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Definición

La función factorial se define formalmente cerca ¡$n\; del$

l ! = \ ^n k \ qquad \ forall n \ en \ mathbb {N} del prod_ {k=1}. ¡\!

La definición antedicha incorpora el caso

$0!\; =\; 1\; \backslash$

como caso del hecho de que el producto de ningunos números en todo el sea 1. Este hecho para los factorials es útil, porque
¡

el $recurrente\; de\; la\; relación\; (n\; +\; 1)!\; ¡=\; n!\; \backslash \; épocas\; (n\; +\; 1)$ trabaja para el $n\; =\; 0$;
esta definición hace muchas identidades en la combinatoria válidas para los tamaños cero. Particularmente, el número de combinaciones o las permutaciones de un sistema vacío es, claramente, 1.

Usos

Factorials se utiliza en la combinatoria . ¡Por ejemplo, hay $n!\; maneras\; diferentes\; de$ de arreglar objetos distintos del n en una secuencia. (Los arreglos se llaman las permutaciones ) y el número de las maneras una puede elegir objetos del k entre de un sistema dado de los objetos del n (el número de las combinaciones ), es dado por el coeficiente binomial supuesto ¡$del$

l {n \ elige k} = {n! ¡\ sobre k! (n-k)!}.

en las permutaciones si los objetos de $r$ pueden ser elegidos y arreglado en maneras diferentes del r de un total de n se opone, donde &le del r ; el n, entonces el número total de permutaciones distintas se da cerca: = \ frac {n del _nP_r del $del$

l del
{}!}{(n-r)!}.

Factorials también da vuelta para arriba en el cálculo . ¡Por ejemplo, el teorema de Taylor expresa un f ( x ) de la función como serie de energía en el x, básicamente porque el derivado n ^th del n del ^{del x es del n ! .}

Factorials también se utiliza extensivamente en la teoría de las probabilidades .

Factorials es de uso frecuente como ejemplo simple, junto con los números de Fibonacci al enseñar a la repetición en el de informática porque satisfacen la relación recurrente siguiente (si &ge del n ; 1):

$n!\; =\; n\; \backslash \; épocas\; (n-1)!.\; \backslash ,$

Teoría de número

Factorials tiene muchos usos en la teoría de número . ¡Particularmente, del n ! es necesario divisible por todos los números primeros hasta e incluir el n . Por consiguiente, el n > 5 es un del número compuesto si y solamente si ¡$del$

l (n-1)! \ \ equivalente \ 0 \ ({\} \ n). de la MOD del rm

Un resultado más fuerte es el teorema de Wilson, que indica eso ¡$del$

l (p-1)! \ \ equivalente \ -1 \ ({\} \ p) de la MOD del rm

si y solamente si el p es primero.

¡El Adrien-Marie Legendre encontró que la multiplicidad del primero p que ocurría en la facturización primera del del n ! se puede expresar exactamente como

$\backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; lfloor\; n/p^i\; \backslash \; rfloor,$

cuál es finito puesto que la función del piso quita todo el $p^i\; >\; n.$

¡El único factorial que está también un número primero es 2, pero hay muchos prepara del $\backslash \; del\; scriptstyle\; n\; de\; la\; forma!\; \backslash ,\; \backslash \; P.\; \backslash ,\; 1$, llamado factorial prepara

Índice de crecimiento

¡Como el n crece, el factorial del n ! llega a ser más grande que todos los polinomios y las funciones exponenciales en el n .

¡Cuando el n es grande, del n ! se puede estimar absolutamente exactamente usar la aproximación de Stirling:

$n!\backslash \; aproximadamente\; \backslash raíz\; cuadrada\{2\; \backslash \; pi\; n\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\; \backslash \; derecho)\; ^n.$ dejado

¡Una versión débil que se puede probar fácilmente con el is< de la inducción matemática ! -- Alguien pudo desear agregar la prueba… --> ¡$del$

l \ ({n \ sobre 3} \ derecho) ^n < n dejados! < \ ido ({n \ sobre 2} \ derecho) ^n \ \ mbox {si} \ n \ geq 6. \,

El logaritmo del factorial se puede utilizar para calcular el número de dígitos en una base dada que el factorial de un número dado tomará. Satisface la identidad: ¡$del$

l \ registro n! = \ ^n del sum_ {k=1} {\ registro k}.

