$X\_k\; =\; \backslash \; el\; sum\_\; \{n=0\}\; el\; ^\; \{N-1\}\; x\_n.\; ^\; \{-\; \backslash \}\; \backslash \; patio\; \backslash \; patio\; del\; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; k\; n\; k\; =\; 0,\; \backslash \; puntea,\; N-1$ donde está la base el e del logaritmo natural, $i\; \backslash ,$ es la unidad imaginaria ($i^2=-1$), y el π es el pi . Transformación es a veces denotado por símbolo $\backslash \; mathcal\; \{F\}$, como en $\backslash \; mathbf\; \{X\}\; =\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$ o $\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; derecho)$ o $\backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}$ de F.

El que Fourier discreto inverso transforma (IDFT) se da cerca

$x\_n\; =\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; el\; sum\_\; \{k=0\}\; el\; ^\; \{N-1\}\; X\_k\; e^\; \{\backslash \}\; \backslash patio\backslash \; patio\; del\; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; k\; n\; n\; =\; 0,\; \backslash \; puntea,\; N-1.$

Una descripción simple de estas ecuaciones es que los números complejos $X\_k$ representan la amplitud y la fase de los diversos componentes sinusoidales del " de la entrada; signal" $x\_n$. El DFT computa el $X\_k$ del $x\_n$, mientras que el IDFT demuestra cómo computar el $x\_n$ como suma del $X\_k\; sinusoidal\; \backslash \; exp\; de\; los\; componentes\; (2\; \backslash \; pi\; i\; k\; n/N)/N$ con la frecuencia $k/N$ completa un ciclo por muestra. Escribiendo las ecuaciones en esta forma, estamos haciendo el uso extenso de la fórmula de Euler de expresar sinusoids en términos de exponentials complejos, que son mucho más fáciles de manipular. (De la misma manera, escribiendo $X\_k$ en la forma polar, obtenemos inmediatamente la amplitud sinusoide del $|X\_k|$ y la fase de la discusión compleja .) Una delicadeza importante de esta representación, alias, se discute abajo.

Observar que el factor de la normalización que multiplica el DFT e IDFT (aquí 1 y 1 N ) y las muestras de los exponentes son simplemente convenciones, y diferenciar en algunos tratamientos. Los únicos requisitos de estas convenciones son que los DFT y los IDFT tienen exponentes de la opuesto-muestra y que el producto de sus factores de la normalización sea 1 N . Una normalización de $1/\backslash \; de\; laraíz\; cuadrada\{N\}$ para el DFT e IDFT hace transforma el unitario, que tiene algunas ventajas teóricas, pero es a menudo más práctico en el cómputo numérico realizar el escalamiento de una vez como arriba (y un escalamiento de la unidad puede ser conveniente de otras maneras).

(La convención de un negativo firma adentro el exponente es a menudo conveniente porque significa que $X\_k$ es la amplitud de un " frequency" positivo; $2\; \backslash \; pi\; k/N$. Equivalente, el DFT se piensa a menudo en como filtro emparejado : al buscar una frecuencia de +1, una correlaciona la señal entrante con una frecuencia de −1.)

En la discusión siguiente el " de los términos; sequence" y " vector" será considerado permutable.

Características

Lo completo

l \ mathcal {F}: \ ^N del mathbb {C} \ \ mathbb {C} ^N

con el $\backslash \; el\; mathbb\; \{C\}$ denotando el sistema de los números complejos es decir para cualquie   del N ; >  0, un N - vector complejo dimensional tiene un DFT y un IDFT que son alternadamente el N - vectores complejos dimensionales.

Ortogonalidad

l \ ^ del sum_ {n=0} {N-1} \ ido (e^ {\ kn del frac {2 \ pi i} {N}} \ derecho) \

dejado (e^ {- \ k'n del frac {2 \ pi i} {N}} \ derecho) N~ \ delta_ {kk'}

donde $~\; \backslash \; delta\_\; \{kk\text{'}\}$ es el delta de Kronecker. Esta condición de la ortogonalidad se puede utilizar para derivar la fórmula para el IDFT de la definición del DFT.

El teorema de Plancherel y teorema de Parseval

l {n=0} {N-1}

donde la estrella denota la conjugación compleja. El teorema de Parseval es una caja especial del teorema y de los estados de Plancherel: $del$

l \ ^ del sum_ {n=0} {N-1} |x_n|^2 = \ frac {1} {N} \ ^ del sum_ {k=0} {N-1} |X_k|^2.

