En las matemáticas, un filtro es un subconjunto especial de un sistema parcialmente pedido . Un caso especial con frecuencia usado es la situación que el considerado determinado pedida es apenas la energía determinado de un cierto sistema, pedida por la inclusión del sistema. Los filtros aparecen en la orden y la teoría del enrejado, pero se pueden también encontrar en la topología de donde originan. La noción dual de un filtro es un ideal.

Los filtros fueron introducidos por el Enrique Cartan en 1937 y utilizados posteriormente por el Bourbaki en su Topologie Générale libro como alternativa a la noción similar de una red desarrollada en 1922 por el E.

Definición general

Un no vacío F del subconjunto de un sistema parcialmente pedido ( P, ≤) es un filtro si las condiciones siguientes se sostienen:

para cada x, y en el F, allí es un cierto z del elemento en el F, tal que   del z ; ≤    del x y del z ; ≤  y . (el F es una base del filtro del )

Para cada x en el F y el y en el P,   del x ; ≤  el y implica que el y está en el F . (el F es una parte superior determinado )

Un filtro es el apropiado si no es igual al P del sistema del conjunto. Esto se toma a menudo como parte de la definición de un filtro.

Mientras que la definición antedicha es la manera más general de definir un filtro para los posets arbitrarios, fue definida original para los enrejados solamente. En este caso, la definición antedicha se puede caracterizar por la declaración equivalente siguiente: Un no vacío F del subconjunto de un enrejado ( P, ≤) es un filtro, si y solamente si es un sistema superior que es cerrado debajo de finito resuelve (el infima ), es decir, para todo el x, y en el F, nosotros encuentra que el y del ∧ del x está también en el F .

El filtro más pequeño que contiene un dado p del elemento es un filtro principal y el p es un elemento principal en esta situación. El filtro principal para el p apenas es dado por el sistema { x en   del P ; |    del p ; ≤  el x } y es denotado prefijando el p con una flecha ascendente: $\backslash \; uparrow\; p$.

La noción dual de un filtro, es decir el concepto obtenido invirtiendo todo el ≤ e intercambiando el ∧ por el ∨, es el ideal. Debido a esta dualidad, la discusión de filtros hierve generalmente abajo a la discusión de ideales. Por lo tanto, la mayoría de la información adicional sobre este asunto (definición incluyendo de los filtros máximos y de los filtros primeros ) debe ser encontrada en el artículo sobre los ideales . Hay un artículo separado sobre los ultrafiltros

Filtro en un sistema

Un caso especial de un filtro es un filtro definido en un sistema. Dado un S del sistema, un ⊆ que ordena parcial se puede definir en el P ( S ) del powerset por la inclusión del subconjunto, dando vuelta (el P ( S ), ⊆) en un enrejado. Definir un F del filtro en el S como subconjunto del P ( S ) con las características siguientes: el S del

está en el F . (el F es no vacío)

El sistema vacío no está en el F . (el F es apropiado)

Si el A y el B está en el F, después está tan su intersección. (el F es cerrado debajo de finito resuelve )

Si el A está en el F y el A es un subconjunto del B, después el B está en el F, para todo el B de los subconjuntos del S . (el F es un sistema superior )

Las primeras tres características implican que un filtro del en un sistema tiene la característica de intersección finita . Observar que con esta definición, un filtro en un sistema es de hecho un filtro; de hecho, es un filtro apropiado. Debido a esto, a veces esto se llama un filtro apropiado del en un sistema ; sin embargo, mientras el contexto del sistema esté claro, el nombre más corto es suficiente.

Una base del filtro del (o la base del filtro del ) es un B del subconjunto del P ( S ) con las características siguientes: La intersección de cualesquiera dos sistemas del B contiene un sistema de

del B El B es no vacío y el sistema vacío no está en el B

Dado un B, uno de la base del filtro puede obtener el filtro (apropiado) de a incluyendo todos los sistemas del P ( S ) que contengan un sistema del B . El filtro resultante reputa generado cerca o atravesado por el B de la base del filtro. Cada filtro es el por mayor razón al filtro la base, así que el proceso del paso de base del filtro al filtro pueden verse como clase de terminación.