Observar que esta función, si está representada gráficamente, es aproximadamente el linear, para los pequeños valores; pero el $del\; factor\; \{\backslash \; registro\; n!\}\; \backslash \; sobre\; n$, y de tal modo la cuesta del gráfico, crece arbitrariamente grande, aunque absolutamente lentamente. El gráfico del $log\; (n!)$ para $n$ entre 0 y 20.000 se demuestra en la figura a la derecha.

Una aproximación simple para basado en la aproximación de Stirling es ¡$del$

l \ registro n! \ aproximadamente n \ registro n - n + \ + \ frac del frac {\ registro n} {2} {\ registro (2 \ pi)} {2}.

Una aproximación mucho mejor para fue dada por el Srinivasa Ramanujan : ¡$del$

l \ registro n! \ aproximadamente n \ registro n - n + \ frac {\ registro (n (1+4n (1+2n)))} {6} + \ frac {\ registro (\ pi)} {2}.

Uno puede ver de el que sea el Ο ( n del registro del n ). Este resultado desempeña un papel dominante en el análisis de la complejidad de cómputo de los algoritmos de clasificación (véase la clase de la comparación).

Cómputo

¡El valor del $n!$ se puede calcular por la multiplicación repetida si $n$ no es demasiado grande. ¡El factorial más grande que la mayoría de las calculadoras pueden dirigir es $69!\; ¡$, porque $70!\; >\; 10^\; \{100\}$. ¡Los programas de computadora tales como Microsoft Excel y calculadora de Google pueden dirigir los factorials tan grandes como $170!$, que es el factorial más grande menos que $16^\; \{256\}$ ($10^\; \{100\}$ en el hexadecimal del ) y corresponde a un número entero de 1024 pedacitos. ¡$11!\; ¡$ y $20!$ son respectivamente los factorials más grandes que se pueden almacenar en los 32 pedacitos y 64 números enteros del pedacito de uso general en ordenadores personales. En la práctica, la mayoría de las aplicaciones informáticas computarán estos pequeños factorials por operaciones de búsqueda directas de la multiplicación o de tabla. Valores más grandes se aproximan a menudo en términos de estimaciones flotantes de la función gamma, generalmente con la fórmula de Stirling.

Para el número los cómputos combinatorios teóricos de y, los factorials exactos muy grandes son a menudo necesarios. Los factorials de Bignum se pueden computar por la multiplicación directa, pero multiplicando la secuencia $1\; \backslash \; épocas\; 2\; \backslash \; épocas\dots \; \backslash \; las\; épocas\; n$ de la parte inferior para arriba (o de arriba hacia abajo) es ineficaces; es mejor partir recurrentemente la secuencia para reducir al mínimo el tamaño de cada subproduct.

¡La asintótico-mejor eficacia es obtenida computando el $n!$ de su facturización primera. ¡Según lo documentado por el Peter Borwein, la facturización primera permite el $n!$ a ser a tiempo computado O ( n ( n ) ² del registro del registro del n del registro), a condición de que se utiliza un algoritmo rápido de la multiplicación (por ejemplo, el algoritmo de Schönhage-Strassen). Peter Luschny presenta código fuente y las pruebas patrones para varios algoritmos factoriales eficientes, con o sin el uso de un tamiz de la prima.

