En la teoría de número, una rama de las matemáticas, una forma del cambio de signo del es una clase particular de la forma modular, distinguida en el caso de las formas modulares para el grupo modular por la desaparición en la extensión de la serie de Fourier Del $del$

l \ a_n q^n de la sigma

del constante a₀ del coeficiente. Esta extensión de Fourier existe como consecuencia de la presencia en la acción de grupo modular en la parte superior - media - el plano de la transformación $z\; del$

l \ mapsto z+1.

Para otros grupos, puede haber una cierta traducción a través de varias unidades, en este caso la extensión de Fourier está en términos de diverso parámetro. En todos los casos, aunque, el límite como &rarr del q ; 0 es el límite en la parte superior - media - plano como la pieza imaginaria de &rarr del z ; ∞. Tomar al cociente del grupo modular, por ejemplo, este límite corresponde a un cambio de signo de una curva modular (en el sentido de un punto agregado para el Compactification ). Así pues, la definición asciende a decir que una forma del cambio de signo es una forma modular que desaparece en un cambio de signo. En el caso de otros grupos, puede haber varios cambios de signo, y la definición se convierte en una forma modular que desaparece en el todos los cambios de signo de . Esto puede implicar varias extensiones.

Las dimensiones de espacios de las formas del cambio de signo son en principio computables, vía el teorema de Riemann-Roch. Por ejemplo, el &tau famoso de la función de Ramanujan; ( n ) se presenta como la secuencia de coeficientes de Fourier de la forma del cambio de signo del peso 12 para el grupo modular, con el a₁ = 1. El espacio de tales formas tiene dimensión 1, que significa que esta definición es posible; y eso explica la acción de los operadores de Hecke en el espacio que está por la multiplicación escalar (prueba de Mordell de las identidades de Ramanujan). Es explícitamente el discriminante modular

Δ( z, q ),

cuál representa (hasta un que normaliza constante) el discriminante del cúbico en el derecho de la ecuación de Weierstrass de una curva elíptica ; y la 24ta energía de la función del eta de Dedekind. Se escriben los coeficientes de Fourier aquí

τ( n )

y función del tau “de Ramanujan llamado”, con la normalización: τ (1) = 1.

En el cuadro más grande Automorphic forma que las formas del cambio de signo son complementarias a la serie de Eisenstein, en un espectro discreto del /el espectro continuo del, o la representación discreta /distinción inducida de la serie del de la representación típica en diversas partes de la teoría espectral . Es decir, la serie de Eisenstein se puede “diseñar” para adquirir valores dados en los cambios de signo. Hay una teoría general grande, dependiendo sin embargo de la teoría absolutamente intrincada de los subgrupos parabólicos y de las representaciones puntiagudas correspondientes

.