En la física nuclear, la fórmula total semi-empirical ( SEMF ) del, a veces también llamada la fórmula de Weizsäcker, es una fórmula usada para aproximar la masa y otras características de un núcleo atómico . Mientras que el nombre sugiere, se basa parcialmente en la teoría y en parte en medidas empíricas ; la teoría se basa en el modelo de gota líquida del, y puede explicar la mayor parte de los términos en la fórmula, y da los cálculos aproximados para los valores de los coeficientes. Primero fue formulada en 1935 por el alemán Carl von Weizsäcker del físico, y aunque los refinamientos se hayan hecho a los coeficientes durante los años, la forma de la fórmula sigue siendo igual hoy.

Esta fórmula no se debe confundir con la fórmula total Burkhard Heim del estudiante de Weizsäcker.

La fórmula da una buena aproximación para las masas atómicas y varios otros efectos, pero no explica el aspecto de los números mágicos .

El modelo de gota líquida y su análisis

El modelo de gota líquida es un modelo en la física nuclear que trata el núcleo como gota del líquido nuclear incompresible, primero propuesta por el George Gamow . El líquido se hace de los nucleones (los protones y los neutrones, que son ligados por la fuerza nuclear fuerte .

Éste es un modelo crudo que no explica todas las características de núcleos, pero explica la forma esférica de la mayoría de los núcleos. También ayuda a predecir la energía de enlace del núcleo.

El análisis matemático de la teoría entrega una ecuación que las tentativas de predecir la energía de enlace de un núcleo en términos de números de los protones y de los neutrones él contengan. Esta ecuación tiene cinco términos en su lado derecho. Éstos corresponden al atascamiento cohesivo de todos los nucleones por la fuerza nuclear fuerte, la repulsión mutua electrostática de los protones, un término de la energía superficial, un término de la asimetría (derivable de los protones y de los neutrones que ocupan estados independientes del ímpetu de Quantum ) y un término de apareamiento (en parte derivable de los protones y de los neutrones que ocupan el independiente de Quantum hacen girar estados de ).

Si consideramos la suma de los cinco tipos siguientes de energías, después el cuadro de un núcleo como gota del líquido incompresible explica áspero la variación observada de la energía de enlace del núcleo:

Energía de volumen del . Cuando un montaje de los nucleones de los mismos tamaños se embala junto en el volumen más pequeño, cada nucleón interior tiene cierto número otros nucleones en contacto con él. Así pues, esta energía nuclear es proporcional al volumen.

Energía superficial . Un nucleón en la superficie de un núcleo obra recíprocamente con pocos otros nucleones que uno dentro del núcleo y por lo tanto su energía de enlace sea menos. Las tomas de este término de la energía superficial que en consideración y son por lo tanto negativa y son proporcionales a la superficie.

energía del culombio del . La repulsión eléctrica entre cada par de protones en un núcleo contribuye a disminuir su energía de enlace.

Energía de la asimetría del (también llamada energía de Pauli ). Una energía se asoció al principio de exclusión de Pauli . Si no estuviera para la energía de culombio, la forma más estable de materia nuclear tendría N=Z, desde valores desiguales de N y Z implica los niveles de una energía más alta de relleno para un tipo de partícula, mientras que deja niveles de una energía más baja vacantes para el otro tipo.

Energía de apareamiento del . Una energía que es un término de corrección que se presenta de la tendencia de los pares del protón y de los pares del neutrón a ocurrir. Un número par de partículas es más estable que un número impar.

La fórmula

En las fórmulas siguientes, dejar el A ser el número total del Z de los nucleones el número de los protones y del N el número de los neutrones

La masa de un núcleo atómico es dada por el $m\; =\; el\; m\_\; de\; Z\; \{p\}\; del\; +\; -\; \backslash \; frac\; \{E\_\; \{B\}\}\; \{c^\; \{2\}\; del\; m\_\; de\; N\; \{n\}\}$ donde están la masa el $m\_\; \{p\}$ y el $m\_\; \{n\}$ de un protón y un neutrón, respectivamente, y el $E\_\; \{B\}$ es la energía de enlace del núcleo. La fórmula total semi-empirical indica que la energía de enlace tomará la forma siguiente:

$E\_\; \{B\}\; =\; a\_\; \{V\}\; A\; -\; a\_\; \{S\}\; A^\; \{2/3\}\; -\; a\_\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{Z\; (Z-1)\; de\; C\}\{A^\; \{1/3\}\}\; -\; +\; \backslash \; delta\; (A,\; Z)$ del a_ {A} \ del frac {(A - 2Z) ^ {2}} {A}

Cada uno de los términos en esta fórmula tiene una base teórica, como será explicado abajo.