La función gamma

considera también:

la función gamma

La función factorial se puede también definir para los valores del no-número entero, pero ésta requiere herramientas más avanzadas del análisis matemático . La función que " llena el in" los valores del factorial entre los números enteros se llaman la función gamma, $denotado\; \backslash \; gamma\; (z)$ para los números enteros z ningún menos de 1, definido cerca ¡

$\backslash \; gamma\; (z)=\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t^\; \{z-1\}\; e^\; \{-\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; T.\; de\; t\; \backslash !$

La fórmula original de de Euler para la función gamma era

$\backslash \; gamma\; (z)=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{n^zn!\}\{\backslash \; ^n\; del\; prod\_\; \{k=0\}\; (z+k)\}.\; ¡\backslash !$

La función gamma se relaciona con los factorials en que satisface una relación recurrente similar:

$n!¡=n\; (n-1)!\; \backslash ,$ del$$
de \ gamma (n+1)=n \ gamma (n) \,

Junto con $\backslash \; la\; gamma\; (1)=1$ esto rinde la ecuación para cualquier número entero no negativo $n$: ¡$del$

l \ gamma (n+1)=n! ¡\, \! ¡$del$
de \ ido (\ frac {1} {2} \ derecho)! = \ frac {\ raíz cuadrada {\ pi}} {2} ¡De acuerdo con el valor de la función gamma para el 1/2, el ejemplo específico de los factorials del Mitad-número entero se resuelve al $del\; \backslash \; se\; fue\; (n+\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)!\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; ^n\; del\; prod\_\; \{k=0\}\; \{2k\; +\; 1\; \backslash \; sobre\; 2\}.$

¡Por ejemplo
$3.5\; del$
! = \ raíz cuadrado {\ pi} \ cdot {1 \ sobre 2} \ cdot {3 \ over2} \ cdot {5 \ over2} \ cdot {7 \ over2} \ aproximadamente 11.

La función gamma de hecho se define para todos los números complejos $z$ a excepción del $no\; positivo\; de\; los\; números\; enteros\; (z\; =\; 0,\; -1,\; -2,\dots )$. Se piensa a menudo en como generalización de la función factorial al dominio complejo, que se justifica por las razones siguientes:
Significado compartido. La definición canónica de la función factorial comparte la misma relación recurrente con la función gamma. La función gamma se utiliza generalmente en un contexto similar a el de los factorials (pero, por supuesto, donde está un dominio más general de interés).
Unicidad (teorema de Bohr-Mollerup). La función gamma es la única función que satisface la relación recurrente ya mencionada para el dominio de números complejos, es el meromórfico, y es el Registro-convexo en el eje verdadero positivo. Es decir, es la única función lisa, registro-convexa que podría ser una generalización de la función factorial a todos los números complejos.

Euler también desarrolló una aproximación convergente del producto para los factorials del no-número entero, que se pueden ver para ser equivalentes a la fórmula para la función gamma arriba:

$n!\; \backslash \; frac\; aproximadamente\; \backslash \; dejado\; \backslash \; haber\; ido\; (\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\}\; \backslash derecho)\; ^n\; \backslash \; \{1\}\; \{n+1\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^n\; \backslash \; frac\; correcto\; \backslash \; dejado\; \backslash \; dejado\; \{2\}\; \{n+2\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\; \backslash \; derecho)\; ^n\; \backslash \; frac\; correcto\; \backslash \; dejado\; \backslash \; dejado\; \{3\}\; \{n+3\}\; \backslash \dots$ derecho

Puede también ser escrito como abajo:

¡$n!\; =\; \backslash \; ^\; del\; prod\_\; \{k\; =\; 1\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\}$ infty

El producto converge rápidamente para los pequeños valores de $n$.

Usos de la función gamma

el volumen de un dimensional Hypersphere de $n$- se puede expresar como: $V\_n=\; del$

l del
{\ pi^ {n/2} R^n \ sobre \ gamma ((n/2)+1)}.

