En las matemáticas, el fenómeno de Gibbs del (también conocido como artefactos de sonido ), nombrado después americano J. Willard Gibbs del físico, es la manera peculiar de la cual la serie de Fourier Del de un continuamente diferenciable f de la función periódica por trozos se comporta en una discontinuidad del salto: la suma parcial del th del n de la serie de Fourier Tiene oscilaciones grandes cerca del salto, que pudo aumentar el máximo de la suma parcial sobre el de la función sí mismo. El overshoot no muere hacia fuera como la frecuencia aumenta, pero se acerca a un límite finito.

El overshoot es una consecuencia de intentar aproximar una función discontinua con (es decir) una suma finita parcial de funciones continuas. Una suma finita de funciones continuas es necesario continua, y por lo tanto no puede aproximar la discontinuidad (y el " del área; near" él) dentro de cualquie exactitud arbitrariamente elegida. Una suma infinita de funciones continuas puede ser discontinua, y el límite del pointwise de las sumas parciales de una serie de Fourier Del no exhibe un overshoot cerca de una discontinuidad del salto al igual que las sumas parciales ellos mismos.

Descripción

Los tres cuadros a la derecha demuestran el fenómeno para una onda cuadrada cuya sea extensión de Fourier $del$

l \ pecado (x)+ \ frac {1} {3} \ + \ frac {1} {5} \ + \ dotsb del pecado (3x) del pecado (5x)

Más exacto, éste es el f de la función que iguala el $\backslash \; pi/4$ entre $2n\; \backslash \; pi$ y el $(2n+1)\; \backslash \; pi$ y el $-\; \backslash \; pi/4$ entre el $(2n+1)\; \backslash \; pi$ y el $(2n+2)\; \backslash \; pi$ para cada n del número entero ; así esta onda cuadrada tiene una discontinuidad del salto del $\backslash \; pi/2$ de la altura en cada múltiplo de número entero del $\backslash \; pi$.

Como puede ser visto, pues se levanta el número de términos, el error de la aproximación se reduce en anchura y energía, pero converge a un de altitud fija. Un cálculo para la onda cuadrada (véase Zygmund, grieta 8., o los cómputos en el extremo de este artículo) dan una fórmula explícita para el límite de la altura del error. Resulta que la serie de Fourier Excede el $\backslash \; pi/4$ de la altura de la onda cuadrada cerca

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; pi\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; t\}\; \{t\}\; \backslash ,\; despegue\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; (0.089490\; \backslash \; puntos)$

o el cerca de 17. Más generalmente, en cualquier punto del salto de una función por trozos continuamente diferenciable con un salto del un, la serie de Fourier Parcial del th del n (para el n muy grande) llegará más allá de este salto por aproximadamente el $a\; \backslash \; el\; cdot\; (0.089490\; \backslash \; puntos)$ en un extremo y aterrizaje corto él por la misma cantidad en el otro extremo; así el " jump" en la serie de Fourier Parcial ser el cerca de 18% más grande que el salto en la función original. En la localización de la discontinuidad sí mismo, la serie de Fourier Parcial convergerá al punto mediano del salto (sin importar cuáles es el valor real de la función original a este punto). Cantidad

$\backslash \; int\_0^\; \backslash \; pi\; \backslash \; frac\; \{\backslash \}\; \backslash \; despegue\; del\; pecado\; t\}\; \{t\; =\; (1.851937052\; \backslash \; puntos)\; =\; \backslash \; 2\}\; +\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; (0.089490\; \backslash \; puntos)$ del frac {\ pi} { se conoce a veces como el Wilbraham - Gibbs constante del .

El fenómeno de Gibbs primero fue notado y analizado por el obscuro Henry Wilbraham . Él publicó un documento sobre él en 1848 que iba inadvertido por el mundo matemático. No era hasta que el Albert Michelson observó el fenómeno vía una máquina de representación gráfico gráficamente mecánica que se presentó el interés. Michelson desarrolló un dispositivo en el 1898 que podría computar y re-sintetiza la serie de Fourier. Cuando los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada fueron entrados a la máquina, el gráfico oscilaría en las discontinuidades. Esto continuaría ocurriendo incluso durante el número de los coeficientes de Fourier aumentó.

