de 2 ; i . (Esto se puede calcular directo vía la parametrización (integración por la substitución ) $del$

l z = a + \ e^ del varepsilon {él}

donde 0 ≤ &le del t ; &pi de 2 ; y &epsilon del ; es el radio del círculo.) Dejar el &epsilon del ; &rarr de ; 0 da la estimación deseada $del$

l \ ido | \ frac {1} {} \ oint_C {{f (z) \ sobre} \, del z-a DZ} - f de 2 \ pi i (a) \ derecho |

$\backslash \; leq\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; oint\_C\; \backslash \; frac\; de\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \{\; |f\; (z)\; -\; f\; (a)|\; \}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; z-a\; DZ\; \backslash \; rightarrow\; 0.$

Uso

Considerar la función $g\; del$

l (z)= {z^2 \ sobre z^2+2z+2}

y el contorno descrito cerca | z | = 2, lo llaman el C .

Para descubrir el integral del g ( z ) alrededor del contorno, necesitamos saber las singularidades del g ( z ). Observar que podemos reescribir el g como sigue: $g\; del\; (z)=\; \{z^2\; \backslash \; sobre\; (z-z\_1)\; (z-z\_2)\}$ donde $z\_1=-1+i,$ $z\_2=-1-i.$

Los postes se ponen claramente de manifiesto, sus módulos son menos de 2 y mienten así dentro del contorno y están conforme a la consideración por la fórmula. ¡Por el teorema de Cauchy-Goursat, podemos expresar el integral alrededor del contorno como la suma del integral alrededor del z ₁ y del z ₂ donde está un pequeño círculo el contorno alrededor de cada pole. Llamar el C ₁ de estos contornos alrededor del z ₁ y del C ₂ alrededor del z ₂.

Ahora, alrededor del C ₁, f es analítico (puesto que el contorno no contiene la otra singularidad), y esto permite que escribamos el f en la forma que requerimos, viz del : $f\; del$

l (z)= {z^2 \ sobre z-z_2}

y ahora

$\backslash \; oint\_C\; \{g\; (z)\; DZ\}\; =\; \backslash \; oint\_C\; \{f\; (z)\; \backslash \; sobre\}\; \backslash ,\; del\; z-a\; dz=2\; \backslash \; i*f\; del\; pi\; (a)$

¡blanco -->

$\backslash \; oint\_\; \{C\_1\}\; \{\backslash \; dejado\; (\{z^2\; \backslash \; sobre\; z-z\_2\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; sobre\; z-z\_1\}\; \backslash ,\; dz=2\; \backslash \; pi\; i\; \{z\_1^2\; \backslash \; sobre\; z\_1-z\_2\}.$

El hacer además para el otro contorno: $f\; del$

l (z)= {z^2 \ sobre z-z_1},

¡

$\backslash \; oint\_\; \{C\_2\}\; \{\backslash \; dejado\; (\{z^2\; \backslash \; sobre\; z-z\_1\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; sobre\; z-z\_2\}\; \backslash ,\; dz=2\; \backslash \; pi\; i\; \{z\_2^2\; \backslash \; sobre\; z\_2-z\_1\}.$

El integral alrededor del original C del contorno entonces es la suma de estos dos integrales:

$\backslash \; comienzan\; \{alinear\}\; \backslash \; oint\_C\; \{z^2\; \backslash \; sobre\; z^2+2z+2\}\; \backslash ,\; DZ\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; oint\_\; \{C\_1\}\; \{\backslash \; a\; la\; izquierda\; (\{z^2\; \backslash \; sobre\; z-z\_2\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; sobre\; z-z\_1\}\; \backslash ,\; DZ\; +\; \backslash \; oint\_\; \{C\_2\}\; \{\backslash \; a\; la\; izquierda\; (\{z^2\; \backslash \; sobre\; z-z\_1\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; sobre\; z-z\_2\}\; \backslash ,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; DZ\; y\; \{\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; (\{z\_1^2\; \backslash \; sobre\; z\_1-z\_2\}\; +\; \{z\_2^2\; \backslash \; sobre\; z\_2-z\_1\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; dejado\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =2\; \backslash \; del\; pi\; i\; (-\; 2)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =-4\; \backslash \; pi\; i.\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

Consecuencias ¡$f^\; del\; de$

{(n)} (a) = {n! \ sobre 2 \ pi i} \ oint_C {f (z) \ sobre} \, del ^ (del z-a) {n+1} dz.

Porque uno puede deducir de la fórmula que el f debe ser infinitamente a menudo continuamente diferenciable, el teorema integral de Cauchy tiene implicaciones amplias. Se utiliza para probar el teorema del residuo, que es una generalización de gran envergadura que quita el requisito ese la función sea analítica en la región incluida. El teorema integral de Cauchy no tiene ninguna contraparte en el análisis verdadero porque para la función con valores reales una posesión de un primer derivado por una función no garantizará la existencia de derivados más altos de la orden. ¡En contraste con esto, la prueba de la fórmula integral de Cauchy para los derivados del $n^\; \{th\}$ demuestra que las pandillas de las funciones analíticas los derivados de todas las órdenes.

Se sabe del teorema de Morera que el límite uniforme de funciones olomorfas es olomorfo. Esto se puede también deducir de la fórmula integral de Cauchy: la fórmula también se sostiene de hecho en el límite y el integrando, y por lo tanto el integral, se puede ampliar como serie de energía. Además las fórmulas de Cauchy para los derivados más altos de la orden demuestran que convergen todos estos derivados también uniformemente.

Zenithic

Blue Mountains National Park

Random links:

Torre de Londres | Farsi de Jalaleddin | Caña de Alan | El caballero de la maja ardiente | Interhalogen