Factorial-como productos

Hay varias otras secuencias del número entero similares al factoriales que se utilizan en matemáticas:

Primorial

El Primorial es similar al factorial, pero con el producto tomado solamente los números primeros

Factorial doble

¡$n!!$ denota el doble factorial del de $n$ y se define recurrentemente cerca

$¡n!!\; =\; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\; \backslash \; comenzar\; \{arsenal\}\; \{el\; ll\}\; 1,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n=-1\; \backslash \; mbox\; \{o\}\; n=0\; \backslash \; mbox\; \{o\}\; n=1;\; \backslash \; \backslash \; ¡n\; (n-2)!!\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; \backslash \; ge2.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; extremo\; \{arsenal\}\; \backslash \; derecho.$

¡Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · ¡8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La secuencia de factorials dobles para el $n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots$ comienza como
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840 del
,…

La definición antedicha se puede utilizar para definir factorials dobles de números negativos: ¡$del$

l (n-2)!! = \ frac {n!!}{n}

La secuencia de factorials dobles para el $n=\; -1,\; -3,\; -5,\; -7,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,\; comienzo\; de$ como
$1,\; -1,\; 1/3,\; -1/15\dots$ del

mientras que el doble factorial incluso de números enteros negativos es infinito.

Algunas identidades que implican factorials dobles son: ¡$n\; del\; !\; ¡=n!!\; ¡(n-1)!!\; \backslash ,$ ¡$del$

l (2n)!! ¡=2^nn! \, ¡$del$

l (2n+1)!! ¡= {(2n+1)! \ encima (2n)!!}¡= {(2n+1)! \ over2^nn!} ¡$del$

l (2n-1)!! ¡= {(2n-1)! \ encima (2n-2)!!}¡= {(2n)! \ over2^nn!} ¡

$\backslash \; gamma\; \backslash \; ido\; (n+\; \{1\; \backslash \; over2\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; pi\; \{(2n-1)!!\; \backslash \; over2^n\}$ ¡

$\backslash \; gamma\; \backslash \; se\; fue\; (\{n\; \backslash \; over2\}\; +1\; \backslash \; derechos)\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; pi\; \{n!!\; \backslash \; over2^\; \{(n+1)/2\}\}$

donde está la función el $\backslash \; Gamma$ gamma . La ecuación pasada antedicha se puede utilizar para definir el doble factorial en función de cualquier $n\; \backslash \; neq\; 0$ del número complejo, apenas pues la función gamma generaliza la función factorial. ¡Uno debe tener cuidado de no interpretar el $n!!\; ¡$ como el factorial del $n!\; ¡$, que sería escrito el $(n!)!$ y es un número mucho más grande (para el $n\; >\; 2$).

¡Multifactorialsnúmero catalán -->

¡Una notación relacionada común es utilizar puntos de exclamación múltiples para denotar un multifactorial, el producto de números enteros en pasos de dos ($n!!\; ¡$), tres ($n!!!$), o más. ¡El factorial doble es la variante más de uso general, pero uno puede definir semejantemente el factorial triple ($n!!!$) y así sucesivamente. ¡Generalmente el k ^th factorial, denotado por el $n!\; el\; ^\; \{(k)\}$, se define recurrentemente como

¡Algunos matemáticos han sugerido una notación alternativa del $n!\; ¡\_2$ para el factorial y semejantemente el $n\; dobles!\; \_k$ para otros multifactorials, sino éste no ha entrado en uso general.

Factorial cuádruple

El factorial cuádruple, sin embargo, no es un multifactorial; es un número mucho más grande dado por el $\backslash \; el\; frac\; \{(2n)!\}\{n!\}$.

Superfactorials

El Neil Sloane y el Simon Plouffe definieron el superfactorial en 1995 como el producto de los primeros factorials de $n$. El superfactorial de 4 está tan ¡$del$

l \ mathrm {sf} (4)=1! ¡\ épocas 2! ¡\ épocas 3! ¡\ épocas 4! =288 \,

En general

$\backslash \; mathrm\; \{sf\}\; (n)\; ¡=\; \backslash \; ^n\; k\; del\; prod\_\; \{k=1\}!\; =\; \backslash \; k^\; del\; ^n\; del\; prod\_\; \{k=1\}\; \{n-k+1\}\; =1^n\; \backslash \; cdot2^\; \{n-1\}\; \backslash \; cdot3^\; \{n-2\}\; \backslash \; cdots\; (n-1)\; ^2\; \backslash \; cdot\; n^1.$

