Los filtros de Chebyshev del son el los filtros análogos de Digitaces de o que tienen una descarga rodada más escarpada y más ondulación de la banda útil que los filtros de los filtros de Butterworth Chebyshev tienen la característica que reducen al mínimo el error entre el filtro idealizado característico y el real sobre la gama del filtro, pero con las ondulaciones en la banda útil. Este tipo de filtro se nombra en honor Pafnuty Chebyshev porque sus características matemáticas se derivan de los polinomios de Chebyshev.

Debido a la ondulación de la banda útil inherente en Chebyshev filtra, los filtros que tienen una respuesta más lisa en la banda útil pero una respuesta más irregular en el stopband es preferred para algunos usos.

Mecanografiar los filtros de I Chebyshev

Éstos son los filtros mas comunes de Chebyshev. La respuesta del aumento (o la amplitud ) en función del $\backslash \; omega$ de la frecuencia angular del filtro de paso bajo de la orden del th del n es el $G\_n\; del$

l (\ Omega) = \ se fue | H_n (j \ Omega) \ derecho | = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {1+ \ epsilon^2 T_n^2 \ ido (\ frac {\ Omega} {\ omega_0} \ derechos)}}

donde está el factor el $\backslash \; epsilon$ de ondulación, el $\backslash \; omega\_0$ es la frecuencia de atajo y el $T\_n\; ()$ es un Chebyshev polinómico de la orden de $n$th.

La banda útil exhibe comportamiento del equiripple, con la ondulación determinada por el $\backslash \; epsilon$ del factor de ondulación. En la banda útil, los suplentes del polinomio de Chebyshev entre 0 y 1 que el aumento del filtro alternará tan entre los máximos en el G=1 y los mínimos en $G=1/\backslash \; laraíz\; cuadrada\{1+\; \backslash \; epsilon^2\}$. En el $\backslash \; omega\_0$ de la frecuencia de atajo el aumento tiene el valor $1/\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+\; \backslash \; epsilon^2\}$ pero continúa otra vez cayendo en la venda de la parada mientras que la frecuencia aumenta. Este comportamiento se demuestra en el diagrama a la derecha. (nota del : la definición común de la frecuencia de atajo al − el DB de 3 hace el asimiento del no para los filtros de Chebyshev!)

La orden de un filtro de Chebyshev es igual al número de componentes reactivos (por ejemplo, los inductores necesitaron realizar el filtro usar la electrónica análoga .

La ondulación se da a menudo en DB :

ondulación en DB = $20\; \backslash \; log\_\; \{10\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+\; \backslash \; epsilon^2\}\}$

de modo que una ondulación de 3 resultados del DB del $\backslash \; del\; épsilon\; =\; de\; 1$.

Una descarga rodada incluso más escarpada se puede obtener si tenemos en cuenta la ondulación en la venda de la parada, permitiendo ceros en el $j\; \backslash \; omega$-axis en el plano complejo. Esto sin embargo dará lugar a menos supresión en la venda de la parada. El resultado se llama un filtro elíptico, también conocido como filtros de Cauer. style=" del

Postes y ceros

Para la simplicidad, asumir que la frecuencia de atajo es igual a la unidad. El $de\; los\; postes\; (\backslash \; omega\_\; \{P.\})$ del aumento del filtro de Chebyshev será los ceros del denominador del aumento. Usar el complejo s de la frecuencia:

$1+\; \backslash \; epsilon^2T\_n^2\; (-\; js)\; =0$ del

Definiendo el $-js=\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta)$ y usar la definición trigonométrica de las producciones de los polinomios de Chebyshev:

$1+\; \backslash \; epsilon^2T\_n^2\; del\; (\backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta))=1+\; \backslash \; epsilon^2\; \backslash \; cos^2\; (n\; \backslash \; theta)\; =0$

el solucionar para el $\backslash \; theta$ $del$

l \ theta= \ frac {1} {n} \ arccos \ (\ frac {\ P. j} {\ épsilon} \ derecho) + dejado \ frac {m \ pi} {n}

donde los valores múltiples de la función de coseno del arco se hacen explícitos usar el m del índice del número entero. Los postes de la función del aumento de Chebyshev son entonces:

$s\_\; \{P.\}\; =j\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash )\; \backslash ,\; de\; la\; theta$ =j\; del\; del$$
del
de \ lechuga romana \ (\ frac {1} {n} \ arccos \ dejados (\ frac {\ P. j} {\ épsilon} \ derecho) + dejado \ frac {m \ pi} {n} \) derecho