Si el B y el C son dos bases del filtro en el S, uno dice que el C es el un más fino que el B (o ese C es un refinamiento del B ) si para cada &isin del B ₀; B, hay un &isin del C ₀; C tales que &sube del C ₀; B ₀.
Para el filtro basa el B y el C, si el B es más fino que el C y el C es más finos que el B, después el B y el C reputan las bases equivalentes del filtro del . Dos bases del filtro son equivalentes si y solamente si los filtros que generan son iguales.
Para el filtro basa el A, el B, y el C, si el A es más fino que el B y el B es más finos que el A del C entonces es más fino que el C . Así la relación del refinamiento es un Preorder en el sistema de bases del filtro, y el paso de la base del filtro al filtro es un caso del paso de un preordering a ordenar parcial asociada.

Dado un T del subconjunto del P ( S ) nos podemos preguntar si existe un más pequeño F del filtro que contiene el T . Tal filtro existe si y solamente si la intersección finita de subconjuntos del T es no vacía. Llamamos el T una base inferior del F y decimos que el F es generado al lado del T . El F puede ser construido tomando todas las intersecciones finitas del T que es entonces base del filtro para el F .

Ejemplos

Dejar el S ser un sistema no vacío y el C sea un subconjunto no vacío. Entonces el $\backslash \; \{C\; \backslash \}$ es una base del filtro. El filtro que genera (es decir, la colección de todos los subconjuntos que contienen el C ) se llama el filtro principal generado por el C .
El filtro del

A reputa un filtro libre si la intersección de todos sus miembros es vacía. Un filtro principal no está libre. Puesto que la intersección de cualquier número finito de miembros de un filtro es también un miembro, no hay filtro en un sistema finito libre, y es de hecho el filtro principal generado por la intersección común de todos sus miembros. Un filtro nonprincipal en un sistema infinito no está necesario libre.

el filtro de Fréchet en un infinito S del sistema es el sistema de todos los subconjuntos del S que tengan complemento finito. El filtro de Frechet está libre, y se contiene en cada filtro libre en el S .
La estructura uniforme A en un X del sistema es (particularmente) un filtro en × del X ; X .
El filtro del

A en un Poset se puede crear usar el lema de Rasiowa-Sikorski, de uso frecuente en el que fuerza .

el $del\; sistema\; \backslash \; \{\backslash \; \{N,\; N+1,\; N+2,\; \backslash \; puntos\; \backslash \}:\; N\; \backslash \; en\; \backslash \; \{1.3,\; \backslash \; los\; puntos\; \backslash \}\; \backslash \}$ se llama una base del filtro del de las colas de la secuencia de $de\; los\; números\; naturales\; (1.\; Una\; base\; del\; filtro\; de\; colas\; se\; puede\; hacer\; de\; cualquier\; \_\; del$ de\; la\; red\; (x\_\; \backslash \; alfa)\; \{\backslash \; alfa\; \backslash \; en\; A\}$usar\; el$ \backslash \; \{\backslash \; \{de\; laconstrucciónx\_\; \backslash \; alfa:\; \backslash \; alfa\; \backslash \; en,\; \backslash \; alpha\_0\; \backslash \; leq\; a\; de\; A\; \backslash \}:\; \backslash \; alpha\_0\; \backslash \; en\; A\; \backslash \}\; \backslash ,$.\; Por\; lo\; tanto,\; todas\; las\; redes\; generan\; una\; base\; del\; filtro\; (y\; por\; lo\; tanto\; un\; filtro).\; Puesto\; que\; todas\; las\; secuencias\; son\; redes,\; ésta\; se\; sostiene\; para\; las\; secuencias\; también.$