Términos

Término del volumen

El $a\_\; del\; término\; \{V\}\; A$ se conoce como el término del volumen del . El volumen del núcleo es proporcional al A, así que este término es proporcional al volumen, por lo tanto al nombre.

La base para este término es la fuerza nuclear fuerte . Las granes fuerzas afectan a los protones y a los neutrones, y como esperado, este término es independiente del Z . Porque el número de pares que se puedan tomar de partículas del A es $\backslash \; el\; frac\; \{A\; (A\; -\; 1)\}\; \{2\}$, uno pudo contar con un término proporcional al $A^\; \{2\}$. Sin embargo, las granes fuerzas tienen una gama muy limitada, y un nucleón dado puede obrar recíprocamente solamente fuerte con sus vecinos más cercanos y los vecinos después más cercanos. Por lo tanto, el número de pares de partículas que obren recíprocamente realmente es áspero proporcional al A, dando el volumen llama su forma.

El $a\_\; delcoeficiente\{V\}$ es más pequeño que la energía de enlace de los nucleones a sus vecinos $E\_b$, que está de orden del MeV de 40 . Esto es porque cuanto más grande es el número de los nucleones en el núcleo, cuanto más grande su energía cinética es, debido al principio de exclusión de Pauli . Si uno trata el núcleo como bola de Fermi de los nucleones de $A$ con números iguales de protones y los neutrones, después la energía cinética total es el $\{3\; \backslash \; sobre\; 5\}\; A\; \backslash \; epsilon\_F$, con el $\backslash \; epsilon\_F$ la energía de Fermi que es estimado como MeV de 38 . Así esperado valor de $a\_\; \{V\}$ en este modelo es $E\_b\; -\; \{3\; \backslash \; sobre\; 5\}\; \backslash \; epsilon\_F\; \backslash \; sim\; 17\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{MeV\}$, no lejos del valor medido.

Término superficial

El $a\_\; del\; término\; \{S\}\; A^\; \{2/3\}$ se conoce como el término de la superficie del . Este término, también basado en las granes fuerzas, es una corrección al término del volumen.

El término del volumen sugiere que cada nucleón obre recíprocamente con un número constante de nucleones, independiente del A . Mientras que esto es casi completamente verdad para los nucleones profundamente dentro del núcleo, esos nucleones en la superficie del núcleo tienen pocos vecinos más cercanos, justificando esta corrección. Esto puede también ser pensada en mientras que un término de la tensión de superficie, y un mecanismo similar crea de hecho la tensión de superficie en líquidos.

Si el volumen del núcleo es proporcional al A, después el radio debe ser proporcional al $A^\; \{1/3\}$ y a la superficie al $A^\; \{2/3\}$. Esto explica porqué el término superficial es proporcional al $A^\; \{2/3\}$. Puede también ser deducido que $a\_S$ debe tener una orden de la magnitud similar como $a\_V$.

Término del culombio

Término $a\_\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{Z\; (Z-1)\; de\; C\}\{A^\; \{1/3\}\}$ se conoce como el culombio del o término electrostático del .

La base para este término es la repulsión electrostática entre los protones. A una aproximación muy áspera, el núcleo se puede considerar una esfera de la densidad uniforme de la carga . potencial energía de tal carga distribución puede ser demostrado ser

$\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; 0\}\}\; \backslash \; frac\; \{Q^\; \{2\}\; del\; pi\; \backslash \; del\; epsilon\_\; \{\}\; \{R\}$ donde está el Q la carga y el totales R es el radio de la esfera. Identificando el Q con el $Z\; e$, y observándolo como sobre eso el radio es proporcional al $A^\; \{1/3\}$, nosotros consigue cerca de la forma del término del culombio. Sin embargo, porque la repulsión electrostática existirá solamente para más de un protón, $Z^2$ se convierte en el $Z\; (Z-1).$

El valor del $a\_\; \{C\}$ se puede calcular aproximadamente usar la ecuación arriba. En natural unidad esto es

$\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alfa\}\; \{R\_0\}$ donde está el constante el $\backslash \; alpha$ de estructura fina y el $A^\; \{1/3\}\; R\_0$ es el radio de un núcleo, dando $R\_0$ para ser aproximadamente 1. Esto da a $a\_C$ un valor teórico aproximado de 0.58 MeV, no lejos del valor medido.