Usar las características de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, esto se puede escribir en forma explícitamente compleja: ^ del $s\_\; del$

l {P. \ sinh \ ido (\ frac {1} {n} \ mathrm {} \ dejado del arcsinh (\ frac {1} {\ épsilon} \ derecho) \ derecho) \
$+j\; \backslash \; garrote\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; dejado\; del\; arcsinh\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; épsilon\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta\_m)\; del$
del
del
del
del pecado (\ theta_m)

donde m=1,2,…   de n ; y

$\backslash \; theta\_m=\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{2m-1\}\; \{n\}$

Esto se puede ver como ecuación paramétrica en el $\backslash \; theta\_n$ y demuestra que los postes mienten en una elipse en el s - espacio centrado en s=0 con un semi-eje verdadero del $\backslash \; del\; sinh\; de\; la\; longitud\; (\backslash \; mathrm\; \{arcsinh\}\; (1\; \backslash \; épsilon)\; /n)$ y un semi-eje imaginario de la longitud del $\backslash \; del\; garrote\; (\backslash \; mathrm\; \{arcsinh\}\; (1\; \backslash \; épsilon)\; /n)$

La función de transferencia

La expresión antedicha rinde los postes del G del aumento. Para cada poste complejo, hay otro que es la conjugación compleja, y para cada par conyugal hay dos más que son las negativas de los pares. La función de transferencia debe ser estable, de modo que sus postes sean los del aumento que tienen partes reales negativas y por lo tanto mienten en el medio plano izquierdo del espacio complejo de la frecuencia. La función de transferencia entonces se da cerca

$H=\; \backslash \; prod\_\; \{m=0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{(^-\; del\; s-s\_\; \{P.\})\}$

donde está el $s\_\; \{P.\}\; ^-$ solamente esos postes con una muestra negativa delante del verdadero llaman en la ecuación antedicha para los postes.

Para obtener un aumento de 1 para el $\backslash \; omega$=0 (según las indicaciones de la figura siguiente) la función de transferencia H tiene que ser normalizada con un contstant.

El retardo de grupo

El retardo de grupo se define como el derivado de la fase con respecto a frecuencia angular y es una medida de la distorsión en la señal introducida por las diferencias de fase para diversas frecuencias.

$\backslash \; tau\_g=-\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \}\; \backslash \; arg\; (H\; (j\; \backslash \; Omega)\; de\; Omega)$

El aumento y el retardo de grupo para un quinto tipo de orden filtro de I Chebyshev con el ε =0.5 se trazan en el gráfico a la izquierda. Puede ser visto que hay ondulaciones en el aumento y el retardo de grupo en la banda útil pero no en la venda de la parada. style=" del

Tipo filtros de II Chebyshev

También conocido como Chebyshev inverso, este tipo es menos común porque no se cae tan rápidamente como el tipo I, y requiere más componentes. No tiene ninguna ondulación en la banda útil, sino tiene equiripple en el stopband. El aumento es: = \ frac del $G\_n\; del$

l (\, \ omega_0 de Omega) {1} {\ raíz cuadrada {1+ \ frac {1} {\ epsilon^2 T_n ^2 \ se fue/(\ omega_0 \ Omega \ derecho)}}}

En la venda de la parada, el polinomio de Chebyshev oscilará entre 0 y 1 de modo que el aumento oscile entre cero y $del$

l \ frac {1} {\ raíz cuadrada {1+ \ frac {1} {\ epsilon^2}}}

y la frecuencia más pequeña en la cual se logra este máximo será el $\backslash \; omega\_0$ de la frecuencia de atajo. El &epsilon del parámetro; se relaciona así con el &gamma de la atenuación de Stopband ; en los decibelios cerca: = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {10^ {0.1 \ gamma} - 1} del $\backslash \; del\; épsilon\}\; del$

l

Para una atenuación del stopband de 5dB, ε = 0.6801; para una atenuación de 10dB, ε = 0. El de la frecuencia f_C = ω &pi _C/2; es la frecuencia de atajo. 3dB la frecuencia f_H se relaciona con f_C cerca: $f\_H\; del$

l = f_C \ garrote \ (\ frac {1} {n} \ cosh^ {- 1} \ frac {1} {\ épsilon} \ derecho) dejado

Postes y ceros

Una vez más si se asume que la frecuencia de atajo es igual a la unidad, el $de\; los\; postes\; (\backslash \; omega\_\; \{P.\})$ del aumento del filtro de Chebyshev será los ceros del denominador del aumento:

$1+\; \backslash \; epsilon^2T\_n^2\; (-\; 1/js\_\; \{P.\})\; =0$ del

Los postes del aumento del tipo filtro de II Chebyshev serán lo contrario de los postes del tipo filtro de I: $del$

l \ frac {1} {^ \ P. \ sinh \ ido (\ frac {1} {n} \ mathrm {} \ dejado del arcsinh (\ frac {1} {\ épsilon} \ derecho) \ derecho) \ $\backslash \; qquad+j\; \backslash \; garrote\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; dejado\; del\; arcsinh\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; épsilon\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta\_m)\; del\; delpecado(\backslash \; theta\_m)$

donde m=1,2,…,   de n ;. El $de\; los\; ceros\; (\backslash \; omega\_\; \{ZM\})$ del tipo filtro de II Chebyshev será los ceros del numerador del aumento: $\backslash \; epsilon^2T\_n^2\; (-\; 1/js\_\; \{ZM\})\; =0$ del

l

Los ceros del tipo filtro de II Chebyshev serán así lo contrario de los ceros del polinomio de Chebyshev.

$1/s\_\; \{ZM\}\; del\; =\; -\; j\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{2m-1\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)$ dejado

donde m=1,2,…,   de n ;.

La función de transferencia

La función de transferencia será dada por los postes en el medio plano izquierdo de la función del aumento, y tendrá los mismos ceros pero estos ceros serán solos algo que ceros dobles.

El retardo de grupo

El aumento y el retardo de grupo para un quinto tipo de orden filtro de II Chebyshev con el ε =0.1 se trazan en el gráfico a la izquierda. Puede ser visto que hay ondulaciones en el aumento en la venda de la parada pero no en la venda de paso. style=" del

Puesta en práctica

Topología de Cauer

Un filtro de paso bajo pasivo del LC Chebyshev se puede observar usar una topología de Cauer. Los valores del inductor o del condensador de un filtro de Chebyshev de la nth-orden se pueden calcular de las ecuaciones siguientes:

= \ frac {2A_1 \ garrote (f_H) del $G\_1\}\{Y\}$ = \ frac {4A_ {k-1} A_k \ cosh^2 (f_H) del $G\_k\}\; del$

l {B_ {k-1} G_ {k-1}} , k =2,3,4,… n,

el
G₁, G_k del
es los valores del elemento del condensador o del inductor. el
f_H, las 3 frecuencias del DB se calcula con: $f\_H\; =\; f\_C\; \backslash \; garrote\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; cosh^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; épsilon\}\; \backslash \; derecho)$ dejado el

l los coeficientes A, Y, β, A_k, y B_k se puede calcular de las ecuaciones siguientes: $Y=\; del$

l del
\ sinh (\ frac {\ beta} {2n}) $del$

l del
\ beta= \ ln \ grande (\ coth (R_ {DB} /17.37) \ grande) $A\_k=\; \backslash \; pecado\; \backslash \; frac\; del$

l del
{(2k-1) \ pi} {2n} , k = 1.3,… n

$B\_k=Y^2+\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{k\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)$ dejado, k del del
= 1.3,…
de n donde está la ondulación R_dB de la banda útil en decibelios.

Los valores calculados de G_k se pueden entonces convertir en los condensadores de la desviación y los inductores superiores como se muestra a la derecha, o pueden ser convertidos en los condensadores y los inductores superiores de la desviación.

por ejemplo, C_{1 shunt}=G₁, L_{2 top}=G₂,…

o L_{1 shunt} = G₁, C_{1 top}=G₂,…

El circuito resultante es un filtro de paso bajo normalizado. Usar las transformaciones de la frecuencia y el escalamiento de la impedancia, el filtro de paso bajo normalizado se puede transformar en el high-pass, el sintonizado, y los filtros eliminadores de banda de cualquier frecuencia de atajo deseada o de la anchura de banda .

Digitaces

Como con la mayoría de los filtros análogos, el Chebyshev puede ser convertido a un digital (del tiempo discreto) que la forma recurrente de vía el bilineario transforma . Sin embargo, como los filtros digitales tienen una anchura de banda finita, la forma de la respuesta del Chebyshev transformado será combado . Alternativo, el Z-transform emparejado puede ser utilizado, que no comba la respuesta.

Comparación con otros filtros lineares

Aquí está una imagen que demuestra los filtros de Chebyshev al lado de la otra clase común de filtros obtenidos con el mismo número de coeficientes:

Como está claro de la imagen, los filtros de Chebyshev son más agudos que el filtro de Butterworth ; no son tan agudos como el un elíptico, sino que demuestran pocas ondulaciones sobre la anchura de banda.

Ver también

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