Periodicidad

Si la expresión que define el DFT se evalúa para todos los números enteros $k$ en vez de apenas para el $k\; =\; 0,\; \backslash \; puntea,\; N-1$, después la secuencia infinita resultante es una extensión periódica del DFT, periódica con el N del período.

La periodicidad se puede demostrar directo de la definición: $X\_\; \{k+N\}\; =\; \backslash \; ^\; del\; x\_n.\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{N-1\}\; \{-\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; (k+N)\; n\}\; =\; \backslash \; e^\; del\; ^\; del\; x\_n.\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{N-1\}\; \{-\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; k\; n\}\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; i\; n\}\; =\; \backslash \; ^\; del\; x\_n.\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{N-1\}\; \{-\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; k\; n\}\; =\; X\_k$

donde hemos utilizado el hecho ese e^ del $\{-\; 2\; \backslash \; pi\; i\}\; =\; 1$. Puede ser demostrado de la misma manera que la fórmula de IDFT lleva a una extensión periódica.

El teorema del cambio

l si $\backslash \; \{F\}\; (\backslash \; \{x\_n\; \backslash \})\; \_k=X\_k$ mathcal

entonces $\backslash \; mathcal\; \{F\}\; (\backslash \; \{^\; del\; x\_n.\; \{\backslash \}\; \backslash \}\; del\; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; n\; m)\; \_k=X\_\; \{kilómetro\}$

l y $\backslash \; \{F\}\; (\backslash \; \{x\_\; \{\}\; \backslash \}\; del\; nanómetro)\; e^\; mathcal\; del\; \_k=X\_k\; \{-\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; k\; m\}$

Teorema circular de la circunvolución y teorema de la correlación cruzada

$(\backslash \; mathbf\; \{x*y\})\; \_n\; =\; \backslash \; el\; sum\_\; \{m=0\}\; el\; ^\; \{N-1\}\; x\_m\; y\_\; \{\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; patio\; del\; nanómetro\; n\; =\; 0,\; \backslash \; puntea,\; N-1$

donde continuamos el y cíclico de modo que

$y\_\; \{-\; m\}\; =\; y\_\; \{\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; quad~~~~~~~~~~\; del\; nanómetro\; m\; =\; 0,\; \backslash \; puntea,\; N-1$

El Fourier discreto transforma circunvoluciones cíclicas de las vueltas en la multiplicación componente-sabia. Es decir, si $z\_n\; del$

l = (\ mathbf {x*y}) _n

entonces el $Z\_k=X\_k\; Y\_k\; \backslash \; patio\; \backslash \; quad~~~~~~~~~~\; del$

l k = 0, \ puntea, N-1

donde las mayúsculas ( X, Y, Z ) representan el DFTs de las secuencias representadas por las pequeñas letras ( x, y, z ). Observar que si adoptan a una diversa convención de la normalización para el DFT (e., la normalización unitaria), después en general habrá un factor constante que multiplica la relación antedicha.

La evaluación directa de la adición de la circunvolución, arriba, requeriría el $O\; (las\; operaciones\; de\; N^2)$, solamente el DFT (vía un FFT) proporcionan un $O\; (N\; \backslash \; método\; del\; registro\; N)$ para computar la misma cosa. Inversamente, las circunvoluciones se pueden utilizar para computar eficientemente DFTs vía el algoritmo de FFT de Rader y el algoritmo de FFT de Bluestein. El método se puede ampliar a las señales non-circular usar Traslapar-agrega el método .

El considera también: teorema de la circunvolución de

En una manera análoga, puede ser demostrado que si $z\_n$ es la correlación cruzada de $x\_n$ y de $y\_n$: _n del $z\_n=\; del$

l (\ mathbf {x * y}) = \ x_m^* del ^ del sum_ {m=0} {N-1} \, y_ {m+n}

donde está otra vez cíclico la suma en el m, después el Fourier discreto transforma de $z\_n$ es: $Z\_k\; =\; X\_k^*\; del$

l \, Y_k

donde las mayúsculas se utilizan otra vez para significar el Fourier discreto transformar.

Polinomio trigonométrico de la interpolación

Para incluso $N$, notan que Nyquist componente $\backslash \; frac\; \{X\_\; \{N/2\}\}\; \{\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; de\; N\; (Nt/2)$ se dirige especialmente.

