En las matemáticas, una forma cuadrático es un polinomio homogéneo del grado dos en un número de variables.

Las formas cuadráticos son objetos centrales en las matemáticas, ocurriendo por ejemplo en la teoría de número, la geometría Riemannian (como curvatura ), y la teoría de la mentira (vía la forma de la matanza).

Son también ubicuas en la física y la química, como la energía de un sistema, particularmente en lo referente a la norma L², que lleva al uso de los espacios de Hilbert

Definición

Las formas cuadráticos en una, dos, y tres variables se dan cerca: $F\; del$

l (x) = $F\; del$
de ax^2 (x, y) = $F\; del$
de ax^2 + de by^2 + de cxy (x, y, z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz

El lejos de 2, las formas cuadráticos es equivalente a las formas bilinearias simétricas (por las identidades de la polarización), pero en 2 son diversos conceptos; esta distinción es particularmente importante para las formas cuadráticos sobre los números enteros.

La forma cuadrático del término es también de uso frecuente referir a un espacio cuadrático, que es un par ( V, q ) donde está un espacio el V de vector sobre un k del campo, y al q : &rarr del V ; el k es una forma cuadrático en el V . Por ejemplo, la distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano tridimensional es encontrada tomando la raíz cuadrada de una forma cuadrático que implica seis variables, los tres coordenadas de cada uno de los dos puntos.

Una forma cuadrático en 2 variables se llama una forma cuadrático binaria, y éstos se estudian extensivamente en la teoría de número (particularmente en la teoría de las formas modulares ), junto con sus campos asociados de la ecuación cuadrática

Observar que las funciones cuadráticos general y las ecuaciones cuadráticos no son ejemplos de formas cuadráticos, pues no son siempre el homogéneo: las funciones cuadráticos son funciones encendido afinan el espacio, mientras que las formas cuadráticos son " functions" en el espacio descriptivo (correctamente, secciones del $\backslash \; \{O\}\; de\; (2)$ mathcal, el cuadrado que tuerce la gavilla ).

Cualquier forma cuadrático diferente a cero en variables del n define (n-2) - dimensional cuádrico en el espacio descriptivo . De esta manera uno puede visualizar formas cuadráticos de 3 dimensiones como secciones cónicas .

Formas simétricas

Cuando el trabajo sobre un anillo donde está inversibles 2 (por ejemplo, sobre un campo característico no igual a 2), una forma cuadrático es equivalente a una forma bilinearia simétrica, en este contexto a menudo llamado simplemente un la forma simétrica . Se confunden así con frecuencia, como en formas cuadráticos integrales (abajo), o en grupos más altos de Witt. Sin embargo, son conceptos distintos, y la distinción es con frecuencia importante.

Intuitivo, una forma simétrica generaliza $xy$, mientras que una forma cuadrático generaliza $x^2$, y uno puede pasar entre éstos vía las identidades de la polarización.

Dado una forma cuadrático $Q$, uno obtiene una forma simétrica $B$, llamada la forma simétrica asociada o la forma bilinearia asociada, vía: $B\; del\; (u,\; v)\; =\; Q\; (u+v)\; -\; Q\; (u)\; -\; Q\; (v)$ Esto corresponde a: $2xy\; =\; (x+y)^2\; -\; x^2\; -\; y^2$

Inversamente, dado un la forma bilinearia $B$ (que no necesitan ser simétrica), una obtiene una forma cuadrático vía: $Q\; del\; (u)\; =\; B\; (u,\; u)$ Esto corresponde a: $x^2\; =\; x\; \backslash \; cdot\; x$

Si uno compone estas dos operaciones, una consigue la multiplicación por 2 (si una comienza con una forma cuadrático o una forma bilinearia simétrica del ); así si 2 es inversibles, estas operaciones son inversibles (las identidades de la polarización); por analogía con = $xy\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; \{2\}\; \backslash \; se\; fue\; ((x+y)^2\; -\; x^2\; -\; y^2\; \backslash \; derecho)$ uno toma

$B\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (Q\; (u+v)\; -\; Q\; (u)\; -\; Q\; (v)\; \backslash \; derecho)$ cuál da una correspondencia 1-1 entre las formas cuadráticos en el V y las formas simétricas en el V .

Pero si 2 no es inversibles, las formas simétricas y las formas cuadráticos son diferentes: algunas formas cuadráticos no se pueden escribir en el $B\; de\; la\; forma\; (u,\; u)$, por ejemplo, sobre los números enteros, el $Q\; (u)=x^2+xy+y^2$, o más simplemente el $Q\; (u)=xy$.

Detalles

Describamos esta equivalencia en el caso dimensional 2. Cualquier forma cuadrático dimensional 2 se puede escribir como $F\; del$

l (x, y) = ax^2 + bxy + cy^2.