Filtros en la teoría modelo

Para cualquie F del filtro en un S, la función determinada del sistema definida por el $del\; m\; (A)=\; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\; \backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; \backslash ,\; 1\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; A\; \backslash \; en\; de\; F\; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; 0\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; S\; \backslash \; setminus\; A\; \backslash \; en\; de\; F\; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \; y\; \{indefinido\}\; \backslash \; mbox\; del\; mbox\; \{si\; no\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.$ está finito el añadido - un " " de la medida ; si ese término se interpreta algo libremente. Por lo tanto el $del\; de\; la\; declaración\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash ,\; x\; \backslash \; en\; S:\; \backslash \; varphi\; (x)\; \backslash ,\; \backslash derecho\backslash \}\; \backslash \; en\; F$ puede ser considerado algo análogo a la declaración que el φ lleva a cabo el " casi everywhere". Esa interpretación de la calidad de miembro en un filtro se utiliza (para la motivación, aunque no sea necesaria para las pruebas reales del ) en la teoría Ultraproducts en la teoría modelo, una rama de la lógica matemática .

Filtros en topología

En la topología y el análisis, los filtros se utilizan para definir la convergencia de una forma similar al papel de las secuencias en un espacio métrico .

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas, un filtro es una generalización de una red . Las redes y los filtros proporcionan contextos muy generales para unificar las varias nociones del límite a los espacios topológicos arbitrario

Una secuencia es puesta en un índice generalmente por los números naturales, que son un sistema total pedido . Así, los límites en los espacios Primero-contables se pueden describir por secuencias. Sin embargo, si el espacio no es primero-contable, las redes o los filtros deben ser utilizados. Las redes generalizan la noción de una secuencia requiriendo el sistema de índice sean simplemente un sistema dirigido . Los filtros se pueden pensar en como sistemas construidos de redes múltiples. Por lo tanto, el límite de un filtro y el límite de una red es conceptual igual que el límite de una secuencia.

Una ventaja a usar los filtros es que muchos resultados pueden ser demostrados sin usar el axioma de la opción .

Bases de la vecindad

Tomar un T del espacio topológico y un &isin del x del punto; T .
x del _{del N de la toma del}

a ser el filtro de la vecindad del en el x del punto para el T . Esto significa que el x del _{del N es el sistema de todas las vecindades topológicas x del punto. Puede ser verificado que el x} del _{del N es un filtro. Un sistema de la vecindad del es otro nombre para un filtro de la vecindad del .}

para decir que el N es una base de la vecindad del en el x para el T significa eso para todo el &isin del V ₀; El x del _{del N, allí existe un &isin del N 0; N tales que &sube del N 0; V 0. Observar que cada base de la vecindad es una base del filtro.}

Bases convergentes del filtro

Tomar un T del espacio topológico y un &isin del x del punto; T .

para decir que el bajo del B del filtro converge al x, &rarr denotado del B ; el x, significa que para cada U de la vecindad del x, hay un &isin del B ₀; B tales que &sube del B ₀; U . En este caso, el x se llama un punto del límite B y el B se llama una base convergente del filtro del . Observar que el punto de límite del del término está utilizado aquí mientras que la generalización para filtrar las bases del concepto de un limita ; en algunos contextos el punto de límite del del término se utiliza para un punto del racimo, se explica abajo, y por lo tanto se distingue del límite término. Para cada N de la base de la vecindad del x, &rarr del N ; x .
Si el N es una base de la vecindad del p y el C es una base del filtro en el T, entonces &rarr del C ; x si y solamente si el C de es más fino que el N .
Para el &sube del X ; El T, decir que el p es un punto de límite del X en el T significa eso para cada U de la vecindad del p en el T, &cap del U ; &ne del (A - {p}) ; ∅.
Para el &sube del X ; El T, p es un punto de límite del X en el T si y solamente si existe un B de la base del filtro en el A - {p} tales que &rarr del B ; p .