Esta interpolación es el no único: el alias implica que uno podría agregar el N a las frecuencias complejo-sinusoides unas de los (e. $e^\; cambiante\; \{-\; él\}$ al $e^\; \{i\; (N-1)\; t\}$) sin el cambio de la característica de la interpolación, pero dando a diverso valora entre los puntos de $x\_n$. La opción arriba, sin embargo, es típica porque tiene dos características útiles. Primero, consiste en los sinusoids cuyas frecuencias tienen las magnitudes posibles más pequeñas, y por lo tanto reduce al mínimo el $\backslash \; internacional\; de\; lacuestade\; la\; media\; cuadrada\; |p\text{'}(t)|^2\; dt$ de la función de interpolación. En segundo lugar, si los $x\_n$ son números verdaderos, después $p\; (t)$ es verdadero también.

En cambio, el polinomio trigonométrico más obvio de la interpolación es el en el cual la gama de frecuencias a partir de la 0 a $N-1$ (en vez áspero de $-N/2$ a $+N/2$ como arriba), similar a la fórmula inversa de DFT. Esta interpolación hace el no reduce al mínimo la cuesta, y es el no generalmente con valores reales para $x\_n$ verdadero; su uso es un error común.

El DFT unitario

l \ mathbf {F} = \ comenzar {el bmatrix} \ y \ omega_N^ {0 \ cdot 1} del omega_N^ {0 \ cdot 0} y \ y \ omega_N^ {0 \ cdot (N-1) de los ldots} \ \ \ y \ omega_N^ {1 \ cdot 1} del omega_N^ {1 \ cdot 0} y \ y \ omega_N^ {1 \ cdot (N-1) de los ldots} \ \ \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ de los vdots \ \ \ omega_N^ {(N-1) \ cdot 0} y \ omega_N^ {(N-1) \ cdot 1} y \ ldots y \ omega_N^ {(N-1) \ cdot (N-1)} \ \ \ extremo {bmatrix}

donde

$\backslash \; omega\_N\; =\; e^\; \{-\}\; \backslash ,\; de\; 2\; \backslash \; pi\; i/N$

es una raíz primitiva Nth de la unidad . Lo contrario transforma entonces es dado por lo contrario de la matriz antedicha:

$\backslash \; mathbf\; \{F\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; ^*$ de N

Con los constantes unitarios $1/\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{N\}$ de la normalización, el DFT se convierte en una transformación unitaria, definida por una matriz unitaria: $del$

l \ mathbf {U} = \ $del$
/\ raíz cuadrada {N} del mathbf {F} \ ^ del mathbf {U} {- 1} = \ $mathbf\; \{U\}\; ^*$|\ det (\ mathbf {U})|=1

donde   del det del () ; es la función determinante . El determinante es el producto de los valores propios, y por lo tanto (véase abajo) está siempre el $\backslash \; P.\; 1$ o el $\backslash \; P.\; En\; unespacio\; de\; vectorverdadero,\; una\; transformación\; unitaria\; se\; puede\; pensar\; en\; como\; simplemente\; rotación\; rígida\; del\; sistema\; coordinado,\; y\; todas\; las\; características\; de\; una\; rotación\; rígida\; se\; pueden\; encontrar\; en\; el\; DFT\; unitario.$

La ortogonalidad del DFT ahora se expresa como una condición de Orthonormality (que se presenta en muchas áreas de las matemáticas según lo descrito en la raíz de la unidad ): $del$

l \ ^*= de U_ del ^ del sum_ {m=0} {N-1} {kilómetro} U_ {manganeso} \ delta_ {kn}

Si el $\backslash \; el\; mathbf\; \{X\}$ se define como el DFT unitario del $\backslash \; del\; mathbf\; \{x\}$ del vector entonces $X\_k=\; del$

l \ ^ del sum_ {n=0} {N-1} U_ {kn} x_n

y se expresa el teorema de Plancherel como: $del$

l \ y_n^* del x_n del ^ del sum_ {n=0} {N-1} = \ ^ del sum_ {k=0} {N-1} X_k Y_k^*

Si vemos el DFT como apenas transformación coordinada que especifique simplemente los componentes de un vector en un nuevo sistema coordinado, después el antedicho es apenas la declaración que el producto de punto de dos vectores está preservado bajo transformación unitaria de DFT. Para el $del\; caso\; especial\; \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{y\}$ del mathbf {x}, esto implica que la longitud de un vector es también &mdash preservado; éste es apenas el teorema de Parseval: $del$

l \ ^ del sum_ {n=0} {N-1}|x_n|^2 = \ ^ del sum_ {k=0} {N-1}|X_k|^2

Expresión del DFT inverso en términos de DFT

Primero, podemos computar el DFT inverso invirtiendo las entradas: $del$

l \ ^ mathcal {F} {- 1} (\ {x_n \}) = \ {F} (\ {x_ {N -} \} de n) mathcal/N

(Como de costumbre, los subíndices son el Modulo interpretado $N$; así, para $n=0$, tenemos $x\_\; \{N-0\}\; =x\_0$.)

