En la geometría diferenciada, la forma en segundo lugar fundamental es una forma cuadrático, denotada generalmente por II, en el espacio de tangente de una hipersuperficie en un múltiple Riemannian, tal como una superficie en el espacio euclidiano tridimensional. Es una manera equivalente describir al operador de forma (denotado por el S ) de una hipersuperficie, ¡$del$

l \ mathrm I \! \ mathrm I (v, w)= \ langle S (v), - \ langle \ nabla_v n, w \ rangle= \, \ nabla_v w \ rangle, de w \ del rangle= del langle n donde el $\backslash \; el\; nabla\_v\; w$ denota el derivado de la covariante y el n un campo de vectores normales en la hipersuperficie. La muestra de la segunda forma fundamental depende de la opción de la dirección del n (que se llama una co-orientación de la hipersuperficie - para las superficies en espacio euclidiano, esto equivalente es dada por una opción de la orientación de la superficie).

La segunda forma fundamental se puede generalizar al arbitrario Codimension . En ese caso es una forma cuadrático en el espacio de tangente con valores en el paquete normal y puede ser definido cerca ¡

$\backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash !\; de\; I\backslash \; mathrm\; \{I\}\; (v,\; w)=\; (\backslash \; w)^\; del\; nabla\_v\; \backslash \; bot,$

donde $(\backslash \; w)^\; del\; nabla\_v\; \backslash \; bot$ denota la proyección ortogonal del $\backslash \; del\; nabla\_v\; derivados\; w$ de la covariante sobre el normal lía.

En el espacio euclidiano, el tensor de la curvatura de un Submanifold se puede describir por la fórmula siguiente: ¡$del$

l \ langle R (u, v) w, = \ langle \ mathrm I \! de z \ del rangle¡\ mathrm I (u, z), \ mathrm I \! ¡\ mathrm I (v, w) \ rangle- \ langle \ mathrm I \! ¡\ mathrm I (u, w), \ mathrm I \! \ mathrm I (v, z) \ rangle.

Esto se llama la ecuación del gauss del, pues puede ser vista como generalización Theorema Egregium del gauss.

Para los múltiples Riemannian generales uno tiene que agregar la curvatura del espacio ambiente; si el N es un múltiple encajado en un múltiple Riemannian ( M, g ) entonces el $R\_N$ del tensor de la curvatura del N con métrico inducida puede ser expresado usar la segunda forma y $R\_M\; fundamentales$, el tensor de la curvatura del M : ¡$del$

l \ langle R_N (u, v) w, = \ langle R_M (u, v) de z \ del rangle w, z \ rangle+ \ langle \ mathrm I \! ¡\ mathrm I (u, z), \ mathrm I \! ¡\ mathrm I (v, w) \ rangle- \ langle \ mathrm I \! ¡\ mathrm I (u, w), \ mathrm I \! \ mathrm I (v, z) \ rangle.

Notación adicional

La segunda forma fundamental se escribe a menudo en la notación moderna del tensor métrico . $II\; del$

l = L du^2+2Mdu dv+Odv^2 .

Los coeficientes se pueden entonces escribir como $b\_\; \{ij\}$:

$\backslash \; ido\; (b\_\; \{ij\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{b\_\; del\; pmatrix\}\; \{11\}\; y\; b\_\; \{12\}\; \backslash \; \backslash \; b\_\; \{21\}\; y\; b\_\; \{22\}\; \backslash \; el\; extremo\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; M\; y\; O\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ de L y de M

Donde los coeficientes de la segunda forma fundamental pueden ser encontrados tomando el producto de punto de los derivados parciales del segundo con el normal de la unidad.

$L\; =\; X\_\; \{uu\}\; \backslash \; cdot\; N$
$M\; =\; X\_\; \{ultravioleta\}\; \backslash \; cdot\; N$
$O\; =\; X\_\; \{vv\}\; \backslash \; cdot\; N$ Normal: $N=\; del\; \backslash$

del frac {X_u \ épocas X_v} Ver también

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