Agrupamiento

Tomar un T del espacio topológico y un &isin del x del punto; T .

para decir que el x es un punto del racimo para el B de la base del filtro en el T significa eso para cada &isin del B ₀; B y para cada U de la vecindad del x en el T, B ₀∩ &ne del U ; ∅. En este caso, el B se dice al racimo en el x del punto. Para el B de la base del filtro tales que &rarr del B ; el x, el x del punto de límite es también un punto del racimo.
Para el B de la base del filtro con el x, del punto del racimo es el no el caso que el x es necesario un punto de límite.
Para un B de la base del filtro que arracima en el x del punto, hay un C de la base del filtro que es más fino que el bajo B del filtro que converge al x .
Para un B, el &cap de la base del filtro del del sistema; {cl (B₀): B₀∈ B} es el sistema de todos los puntos del racimo del B (nota: el cl del (B₀) es el encierro B₀ ). Asumir que el T es un sistema parcialmente pedido . El inferior de límite del B es el Infimum del sistema de todos los puntos del racimo del B .
El superior de límite del B es el Supremum del sistema de todos los puntos del racimo del B .
El B es un convergente de la base del filtro si y solamente si su inferior de límite y superior de límite convienen; en este caso, el valor en que ellos conviene es el límite de la base del filtro.

Características de un espacio topológico

Tomar un T del espacio topológico.
El T es un del espacio de Hausdorff si y solamente si para cada B de la base del filtro en el T, &rarr del B ; &rarr del p y del B ; el q implica el p = el q (es decir, cada filtro (base) tiene a lo más un punto de límite).
El T es el compacto si y solamente si cada base del filtro en el X arracima.
El T es el compacto si y solamente si cada base del filtro en el X es un subconjunto de una base convergente del filtro.
El T es compacto si y solamente si converge cada ultrafiltro en el X .

Funciones en espacios topológicos

Tomar el X de los espacios topológicos y el Y y &sube del E del subconjunto; X . Tomar un B de la base del filtro en el E y un $f\; de\; la\; función:\; E\; \backslash \; a\; Y$. La imagen B bajo f es el f '' es el $del\; sistema\; \backslash \; \{f\; (x):\; x\; \backslash \; en\; B\; \backslash \}$. La imagen f '' forma una base del filtro en el Y .
el f es el continuo en el x si y solamente si el $F\; \backslash \; a\; x$ implica el $f\; (F)\; \backslash \; a\; f\; (x)$.

Espacios métricos

Tomar a el X del espacio métrico con el métrico d .
Para decir que es un B de la base del filtro en el X el Cauchy significa que para cada &epsilon del número verdadero ; >0, hay un &isin del B ₀; B tales que el diámetro métrico B ₀ es menos que ε.
Tomar el (x_n) para ser una secuencia en el X del espacio métrico. el (x_n) es una secuencia de Cauchy si y solamente si la base del filtro del de la forma {{x_N, x_N+1,…} : &isin de N; {1.

Filtros en espacios uniformes

Dado un X del espacio del uniforme, un F del filtro en el X se llama el filtro de Cauchy del si para cada U de la comitiva hay un $A\; \backslash \; en\; F$ con el $(x,\; y)\; \backslash \; en\; U$ para cada $x,\; y\; \backslash \; en\; A$. En un espacio métrico que éste toma la forma F está Cauchy si para cada épsilon. El X reputa completo si converge cada filtro de Cauchy. Inversamente, en un espacio uniforme cada filtro convergente es un filtro de Cauchy. Por otra parte, cada punto del racimo de un filtro de Cauchy es un punto de límite.

Un espacio uniforme compacto es completo: en un espacio compacto cada filtro tiene un punto del racimo, y si el filtro es Cauchy, tal punto del racimo es un punto de límite. Además, una uniformidad es compacta si y solamente si es completo y el total limitado.

Ver también

Filtración (álgebra abstracta)
Red (matemáticas)

.

Zenithic

SCOJ 2003 No.157

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