En segundo lugar, uno puede también conjugar las entradas y las salidas: $del$

l \ ^ mathcal {F} {- 1} (\ mathbf {x}) = \ {F} (\ ^* del mathbf {x}) ^* mathcal/N

Tercero, una variante de este truco de la conjugación, que es a veces preferible porque no requiere ninguna modificación de los valores de datos, implica el intercambiar de las piezas verdaderas e imaginarias (que se pueden hacer en una computadora simplemente modificando los indicadores . Definir el intercambio ($x\_n$) como $x\_n$ con su swapped&mdash de las piezas verdaderas e imaginarias; es decir, si el $x\_n\; =\; a\; +\; b\; i$ entonces intercambian ($x\_n$) está el $b\; +\; un\; i$. Equivalente, el intercambio ($x\_n$) iguala el $i\; x\_n^*$. Entonces $del$

l \ = mathcal \ textrm {intercambio} del ^ {F} {- 1} (\ mathbf {x}) (\ mathcal {F} (\ textrm {intercambio} (\ mathbf {x}))) /N

Es decir, lo contrario transforma es igual que el delanteros transforman con las piezas verdaderas e imaginarias intercambiadas por entrada y salida, hasta una normalización ( y otros, 1988 de Duhamel).

El truco de la conjugación se puede también utilizar para definir un nuevo transforma, estrechamente vinculado al DFT, que es &mdash de Involutary ; es decir, que es su propio lo contrario. Particularmente, el $T\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; \{F\}\; (\backslash \; ^*\; del\; mathbf\; \{x\})/mathcal\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{N\}$ es claramente su propio lo contrario: $T\; (T\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}$. Una transformación involutary estrechamente vinculada (por un factor de (1+ el i )/√2) está el $H\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; \{F\}\; ((1+i)\; \backslash \; ^*\; del\; mathbf\; \{x\})/mathcal\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2N\}$, desde los factores del $(1+i)$ en el $H\; (H\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))cancelación\; de$ los 2. Para el $\backslash \; el\; mathbf\; verdaderos\; \{x\}$ de las entradas, la parte real del $H\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})$ no es ninguna con excepción que Hartley discreto transforma, que es también involutary.

Valores propios y vectores propios

Los valores propios de la matriz de DFT son simples y bien sabido, mientras que los vectores propios son complicados, no únicos, y son el tema de la investigación en curso.

Considerar el $\backslash \; el\; mathbf\; unitarios\; \{U\}$ de la forma definidos arriba para el DFT de la longitud $N$, donde el _ del $\backslash \; del\; mathbf\; \{U\}\; \{m,\; n\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; exp/\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{N\}\; del\; omega\_N^\; \{manganeso\}\; (-\; 2\; \backslash \; pi\; i\; mn/N)/\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{N\}$. Esta matriz satisface la ecuación: = \ mathbf {I} del $\backslash \; del\; mathbf\; del\; \{U\}\; ^4.$ Esto se puede ver de las características inversas arriba: el $delfuncionamiento\backslash \; el\; mathbf\; \{U\}$ da dos veces los datos originales en orden reversa, así que el $del\; funcionamiento\; \backslash \; el\; mathbf\; \{U\}\; cuatro\; veces\; de$ da detrás los datos originales y es así la matriz de identidad . Esto significa que el $\backslash \; lambda$ de los valores propios satisface una ecuación característica : $\backslash \; lambda^4\; =\; 1.$ del Por lo tanto, los valores propios del $\backslash \; del\; mathbf\; \{U\}$ son las cuartas raíces de la unidad : el $\backslash \; lambda$ es +1, −1, + el i, o el i del −.

Puesto que hay solamente cuatro valores propios distintos para este $N\; \backslash \; matriz\; de\; las\; épocas\; N$, tienen cierta multiplicidad . La multiplicidad da el número de vectores propios independientes linear que corresponden a cada valor propio. (Nota que hay vectores propios de la independiente del N ; la matriz no es el defectuoso.)

