En el análisis numérico, las fórmulas de los Newton-Corrales del, también llamaron las reglas de los Newton-Corrales del, son un grupo de fórmulas para la integración numérica (también llamado la cuadratura del ) basada en la evaluación del integrando en los puntos espaciados equitativamente del n +1. Se nombran después Isaac Newton y de los corrales de Rogelio.

Las fórmulas de los Newton-Corrales pueden ser útiles si el valor del integrando en los puntos espaciados equitativamente se da. Si es posible cambiar los puntos en los cuales se evalúa el integrando, después otros métodos tales como cuadratura gausiana y cuadratura de Clenshaw-Curtis son probablemente más convenientes.

Descripción

Se asume que el valor de un f de la función está sabido en el equidistante i del _{del x de los puntos, para el i = 0,…, el n . Hay dos tipos de fórmulas de los Newton-Corrales, el " closed" mecanografiar que utiliza el valor de la función en todos los puntos, y el " open" mecanografiar que no utiliza los valores de la función en los puntos del extremo. La fórmula cerrada de los Newton-Corrales del n del grado se indica como $del$}

l \ int_a^b f (x) \, dx \ aproximadamente \ w_i del ^n del sum_ {i=0} \, f (x_i)

donde i del _{del x} = i del h + x ₀, con h (llamado el tamaño de paso del ) igual ()/ n del x ₀ del − del n del _{del x . El i} del _{del w se llama los pesos del .}

Como puede ser visto en la derivación siguiente los pesos se derivan de los polinomios de la base de Lagrange que éste significa que dependen solamente del i del _{del x y no del f de la función. Dejar el L ( x ) sea el polinomio de la interpolación en la forma de Lagrange para los puntos de referencias dados ( x 0, f ( x 0)),…, (el x n, el f ( x n)), entonces}

$\backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; int\_a^b\; L\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\_a^b\; \backslash \; sum\_\; \{i=0\}\; ^\; N-F\; ()\; \backslash ,\; del\; x\_i\; l\_i\; (x)\; \backslash ,\; dx$

\ sum_ {i0} ^ N-F () \ underbrace {\ _ del l_i del int_a^b (x) \, dx} {w_i} del x_i.

La fórmula abierta de los Newton-Corrales del n del grado se indica como $del$

l \ int_a^b f (x) \, dx \ aproximadamente \ w_i del ^ del sum_ {i=1} {n-1} \, f (x_i)

Los pesos se encuentran de una forma similares a la fórmula cerrada.

Inestabilidad para el alto nivel

Una fórmula de los Newton-Corrales de cualquier n del grado puede ser construida. Sin embargo, porque grande n que una regla de los Newton-Corrales puede sufrir a veces del fenómeno de Runge catastrófico donde el error crece exponencial para el grande n . Los métodos tales como cuadratura gausiana y cuadratura de Clenshaw-Curtis con los puntos desigual espaciados (arracimados en las puntos finales intervalo de la integración) son estables y mucho más exactos, y son normalmente preferred a los Newton-Corrales. Si estos métodos no pueden ser utilizados, porque el integrando se da solamente en la rejilla equidistributed fija, después el fenómeno de Runge puede ser evitado usando una regla compuesta, según lo explicado abajo.

Fórmulas cerradas de los Newton-Corrales

Esta tabla enumera algunas de las fórmulas de los Newton-Corrales del tipo cerrado. La notación $f\_i$ es una taquigrafía para el $f\; (x\_i)$.

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Abrir las fórmulas de los Newton-Corrales

Esta tabla enumera algunas de las fórmulas de los Newton-Corrales del tipo abierto.

Reglas compuestas

Para que las reglas de los Newton-Corrales sean exactas, el h del tamaño de paso necesita ser pequeño, así que significa que el intervalo del $b$ de la integración debe ser pequeño sí mismo, que no es verdad la mayor parte del tiempo. Por esta razón, una generalmente realiza la integración numérica partiendo el $b$ en más pequeño los subintervalos, aplicación los Newton-Corrales gobiernan en cada subintervalo, y el adición encima de los resultados. Esto se llama una regla compuesta del, ve la integración numérica .

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