Porque era un dispositivo físico conforme a defectos de fabricación, Michelson fue convencido de que el overshoot fue causado por errores en la máquina. Willard Gibbs precisó en el 1899 que las oscilaciones eran un fenómeno matemático, y ocurriría siempre al sintetizar una función discontinua con una serie de Fourier. El Máximo Bôcher dio un análisis matemático detallado del fenómeno en el 1906 y lo nombró el fenómeno de Gibbs.

Informal, refleja la dificultad inherente en aproximar una función discontinua por una serie finita del de ondas continuas del seno y de coseno . Este fenómeno es también estrechamente vinculado al principio que el decaimiento de los coeficientes de Fourier de una función en el infinito es controlado por la suavidad de esa función; las funciones muy lisas tendrán coeficientes muy rápido de decaimiento de Fourier (dando por resultado la convergencia rápida de la serie de Fourier), Mientras que las funciones discontinuas tendrán coeficientes muy lentamente de decaimiento de Fourier (que hacen la serie de Fourier Converger muy lentamente). Observar por ejemplo que los coeficientes $1,\; 1/3,\; 1/5,\; \backslash \; dots$ de Fourier de la onda cuadrada discontinua descrita sobre decaimiento solamente tan rápidamente como la serie armónica, que no es el absolutamente convergente; de hecho, la serie de Fourier Antedicha resulta ser solamente condicional convergente para el casi cada valor de del X. Esto proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, puesto que la serie de Fourier Con los coeficientes absolutamente convergentes de Fourier sería el uniformemente convergente al lado de la M-prueba de Weierstrass y no podría así exhibir el comportamiento oscilatorio antedicho. De la misma manera, él es imposible para que una función discontinua tenga coeficientes absolutamente convergentes de Fourier, puesto que la función sería así el límite uniforme de funciones continuas y por lo tanto sería continua, una contradicción. Ver el más sobre la convergencia absoluta de la serie de Fourier .

En la práctica, las dificultades asociadas al fenómeno de Gibbs pueden ser mejoradas usando un método más liso de adición de la serie de Fourier, Tal como adición de Fejér o adición de Riesz, o usando la Sigma-aproximación . Usar una olita transforman con las funciones de base de Haar, el fenómeno de Gibbs no ocurren.

Descripción matemática formal del fenómeno

Dejar el $f:\; \{\backslash \}\; \backslash \; De\; Bbb\; R\; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; a$ ser una función por trozos continuamente diferenciable que es periódica con algún $L\; del\; período\; >\; 0$. Suponer que en un cierto punto $x\_0$, el $f\; izquierdo\; del\; límite\; (x\_0^-)$ y el $f\; correcto\; del\; límite\; (x\_0^+)$ de la función $f$ diferencian por un boquete diferente a cero $a$: $f\; (x\_0^+)\; -\; f\; (x\_0^-)\; del$

l = a \ neq 0.

Para cada &ge positivo del N del número entero; 1, dejó el N   del _{del S ; el f sea la serie de Fourier Parcial del th del N $S\_N\; f\; del$}

l (x): = \ sum_ {-} \ sombrero f de N \ del leq n \ del leq N (n) e^ {2 \ pi i n x/L}

\ frac {1} {2} a_0 + \ a_n \ lechuga romana del ^N del sum_ {n1} \ ido (\ frac {nx} de 2 \ pi {L} \ derecho) + b_n \ pecado \ (\ frac {nx} de 2 \ pi {L} \ derecho) dejado

donde el $de\; los\; coeficientes\; de\; Fourier\; \backslash \; el\; sombrero\; f\; (n),\; a\_n,\; b\_n$ es dado por las fórmulas generalmente $del$

l \ sombrero f (n): = \ frac {1} {L} \ int_0^L f (x) e^ {-} \, de 2 \ pi i n x/L dx

$a\_n\; :=\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\; \backslash \; int\_0^L\; f\; (x)\; \backslash \; lechuga\; romano\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{nx\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; \{L\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; dx$

$b\_n\; :=\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\; \backslash \; int\_0^L\; f\; (x)\; \backslash \; pecado\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{nx\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; \{L\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; dx.$