El problema de su multiplicidad fue solucionado por McClellan y Parks (1972), aunque fuera más adelante demostrado para haber sido equivalente a un problema solucionado por el gauss (Dickinson y Steiglitz, 1982). La multiplicidad depende del valor del Modulo 4 de $N$, y es dada por la tabla siguiente:

La verdadero-entrada DFT

l = ^* de X_ {N-k},

donde la estrella denota la conjugación compleja y los subíndices son el interpretado N del modulo.

Por lo tanto, el DFT hecho salir para las entradas verdaderas es a medias redundante, y una obtiene la información completa solamente mirando áspero la mitad de las salidas $X\_0,\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{N-1\}$. En este caso, el " DC" el elemento $X\_0$ es puramente verdadero, y para incluso el N el " Nyquist" el $X\_\; del\; elemento\; \{N/2\}$ es también verdadero, tan allí es exactamente números verdaderos non-redundant del N en la primera mitad + el elemento de Nyquist del complejo X de la salida.

Usar la fórmula de Euler, el polinomio trigonométrico de interpolación se puede entonces interpretar como suma de funciones del seno y de coseno.

Generalizado/cambió de puesto DFT

$X\_k\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \{N-1\}\; x\_n.\; ^\; \{-\; \backslash \; el\; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{N\}\; (k+b)\; (n+a)\}\; \backslash el\; patio\backslash \; el\; patio\; k\; =\; 0,\; \backslash \; puntea,\; N-1$

Lo más a menudo posible, los cambios de $1/2$ (mitad de una muestra) se utilizan. Mientras que el DFT ordinario corresponde a una señal periódica en dominios del tiempo y de frecuencia, $a=1/2$ produce una señal que sea anti-periódica en el dominio de frecuencia ($X\_\; \{k+N\}\; =\; -\; X\_k$) y viceversa para $b=1/2$. Así, el caso específico del $a\; =\; de\; b\; =\; de\; 1/2$ se conoce como impar-frecuencia del impar-tiempo del que Fourier discreto transforma (u O² DFT). Tal cambiado de puesto transforma es el más de uso frecuente para los datos simétricos, representar diversas simetrías del límite, y para los datos verdadero-simétricos corresponden a diversas formas del coseno discreto y el seno transforma.

Otra opción interesante es el $a=b=-\; (N-1)\; /2$, que se llama el DFT centrado el (o CDFT ). El DFT centrado tiene la característica útil que, cuando $N$ es un múltiplo de cuatro, los cuatro de sus valores propios (véase arriba) tener multiplicities iguales (Rubio y Santhanam, 2005).

El Fourier discreto transforma se puede ver como caso especial del Z-transform, evaluado en el círculo de unidad en el plano complejo; más general z-transforma corresponden al complejo de los cambios del un y al b arriba.

¡DFT< multidimensional! -- Esta sección se liga de que Fourier rápido transforma -->

$X\_\; \{k\_1,\; k\_2,\; \backslash \; puntea,\; k\_d\}\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n\_1=0\}\; ^\; \{N\_1-1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; omega\_\; \{N\_1\}\; ^\; \{~k\_1\; n\_1\}\; \backslash \; sum\_\; \{n\_2=0\}\; ^\; \{N\_2-1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; ^\; del\; omega\_\; \{N\_2\}\; \{~k\_2\; n\_2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n\_d=0\}\; \{N\_d-1\}\; \backslash \; ^\; del\; omega\_\; \{N\_d\}\; \{n\_d\; del\; ~k\_d\}\; \backslash \; x\_\; del\; cdot\; \{n\_1,\; n\_2,\; \backslash \; puntea,\; n\_d\}\; \backslash derecho)\; \backslash \; cdots\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,$

donde = \ exp (- 2 \ pi i/N_ \ ana) como arriba y los índices del $\backslash \; del\; omega\_\; \{N\_\; \backslash \; ana\}\; de\; la\; salida\; de$ d$funciona\; de$ k\_\; \backslash \; de\; ana\; =\; 0,\; 1,\; \backslash \; puntea,\; N\_\; \backslash \; ell-1$.\; Esto\; más\; compacto\; se\; expresa\; en\; lanotación\; del\; vector,\; donde\; definimos\; el$ \backslash \; el\; mathbf\; \{n\}\; =\; (n\_1,\; n\_2,\; \backslash \; puntea,\; n\_d)$y\; el$ \backslash \; el\; mathbf\; \{k\}\; =\; (k\_1,\; k\_2,\; \backslash \; puntea,\; k\_d)$como\; vectores\; de$ d$-dimensional\; de\; índices\; a\; partir\; de\; la\; 0\; al$ \backslash \; al\; mathbf\; \{N\}\; -\; 1$,\; que\; definimos\; como\; el$ \backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; 1\; =\; (N\_1\; -\; 1,\; N\_2\; -\; 1,\; \backslash \; puntea,\; N\_d\; -\; 1)$:$