La secuencia de comienzo de los superfactorials (de $n\; =\; de\; 0$) como

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200 del ,…

Esta idea fue ampliada en 2000 por el Henry Bottomley al superduperfactorial como el producto de los primeros superfactorials de $n$, comenzando (de $n\; =\; de\; 0$) como

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000 del ,…

y así recurrentemente a cualquie múltiple-nivel factorial del donde está el producto el m ^th-level factorial de $n$ del primer $de$ n$(m\; -\; factorials\; 1)$^th-level, es decir. $del$

l \ mathrm {frecuencia intermedia} (n, m) = \ mathrm {frecuencia intermedia} (n-1, m) \ mathrm {frecuencia intermedia} (n, m-1) = \ k^ del ^n del prod_ {k=1} {n-k+m-1 \ eligen el n-k}

donde $\backslash \; mathrm\; \{frecuencia\; intermedia\}\; (n,\; 0)\; =n$ para $n>0$ y el $\backslash \; el\; mathrm\; \{frecuencia\; intermedia\}\; (0,\; m)=1$.

Superfactorials (definición alternativa)

¡ Clifford Pickover en su 1995 libro llave a infinito definió superfactorial de $n$ como

$n\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; S¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash ;\; \backslash ,\; \{!\}¡\backslash \; equivalente\; \backslash \; comienza\; \{\}\; \backslash \; underbrace\; \{n\; de\; la\; matriz!\; ¡\backslash \; \backslash \; n\; del\; ^\}!\; \backslash ,\; \backslash ,\; del\; final\; \{matriz\}$ ¡o como,

$n\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; S¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash ;\; \backslash ,\; \{!\}¡=n!\; ¡^\; \{(4)\}\; n!\; \backslash ,$ ¡donde ⁽⁴⁾ notación denota Hyper4 operador, o usando Knuth up-arrow notación,

$n\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; S¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash ;\; \backslash ,\; \{!\}=\; (n!)\backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (n!)\; \backslash ,$ Esta secuencia de comienzo de los superfactorials: ¡

$1\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; S¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash ;\; \backslash ,\; \{!\}¡=1\; \backslash ,$
$2\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; S¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash ;\; \backslash ,\; \{!\}¡=2^2=4\; \backslash ,$
$3\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; S¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash ;\; \backslash ,\; \{!\}=6\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow6=6^\; \{6^\; \{6^\; \{6^\; \{6^6\}\}\}\}$

Hyperfactorials

El hyperfactorial de $n$ se considera de vez en cuando. Se escribe como $H\; (n)$ y definido cerca

$H\; (n)\; =\; \backslash \; k^k\; del\; ^n\; del\; prod\_\; \{k=1\}\; =1^1\; \backslash \; cdot2^2\; \backslash \; cdot3^3\; \backslash \; cdots\; (n-1)\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; cdot\; n^n.$

Para el n = 1, 2, 3, 4,… el H ( n ) de los valores son 1, 4, 108, 27648,… .

La función hyperfactorial es similar al factorial, pero produce números más grandes. El índice de crecimiento de esta función, sin embargo, no es mucho más grande que un asiduo factorial. Sin embargo, H (14) = 1.85… × 10⁹⁹ es ya casi igual a un Googol, y al H (15) = 8.09… × 10¹¹³ casi está de la misma magnitud que el número, el número teórico de Shannon de juegos de ajedrez posibles.

La función hyperfactorial se puede generalizar a los números complejos de una manera similar como la función factorial. La función resultante se llama la K-función .

Ver también

del

que alterna factorial
Función de la digamma
factorial exponencial
Factoradic
Prima factorial
Factorion
Aproximación de Stirling
Número triangular, el análogo del añadido de factorial

.

Zenithic

Factorial

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