Entonces tenemos $del$

l \ lim_ {N \ \ infty} S_N f \ ido (x_0 + \ frac {L} {2N} \ derecho) = f (x_0^+) + a \ cdot (0.089490 \ puntos)

y $del$

l \ lim_ {N \ \ infty} S_N f \ ido (x_0 - \ frac {L} {2N} \ derecho) = f (x_0^-) - a \ cdot (0.089490 \ puntos)

pero = \ frac {f (x_0^-) del $\backslash \; del\; lim\_\; del$

l {N \ \ infty} S_N f (x_0) + f (x_0^+)}{2}. Más generalmente, si $x\_N$ es cualquie secuencia de verdadero número que converge a $x\_0$ como $N\; \backslash \; \backslash \; infty$, y si boquete es positivo entonces

$\backslash \; limsup\_\; \{N\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; S\_N\; f\; ()\; \backslash \; leq\; f\; (x\_0^+)\; del\; x\_N\; +\; a\; \backslash \; cdot\; (0.089490\; \backslash \; puntos)$ y

$\backslash \; liminf\_\; \{N\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; S\_N\; f\; ()\; \backslash \; geq\; f\; (x\_0^-)\; -\; a\; \backslash \; cdot\; (0.089490\; \backslash \; puntos)$ del x_N Si en lugar de otro el del boquete un es negativo, uno necesita intercambiar al superior de límite con el inferior de límite, y también intercambia el ≤ y ≥ muestras, en las dos desigualdades antedichas.

El ejemplo de la onda cuadrada

Ahora ilustramos el fenómeno antedicho de Gibbs en el caso de la onda cuadrada descrita anterior. En este caso el L del período es $2\; \backslash \; pi$, la discontinuidad $x\_0$ está en cero, y el del salto un es igual al $\backslash \; pi/2$. Para la simplicidad apenas tratemos del caso cuando el N está incluso (el caso del impar N es muy similar). Entonces tenemos

$S\_N\; f\; (x)\; =\; \backslash pecado(x)\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\; \backslash \; pecado\; (3x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N-1\}\; \backslash \; pecado\; ((N-1)\; x).$

Substituyendo $x=0$, obtenemos $S\_N\; f\; (0)\; =\; 0\; del$

l = \ = \ frac {f (0^-) del frac {- \ 4} + \ frac del frac {\ pi} {{\ pi} {4}} {2} + f (0^+)}{2}

según lo demandado arriba. Después, computamos

$S\_N\; f\; (\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{2N\})\; =\; \backslash \; pecado\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{N\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\; \backslash \; pecado\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\; \backslash \; derecho)\; dejado\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N-1\}\; \backslash \; pecado\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{(N-1)\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\; \backslash \; derecho).$

Si introducimos la función normalizada de Sinc, el $\backslash \; el\; operatorname\; \{sinc\}\; (x)\; \backslash ,$, nosotros pueden reescribir esto como

$S\_N\; f\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{2N\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash \; ido\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{N\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{N\}\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; dejado\; del\; sinc\; (\backslash \; frac\; \{3\}\; \{N\}\; \backslash \; derechos)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; el\; frac\; \{2\}\; \{\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; de\; N\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{(N-1)\}\{N\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho].$

Pero la expresión en corchetes es una aproximación numérica de la integración al $integral\backslash \; int\_0^1\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; (x)\; \backslash \; dx$ (más exacto, es una aproximación de la regla de punto mediano con el espaciamiento $2/N$). Puesto que la función del sinc es continua, esta aproximación converge al integral real como el $N\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$. Así tenemos

Ver también

Comparar con el fenómeno de Runge para las aproximaciones polinómicas
Aproximación de la sigma
Henry Wilbraham

Publicaciones

Gibbs, J., " " de la serie de Fourier del ;. Naturaleza 59, 200 (1898) y 606 (1899).
Antonio Zygmund, serie trigonométrica, publicaciones de Dover, 1955 del .
Wilbraham, del H. en cierta matemáticas de la función periódica, de Cambridge y de Dublín. Nahin, Fabulous Formula, prensa de la Universidad de Princeton de, 2006 del del Dr.

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Counting Down the Days (song)

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