Escribamos el v = (el x, el y ) para cualquier vector en el espacio de vector. El cuadrático F de la forma se puede expresar en términos de matrices si dejamos el M ser los 2× matriz 2:

$M=\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; a\; y\; b/2\; \backslash \; \backslash \; b/2\; y\; c\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$

Entonces la multiplicación de la matriz nos da la igualdad siguiente: F ( v ) del

l = v ^T· · del M ; v

Donde el potencia v ^T denota el transportar de una matriz . Aviso que hemos utilizado que la característica no es 2, puesto que dividimos por 2 para definir el M . Vemos tan la correspondencia entre el dimensional F y 2× de 2 formas de la ecuación cuadrática; 2 M de las matrices simétricas, que corresponden a las formas simétricas.

Esta observación generaliza rápidamente a las formas en variables del n y × del n ; matrices simétricas del n . Por ejemplo, en el caso verdadero - formas cuadráticos valoradas, la característica de los números verdaderos es 0, así que las formas cuadráticos verdaderas y las formas bilinearias simétricas verdadero son los mismos objetos, desde diversos puntos de vista.

Si el V está libre del n de la fila escribimos el bilineario formamos el B como B de la matriz simétrica concerniente a una cierta base { i del _{del e } para el V . Los componentes del B son dados por el $B\_\; \{ij\}\; =\; B\; (e\_i,\; e\_j)$. Si 2 es inversibles el cuadrático Q de la forma entonces es dado por el
$2\; Q\; del$
(u) = \ ^T del mathbf {u} \ mathbf {BU} = \ el u^i u^j de B_ del ^ del sum_ {i, j=1} {n} {ij} donde está los componentes el i del ^{del u del u en esta base.}}

Definición abstracta

considera también:

ε-cuadrático de la forma

Dejar el V ser un módulo sobre un R del anillo comutativo ; el R es a menudo un campo, tal como los números verdaderos en este caso el V es un espacio de vector .

Una forma cuadrático es un elemento del cuadrado simétrico del espacio dual, $del\; \backslash \; mbox\; \{Sym\}\; ^2\; \backslash \; se\; fue\; (V^*\; \backslash \; derecho):\; =/\backslash \; langle\; v\; \backslash \; otimes\; w\; -\; w\; \backslash \; otimes\; de\; V^*\; \backslash \; de\; V^*\; de\; los\; otimes\; v\; \backslash \; rangle.$ Ésta es exacto la formulación coordinar-libre del " polynomial" homogéneo del grado 2;, como la álgebra simétrica de $V^*$ corresponde a los polinomios en $V$.

Las formas bilinearias son el $V^*\; delproducto\; de\; tensor\backslash \; los\; otimes\; completos\; V^*$, y las formas simétricas son el subespacio de la nota simétrica de los tensores que el espacio de formas cuadráticos es un cociente espacio de formas bilinearias, mientras que las formas simétricas son un subespacio del .

En términos de matrices, (tomamos $V$ para ser de 2 dimensiones):
el $de\; las\; matrices\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; c\; de\; b\; y\; d\; \backslash \; el\; extremo\; \{pmatrix\}$ corresponden a las formas bilinearias
el subespacio del $de\; las\; matrices\; simétricas\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; b\; de\; b\; y\; c\; \backslash \; el\; extremo\; \{pmatrix\}$ corresponden a las formas simétricas
el $bilineario\; de\; la\; forma\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; c\; de\; b\; y\; d\; \backslash \; el\; extremo\; \{pmatrix\}$ rinde la forma cuadrático $ax^2\; +\; bxy+cyx\; +\; dy^2\; =\; ax^2\; +\; (b+c)\; xy\; +\; dy^2$, que es un mapa del cociente con el $del\; núcleo\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; -\; de\; 0\; y\; de\; b\; b\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$.

Uno puede definir además las formas cuadráticos que corresponden a las formas hermitianas Sesgar-simétrico de las formas y las formas Sesgar-Hermitianas el concepto general son la forma ε-cuadrático .

Lejos de 2

Lejos de 2, uno puede definir una forma cuadrático en términos de su forma simétrica asociada así.

Un $Q\; del\; mapa\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; V\; \backslash \; a\; R$ se llama una forma cuadrático en el V si
Q ( sistema de pesos americano ) = un Q ( v ) de ² para todo el $a\; \backslash \; en\; R$ y $v\; \backslash \; en\; V$, y
B ( u, v ) = &minus del Q ( u + v ); &minus del Q ( u ); El Q ( v ) es una forma bilinearia en el V .

Aquí el B se llama la forma simétrica asociada ; es una forma bilinearia simétrica .

Otras definiciones

El u de dos elementos y el v del V se llaman el ortogonal si el B ( u, v ) =0.

El núcleo del bilineario B de la forma consiste en los elementos que son ortogonales a todos los elementos del V, y el núcleo del cuadrático Q de la forma consiste en todo el u de los elementos del núcleo del B con el Q ( u ) =0. Si 2 es inversibles entonces el Q y su bilineario asociado B de la forma tienen el mismo núcleo.

El bilineario B de la forma se llama el no singular si su núcleo es 0, y el cuadrático Q de la forma se llama el no singular si su núcleo es 0.

El grupo ortogonal de un cuadrático no singular Q de la forma es el grupo de automorfismos del V que preserven el cuadrático Q de la forma.