Término de la asimetría

Término el $a\_\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{(A\; -\; 2Z)\; el\; ^\; \{2\}\}\; \{A\}$ de A se conoce como el término de la asimetría del . La justificación teórica para este término es más compleja. Observar que como $A\; =\; N\; +\; Z$, la expresión entre paréntesis se puede reescribir como $(N\; -\; Z)$. El $de\; la\; forma\; (A\; -\; 2Z)$ se utiliza para mantener la dependencia del A explícita, como ser importante para un número de aplicaciones de la fórmula.

El principio de exclusión de Pauli indica que ningunos fermios de dos pueden ocupar exactamente el mismo estado de Quantum . En un nivel de energía dado, hay solamente finito muchos estados de quántum disponibles para las partículas. Cuál este los medios en el núcleo son que como más partículas está el " added", estas partículas deben ocupar los niveles de una energía más alta, aumentando la energía total del núcleo (y disminuyendo la energía de enlace). Observar que este efecto no está basado en las fuerzas fundamentales unas de los (, electromágnetico gravitacionales, etc.), solamente el principio de exclusión de Pauli.

Los protones y los neutrones, siendo tipos distintos de partículas, ocupan diversos estados de Quantum que uno puede pensar en diverso " dos; pools" de estados, uno para los protones y uno para los neutrones. Ahora, por ejemplo, si hay significantly more neutrones que los protones en un núcleo, algunos de los neutrones serán más altos en energía que los estados disponibles en la piscina del protón. Si podríamos mover algunas partículas desde la piscina del neutrón a la piscina del protón, es decir cambiar algunos neutrones en los protones, nosotros disminuiría perceptiblemente la energía. El desequilibrio entre el número de protones y los neutrones hace la energía ser más alta que necesita ser, para un número dado de los nucleones . Ésta es la base para el término de la asimetría.

La forma real del término de la asimetría puede ser derivada otra vez modelando el núcleo como bola de Fermi de protones y de neutrones. Su energía cinética total es $E\_k\; del\; =\; \{3\; \backslash \; sobre\; 5\}\; (\_p\; de\; N\_p\; \{\backslash \; epsilon\_F\}\; +\; \_n\; de\; N\_n\; \{\backslash \; epsilon\_F\})$ donde están los números de protones y de neutrones y el $$ N\_p$,$ N\_n$\{\backslash \; epsilon\_F\}\; \_p$, el $\{\backslash \; epsilon\_F\}\; \_n$ es sus energías de fermi . Puesto que estes 3ultimo son proporcionales al ^ del $\{N\_p\}\; \{2/3\}\; ^\; de$ y del $\{N\_n\}\; \{2/3\}$, respectivamente, uno consigue el $E\_k\; =\; C\; (N\_p^\; \{5/3\}\; +\; N\_n^\; \{5/3\})$ del para un cierto constante C . Principal extensión en diferencia $N\_n\; -\; N\_p$ es entonces

$E\_k\; =\; \{C\; \backslash \; sobre\; 2^\; \{2/3\}\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (^\; (N\_p+N\_n)\; \{5/3\}\; +\; \{5\; \backslash \; sobre\; 9\}\; \{(N\_n-N\_p)\; ^2\; \backslash \; sobre\; el\; ^\; (N\_p+N\_n)\; \{1/3\}\}\; \backslash \; derecho)\; +\; O\; ((N\_n-N\_p)\; ^2)$ En la extensión de la orden del zeroth la energía cinética es apenas el $de\; la\; energía\; de\; fermi\; \backslash \; el\; epsilon\_F\; \backslash \; \{\backslash \; epsilon\_F\}\; el\; \_p\; equivalente\; =\; \{\backslash \; epsilon\_F\}\; \_n$ multiplicado por el $\{3\; \backslash \; sobre\; 5\}\; el\; ^\; (N\_p+N\_n)\; \{2/3\}$. Así nosotros consiguen

$E\_k\; =\; \{3\; \backslash \; sobre\; 5\}\; \backslash \; epsilon\_F\; (N\_p+N\_n)\; ^\; \{2/3\}\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 3\}\; \backslash \; epsilon\_F\; \{(N\_n-N\_p)\; ^2\; \backslash \; encima\; (N\_p+N\_n)\}\; +\; O\; ((N\_n-N\_p)\; ^4)$

{3 \ sobre 5} \ epsilon_F A^ {2/3} + {1 \ sobre 3} \ epsilon_F {(A-2Z) ^2 \ sobre A} + O ((A-2Z) ^4)

El primer término contribuye al término del volumen en la fórmula total semi-empirical, y el segundo término está menos el término de la asimetría (recordar que la energía cinética contribuye a la energía de enlace total con una muestra negativa del ).

el $\backslash \; epsilon\_F$ es el MeV de 38, así que calculando $a\_A$ de la ecuación arriba, conseguimos solamente mitad del valor medido. La discrepancia es explicada por nuestro modelo que no es exacto: los nucleones de hecho obran recíprocamente con uno a, y no se separan uniformemente a través del núcleo. Por ejemplo, en el modelo de Shell, un protón y un neutrón con el traslapado Wavefunctions tendrán una interacción fuerte del mayor entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace enérgio favorable (es decir teniendo energía más baja) para que los protones y los neutrones tengan los mismos números de quántum (con excepción de la isospina ), y aumenta así el coste energético de la asimetría entre ellos.