$X\_\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\_\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\; =0\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; 1\}\; e^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash /\backslash \; mathbf\; \{N\}\; de\; k\; del\; mathbf\; \{n\})\}\; x\_\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n,$

donde el $de\; la\; división\; \backslash /\backslash \; mathbf\; \{N\}$ del mathbf {n} se define como/\ mathbf {N} del $\backslash \; del\; mathbf\; \{n\}\; =\; (n\_1/N\_1,\; \backslash \; puntea,\; n\_d/N\_d)$ para ser elemento-sabio realizado, y la suma denota el sistema de adiciones jerarquizadas arriba.

Lo contrario del DFT multidimensional es, análogo al caso unidimensional, dado cerca:

$x\_\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ^d\; N\_\; \backslash \; ana\; del\; prod\_\; \{\backslash \; ell=1\}\}\; \backslash \; sum\_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; =0\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; 1\}\; e^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash /\backslash \; mathbf\; \{N\}\; de\; n\; del\; mathbf\; \{k\})\}\; X\_\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash ,\; de\; k.$

El DFT multidimensional tiene una interpretación simple. Apenas mientras que el DFT unidimensional expresa la entrada $x\_n$ como superposición de sinusoids, el DFT multidimensional expresa la entrada como superposición de las ondas planas o de los sinusoids que oscilan a lo largo el $de\; la\; dirección\; \backslash \; de/\backslash \; mathbf\; \{N\}$ del mathbf {k} en espacio y que tienen el $X\_\; \backslash \; mathbf\; \{k\}$ de la amplitud. Tal descomposición es de gran importancia para todo del tratamiento de la imagen de Digitaces ( d = 2) a solucionar las ecuaciones diferenciales parciales en tres dimensiones ( d = 3) rompiendo la solución para arriba en ondas planas.

De cómputo, el DFT multidimensional es simplemente la composición de una secuencia de DFTs unidimensional a lo largo de cada dimensión. Por ejemplo, en el $x\_\; de\; dos\; dimensiones\; del\; caso\; \{n\_1,\; n\_2\}$ uno puede primero computar el $N\_1$ DFTs independiente de las filas (es decir, a lo largo de $n\_2$) para formar un nuevo $y\_\; del\; arsenal\; \{n\_1,\; k\_2\}$, y después computa el $N\_2$ DFTs independiente de $y$ a lo largo de las columnas (a lo largo de $n\_1$) para formar el $X\_\; del\; resultado\; final\; \{k\_1,\; k\_2\}$. O, uno puede transformar las columnas y entonces el rows— la orden es inmaterial porque las adiciones jerarquizadas sobre conmutan .

Debido a esto, dado una manera de computar un DFT unidimensional (e. un algoritmo unidimensional ordinario de FFT), uno tiene inmediatamente una manera de computar eficientemente el DFT multidimensional. Esto se conoce como algoritmo de la fila-columna del, aunque haya también intrínseco los algoritmos multidimensionales FFT.

Usos

Análisis espectral

Una fuente final de distorsión (o quizás de la ilusión del ) es el DFT sí mismo, porque es apenas un muestreo discreto del DTFT, que es una función de un dominio de frecuencia continuo. Eso puede ser atenuada aumentando la resolución del DFT. Ese procedimiento se ilustra en el tiempo discreto Fourier transforma el artículo de .
El procedimiento se refiere a veces como cero-acolchado del, que es una puesta en práctica particular usada conjuntamente con el que Fourier rápido transforma algoritmo de (FFT). La ineficacia de realizar multiplicaciones y adiciones con el " cero-valorado; samples" es más que compensó por la eficacia inherente del FFT.
Según lo observado ya, la salida impone un límite ante la resolución inherente del DTFT. Tan hay un límite práctico a la ventaja que se puede obtener de un DFT de grano fino.

Compresión de datos

Ecuaciones diferenciales parciales