(El bosquejo de A de una exposición alterna se ha agregado en la cuantificación BRST.)

En la física teórica, el formalismo BRST es un método de ejecutar de los apremios de primera clase el soporte de las letras BRST para Becchi, Rouet, Stora, y (independiente) Tyutin que descubrió este formalismo. Es un método sofisticado a ocuparse de teorías físicas del quántum con la invariación del calibrador. Por ejemplo, los métodos de BRST se aplican a menudo a la teoría del calibrador y a la relatividad general cuantificada .

Versión clásica

Esto se relaciona con un múltiple supersymplectic donde números integrales del fantasma califican a los operadores puros y tenemos un cohomology de BRST.

Versión de Quantum

El espacio de estados no es un espacio de Hilbert (véase abajo). Este espacio de vector es el ''' ₂-graded del ''' Z y el ''' del ''' R - calificado. Si usted desea, usted puede pensar en él como Z ₂× R - espacio de vector calificado. La clasificación anterior es la paridad, que puede ser uniforme o impar. La clasificación de estes 3ultimo es el número del fantasma. Observar que es el R y no el Z porque desemejante del caso clásico, podemos tener números no íntegros del fantasma. Los operadores que actúan sobre este espacio son también el Z ₂× R - calificado de la manera obvia. Particularmente, el Q es impar y tiene un número del fantasma de 1.

Dejar H_n ser el subespacio de todos los estados con el número N. Entonces, el Q restringió a los mapas H_n de H_n a H_n+1. Desde Q ² =0, tenemos un Cochain complejo el describir de un Cohomology .

Los estados físicos se identifican como elementos Cohomology del operador $Q$, es decir como vectores en Ker Q_n+1/Im Q_n. La teoría de BRST de hecho se liga a la resolución estándar en el cohomology de la álgebra de mentira.

Recordar que el espacio de estados es el Z ₂-graded. Si A es operador calificado puro, después la transformación de BRST traza A al donde está el [,) [[supercommutator]. los operadores BRST-invariantes son los operadores para quienes el puesto que el fantasma califican a los operadores también numera, esta transformación de BRST también forman un cohomology para los operadores desde el [Q, [Q, A)) =0. Ver [[identidad del superJacobi].

Aunque el formalismo de BRST sea más general que la fijación del calibrador de Faddeev-Popov, en el caso especial donde se deriva de ella, el operador de BRST es también útil para obtener el correcto Jacobian asociado a los apremios que calibrar-fijan la simetría.

El BRST es un Supersymmetry . Genera el superalgebra de la mentira con incluso una parte cero-dimensional y una parte impar unidimensional atravesadas por el del Q. donde está el superbracket el [,) de la mentira (es decir Q ² =0). Esto significa que Q actúa como [[antiderivation]. Ver la representación de la álgebra de un superalgebra de la mentira.

¡Porque Q es el hermitiano y su cuadrado es cero pero Q sí mismo es diferente a cero, éste significa que el espacio de vector de todos los estados antes de la reducción cohomological tiene una norma indefinida ! ¡Esto significa que no es un espacio de Hilbert !

Para flujos más generales que no se puedan describir por apremios de primera clase, ver el Batalin-Vilkovisky

Ejemplo

Para el caso especial de las teorías del calibrador (de la clase generalmente descrita por el secciona de un G-paquete principal ) con una forma A de la conexión del quántum, una carga (a veces también una carga del BRST de BRS) es operador $Q$ generalmente denotado.

Dejar las condiciones de la fijación del calibrador del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{g\}$-valued sea el $G=\; \backslash \; XI\; \backslash \; partial^\; \backslash \; MU\; A\_\; \backslash \; mu$ donde está un número el ξ positivo que determina el calibrador. Hay muchas otras fijaciones posibles del calibrador, pero no serán cubiertas aquí. Los campos son la forma A de la conexión del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{g\}$-valued, campo escalar del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{g\}$-valued con estadísticas fermionic, b y c y un $\backslash \; un\; campo\; escalar\; del\; mathfrak\; \{g\}$-valued con repartos bosonic de las estadísticas B. c con los wheareas b de las transformaciones del calibrador y repartos de B con las fijaciones del calibrador. Allí algunas delicadezas se asociaron realmente a la fijación del calibrador debido a las ambigüedades de Gribov pero no serán cubiertas aquí.

$QA=Dc$

donde está el derivado D de la covariante. $Qc=\; del$

l {i \ sobre 2} _L

donde está el soporte _L de la mentira, NO el conmutador .

$QB=0$
$Qb=B$

Q es un Antiderivation .

La densidad de Lagrange de BRST $del$

l \ mathcal {L} = {1 \ sobre 4g^2} Tr+ {1 \ sobre 2g^2} Tr- {1 \ sobre g^2} Tr- {\ XI \ sobre g^2} Tr b D_ \ MU c

Mientras que la densidad de Lagrange no es BRST invariante, su integral sobre todo el espacio-tiempo, la acción es.

Definen al operador $Q$ como $Q\; del$

l = c^i \ (L_i- \ frac 12 {f_ {ij}} c^k dejado del b_j del ^k \) derecho

donde está los fantasmas el $c^i,\; b\_i$ de Faddeev-Popov y los antighosts, respectivamente, $L\_i$ son los generadores infinitesimales del grupo de mentira, y el $f\_\; \{ij\}\; \{\}\; ^k$ es sus constantes de estructura.

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