Uno puede también entender el término de la asimetría intuitivo, como sigue. Debe ser dependiente en el $absoluto\; de\; la\; diferencia|N\; -\; Z|$, y el ^ del $de\; la\; forma\; (A\; -\; 2Z)\; \{2\}$ es simples y el diferenciable, que es importante para ciertos usos de la fórmula. Además, las pequeñas diferencias entre el Z y el N no tienen un alto coste energético. El A en el denominador refleja el hecho ese un $dado\; de\; la\; diferencia|N\; -\; Z|$ es menos significativo para valores más grandes del A .

Apareamiento de término

El $del\; término\; \backslash \; el\; delta\; (se\; sabe\; A,\; Z)$ como el que aparea el término (posiblemente también conocido como en parejas la interacción). Este término captura el efecto de la vuelta - acoplador. Se da cerca:

$\backslash \; delta\; (A,\; Z)\; =\; \backslash \; comienza\; \{los\; casos\}\; +\; \backslash \; delta\_\; \{0\}\; y\; Z,\; N\; \backslash \; mbox\; \{incluso\}\; (A\; \backslash \; mbox\; \{incluso\})\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; A\; \backslash \; mbox\; \{impar\}\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash \; delta\_\; \{0\}\; y\; Z,\; N\; \backslash \; mbox\; \{impar\}\; ()\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$ de A \ del mbox {incluso} donde = \ frac {a_ {P}} {A^ {el 1/2}} del $\backslash \; del\; delta\_\; del\; 0\}\; \{$

Debido al principio de exclusión de Pauli el núcleo tendría una energía más baja si el número de protones con vuelta para arriba es igual al número de protones con vuelta abajo. Esto es también verdad para los neutrones. Solamente si el Z y el N son uniformes, los protones y los neutrones pueden tener números iguales de vuelta para arriba y de partículas de la vuelta abajo. Esto es un efecto similar al término de la asimetría.

El $A^\; del\; factor\; \{-\; el\; 1/2\}$ no se explica fácilmente teóricamente. El cálculo de la bola de Fermi que hemos utilizado arriba, basado en el modelo de gota líquida pero el descuido de interacciones, dará una dependencia del $A^\; \{-\; 1\}$, como en el término de la asimetría. Esto significa que el efecto real para los núcleos grandes será más grande que esperado por ese modelo. Esto se debe explicar por las interacciones entre los nucleones; Por ejemplo, en el modelo de Shell, dos protones con los mismos números de quántum (con excepción de la vuelta ) tendrán totalmente traslapado Wavefunctions y tendrán así interacción fuerte del mayor entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace enérgio favorable (es decir teniendo energía más baja) para que los protones se apareen en pares de vuelta opuesta. Igual es verdad para los neutrones.

Cálculo de los coeficientes

Los coeficientes son calculados cabiendo a las masas experimental medidas de núcleos. Sus valores pueden variar dependiendo de cómo se caben a los datos. Varios ejemplos están como se muestra abajo, con las unidades mega - electronvoltios (MeV):

Ejemplos para las consecuencias de la fórmula

Por B de maximización (A, Z) con respecto a Z, encontramos el número de los protones Z del núcleo estable del peso atómico A. Conseguimos el $Z\; del\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; A\; \{1\; \backslash \; sobre\; 1\; +\; A^\; \{2/3\}\; \{a\_C\; \backslash \; sobre\; el\; a\_A\; 4\}\}$ Éste es áspero A/2 para los núcleos ligeros, pero para los núcleos pesados hay un acuerdo incluso mejor con la naturaleza .

Substituyendo el valor antedicho de Z nuevamente dentro de B uno obtiene la energía de enlace en función del peso atómico, B (A). Maximización de B (A)/A con respecto a A da el núcleo que está limitado lo más fuerte posible, es decir más establo. El valor que conseguimos es A=63 ( de cobre), cerca de los valores medidos de A=62 (níquel ) y de A=58 (hierro ).

Ver también

Estructura nuclear
Bosón que obra recíprocamente modelo
Modelo de Shell

.

Zenithic

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