Un cuadrático Q de la forma se llama el isotrópico del cuando hay un diferente a cero v en el V tales que $Q\; (v)\; =\; 0$. Si no se llama el anisotrópico del . Un vector o un subespacio de un espacio cuadrático se puede también referir como isotrópico. Si $Q\; (V)\; =\; 0$ entonces $Q$ se llaman el total singular.

Características

Algunas otras características de formas cuadráticos:
El Q obedece la ley del paralelogramo: del
$Q\; de\; (u+v)\; +\; Q\; (ultravioleta)\; =\; 2Q\; (u)\; +\; 2Q\; (\; v)$ El u de los vectores y el v son ortogonales con respecto al B si y solamente si del
$Q\; de\; (u+v)\; =\; Q\; (u)\; +\; Q\; (v)$

Forma cuadrático integral

Las formas cuadráticos sobre el anillo de números enteros se llaman las formas integrales de la ecuación cuadrática del o integral de los enrejados del . Son importantes en la teoría de número y la topología .

Una forma cuadrático integral es una con coeficientes del número entero, por ejemplo $x^2\; +\; xy\; +\; y^2$; equivalente, dado un $\backslash \; Lambda$ del enrejado en un espacio de vector $V$ (sobre un campo con la característica 0, tal como $\backslash \; mathbf\; \{Q\}$ o el $\backslash \; el\; mathbf\; \{R\}$), una forma cuadrático $Q$ es integral con respecto al $\backslash \; Lambda$ del si y solamente si número-se valora en el $\backslash \; Lambda$, significando el $Q\; (x,\; y)\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}$ si el $x,\; y\; \backslash \; en\; \backslash \; Lambda$.

Éste es el uso actual del término; en el pasado fue utilizado a veces diferentemente, según lo detallado abajo.

Uso histórico

Había históricamente cierta confusión y controversia terminado si la noción de la forma cuadrático integral debe significar: ; dos en : la forma cuadrático se asoció a una matriz simétrica a coeficientes del número entero ; dos hacia fuera : un polinomio con coeficientes del número entero (tan la matriz simétrica asociada puede tener coeficientes del mitad-número entero de la diagonal) Este discusión era debido a la confusión de las formas cuadráticos (representadas por polinomios) y de las formas bilinearias simétricas (representadas por las matrices), y al " out" dos; ahora está la convención aceptada; " in" dos; está en lugar de otro la teoría de las formas bilinearias simétricas integrales (matrices simétricas integrales).

En " in" dos;, las formas cuadráticos binarias están de la forma $ax^2+2bxy+cy^2$, representado por el de a y de b; ésta es las aplicaciones del gauss de la convención en el Disquisitiones Arithmeticae .

En " out" dos;, las formas cuadráticos binarias están de la forma $ax^2+bxy+cy^2$, representado por el .

Varios puntos de vista significan que el dos hacia fuera se ha adoptado como la convención estándar. Ésos incluyen:
una mejor comprensión 2 de la teoría adic de formas cuadráticos, la fuente “local” de la dificultad;
el punto de vista del enrejado, que fue adoptado generalmente por los expertos en la aritmética de formas cuadráticos durante los años 50;
las necesidades reales de la teoría cuadrático integral de la forma en la topología para la teoría de la intersección;
el grupo de mentira y aspectos algebraicos del grupo .

Formas cuadráticos universales

Una forma cuadrático que representa todos los números enteros positivos a veces se llama el universal.

El teorema cuadrado de Lagrange demuestra que $w^2+x^2+y^2+z^2$ es universal.

Recientemente, los teoremas 15 y 290 han caracterizado totalmente formas cuadráticos integrales universales: si todos los coeficientes son números enteros, después representa todos los números enteros positivos si y solamente si representa todos los números enteros para arriba con 290; si tiene una matriz integral, representa todos los números enteros positivos si y solamente si representa todos los números enteros para arriba con 15.

Formas cuadráticos verdaderas

Asumir que $Q$ es una forma cuadrático definida en un espacio de vector verdadero .
Reputa el definido positivo (respectivamente definido negativo) del si el $Q\; (v)>0$ (respectivamente ) para cada $v\; \backslash \; ne\; 0.$ del vector
Si aflojamos la desigualdad terminante al ≥ o ≤, la forma $Q$ reputa el Semidefinite del .
Si para cierto $v$ y $Q\; (v)>0$ para algún otro $v$, $Q$ reputa el indefinido del .

Dejar $A$ ser la matriz simétrica verdadera asociada a $Q$ como se describe anteriormente, así que para cualquier vector $v$ de la columna sostiene eso $Q\; del$

l (v)=v^T sistema de pesos americano

Entonces, $Q$ es (semi) definido positivo, (semi) definido negativo, indefinido, si y solamente si la matriz $A$ tiene las mismas características (véase la matriz Positivo-definida ). En última instancia, estas características se pueden caracterizar en términos de valores propios de $A.$

Ver también

Forma cuadrático (estadísticas)

.

Zenithic

La Superba

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