Una fracción de la unidad del es un número racional escrito como fracción donde está el el numerador uno y el denominador es un número entero positivo . Una fracción de la unidad es por lo tanto el recíproco de un número entero positivo, 1 n . Los ejemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc.

Aritmética elemental

que multiplica cuaesquiera resultados de dos unidades de las fracciones en un producto que es otra fracción de la unidad: $\backslash \; frac1x\; \backslash \; épocas\; \backslash \; frac1y\; del\; =\; \backslash \; frac1\; \{xy\}.$ Sin embargo, el que agrega, el que resta, o el que divide fracciones de dos unidades de produce un resultado que no sea generalmente una fracción de la unidad: $\backslash \; frac1x\; del\; +\; \backslash \; frac1y\; =\; \backslash \; frac\; \{x+y\}$ {xy} - \ frac1y del $\backslash \; frac1x\; del$

l = \ frac {y-x} {xy} $\backslash \; frac1x\; \backslash \; div\; \backslash \; frac1y\; del$

l = \ frac {y} {x}.

Aritmética modular

La unidad fracciona el juego un papel importante en la aritmética modular, pues pueden ser utilizados para reducir la división modular al cálculo de los divisores comunes más grandes. Específicamente, suponer que deseamos realizar las divisiones por un x del valor, el y del modulo. Para que la división por el x ser el bien definido y del modulo, el x y el y debe ser el relativamente primero. Entonces, usando el algoritmo euclidiano ampliado para los divisores comunes más grandes podemos encontrar el un y el b tales que $del\; \backslash \; hacha\; del\; displaystyle\; +\; por\; =\; 1,$ de cuál sigue esa hacha del $\backslash \; del\; displaystyle\; del\; \backslash \; 1\; equivalente\; \backslash \; pmod\; y,$ o equivalente $a\; del\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; frac1x\; \backslash \; pmod\; y.$ Así, dividir por x ( y del modulo) que necesitamos simplemente en lugar de otro multiplicar por el un .

Sumas finitas de fracciones de la unidad

Cualquier número racional positivo se puede escribir como la suma de fracciones de la unidad, en maneras múltiples. Por ejemplo, = del $del\; 20\}\; \backslash \; frac45=\; \backslash \; frac12+\; \backslash \; frac14+\; \backslash \; frac1\; \{\backslash \; frac13+\; \backslash \; frac15+\; \backslash \; frac16+\; \backslash \; frac1\; \{10\}.$ Las sumas usadas los egipcios antiguos de fracciones distintas de la unidad en su notación para los números racionales de un más general y tan tales sumas a menudo se llaman las fracciones del egipcio. Todavía hay interés hoy en analizar los métodos usados por los ancients para elegir entre las representaciones posibles para un número fraccionario, y para calcular con tales representaciones. El asunto de fracciones egipcias también ha considerado interés en la teoría de número moderna ; por ejemplo, la conjetura de Erdős-Graham y la conjetura de Erdős-Straus se refieren a sumas de fracciones de la unidad, al igual que la definición de los números del armónico del mineral

En la teoría de grupo geométrica, los grupos del triángulo se clasifican en casos euclidianos, esféricos, e hiperbólicos según si una suma asociada de fracciones de la unidad es igual a una, mayor de uno, o menos de uno respectivamente.

Serie de fracciones de la unidad

Muchas series infinitas bien conocido tienen términos que sean fracciones de la unidad. Éstos incluyen:

la serie armónica, la suma de todas las fracciones positivas de la unidad. Esta suma diverge, y su de las sumas parciales el $\backslash \; de\; frac11+\; de\; \backslash \; de\; frac12+\; \backslash \; de\; frac13+\; \backslash \; de\; cdots+\; \backslash \; de\; frac1n$ del
el log _{aproximado '' e ''} ( n ) de cerca + el γ como n aumenta.

el problema de Basilea se refiere a la suma de las fracciones cuadradas de la unidad, que converge al π ²/6
constante de Apéry es la suma de las fracciones cubicadas de la unidad.

la serie geométrica binario, que agrega a 2, es otro ejemplo de una serie integrada por fracciones de la unidad.

Matrices de las fracciones de la unidad

La matriz de Hilbert es la matriz con = \ frac1 {i+j-1} del $B\_\; del\; de\; los\; elementos\; \{i,\; j\}.$ Tiene la característica inusual que todos los elementos en su matriz inversa son números enteros. Semejantemente, Richardson definió una matriz con = \ frac1 {F_ {i+j-1}}, del $C\_\; del\; de\; los\; elementos\; \{i,\; j\}\; donde\; el\; F$_i denota el número de Fibonacci del th del i . Él llama esta matriz la matriz de la avellana y tiene la misma característica del tener lo contrario del número entero.

Fracciones de la unidad en probabilidad y estadísticas

En una distribución del uniforme en un espacio discreto, todas las probabilidades son fracciones iguales de la unidad. Debido al principio de la indiferencia, probabilidades de esta forma presentarse con frecuencia en cálculos estadísticos. Además, la ley de Zipf indica que, para muchos fenómenos observados que implican la selección de artículos de una secuencia pedida, la probabilidad que el artículo del th del n está seleccionado es proporcional al n de la fracción 1 de la unidad.

Fracciones de la unidad en la física

Los niveles de energía Bohr modelo de órbitas del electrón en un átomo de hidrógeno son proporcionales a las fracciones cuadradas de la unidad, y por lo tanto los niveles de energía de fotones que se puedan absorber o emitir por un átomo de hidrógeno según este modelo son semejantemente proporcionales a las diferencias de dos tales fracciones. Fue creído por algún tiempo que el número de Eddington, o el constante de estructura fina, era exactamente una fracción de la unidad, 1/137, pero éste ahora se sabe para ser falso.

Zenithic

Adam Shand

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