Un fractal es generalmente " una forma geométrica áspera o hecha fragmentos que se puede subdividir en las piezas, que es (por lo menos aproximadamente) una copia del reducir-tamaño del conjunto, " una característica llamó la Uno mismo-semejanza . El término fue acuñado por el Benoît Mandelbrot en 1975 y derivado del " latino del significado del fractus ; broken" o " fractured".

Un fractal tiene a menudo las características siguientes:
Tiene una estructura fina en arbitrariamente las pequeñas escalas.
Es demasiado irregular ser descrito fácilmente en lengua geométrica euclidiana tradicional.
Es el self-similar (por lo menos aproximadamente o el estocástico .
Tiene una dimensión de Hausdorff que sea mayor que su dimensión topológica (aunque este requisito no es cumplido compilando curvas tales como la curva de Hilbert).
Tiene una definición recurrente simple y .

Porque aparecen similares en todos los niveles de ampliación, los fractales se consideran a menudo ser infinitamente complejos (en términos informales). Objetos naturales que los fractales aproximados a un grado incluyen las nubes, las gamas de montaña, los pernos de relámpago, las costas costas, y las escamas de la nieve. Sin embargo, no todos los objetos self-similar son fractals— por ejemplo, la línea verdadera (una línea euclidiana recto ) es formalmente self-similar pero fall tener otras características del fractal.

Historia

Las matemáticas detrás de fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII en que el Leibniz del filósofo consideraba el uno mismo-semejanza recurrente de (aunque él incurrió en la equivocación de pensar que solamente la línea recta era self-similar en este sentido).

Tomó hasta 1872 antes de una función apareció cuyo gráfico hoy ser considerado fractal, cuando el Karl Weierstrass dio un ejemplo de una función con la característica intuitiva non- de estar por todas partes el continuo pero el en ninguna parte diferenciable. En 1904, el Helge von Koch, descontentó con Weierstrass muy abstracto y la definición analítica, dio una definición más geométrica de una función similar, que ahora se llama el copo de nieve de Koch. En 1915, el Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año más tarde, su alfombra . Estos fractales geométricos fueron descritos original como curvas algo que las 2.as formas que están conocidos como en sus construcciones modernas. La idea de curvas self-similar fue tomada más lejos por el Paul Pedro Lévy, que, en sus 1938 curvas de papel del plano o de espacio del y las superficies consistir en las piezas similares al entero describió una nueva curva del fractal, la curva de Lévy C.

El chantre de Jorge también dio ejemplos de los subconjuntos de la línea verdadera con el properties&mdash inusual; estos sistemas del chantre también ahora se reconocen como fractales.

Las funciones iteradas en el plano complejo fueron investigadas en los siglos de fines del siglo diecinueve y a principios de siglo 20 por el Enrique Poincaré, el Felix Klein, el Pedro Fatou y el Gastón Julia . Sin embargo, sin la ayuda de los gráficos de computadora modernos, carecieron los medios de visualizar la belleza de muchos de los objetos que habían descubierto.

¿En los años 60, el Benoît Mandelbrot comenzó a investigar uno mismo-semejanza en papeles tales como cuánto tiempo es la costa de Gran Bretaña? Uno mismo-Semejanza estadística y dimensión fraccionaria, que emplearon trabajo anterior por la fritada Richardson de Lewis. Finalmente, en Mandelbrot 1975 acuñado el " de la palabra; fractal" para denotar un objeto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica . Él ilustró esta definición matemática con el pulso de visualizaciones computadora-construidas. Estas imágenes capturaron la imaginación popular; muchas de ellas fueron basadas en la repetición, llevando al significado popular del " del término; fractal".

Ejemplos

Una clase relativamente simple de ejemplos es dada por el triángulo de Sierpinski de los sistemas del chantre y la alfombra, la esponja de Menger, la curva del dragón, la curva de compilación, y la curva de Koch. Los ejemplos adicionales de fractales incluyen el fractal de Lyapunov y los sistemas de límite de fractales de los grupos de Kleinian pueden ser el determinista (todo el antedicho) o el estocástico (es decir, no determinista). Por ejemplo, la trayectoria del movimiento browniano en el plano tiene una dimensión de Hausdorff de 2.

Los sistemas dinámicos caóticos se asocian a veces a fractales. Los objetos en el espacio de fase de un sistema dinámico pueden ser fractales (véase el Attractor ). Los objetos en el espacio de parámetro para una familia de sistemas pueden ser fractal también. Un ejemplo interesante es el Mandelbrot determinado. Este sistema contiene discos enteros, así que tiene una dimensión de Hausdorff igual a su dimensión topológica de 2— pero cuál es verdad asombrosamente es que el límite del Mandelbrot fijado también tiene una dimensión de Hausdorff de 2 (mientras que la dimensión topológica de 1), un resultado probado por el Mitsuhiro Shishikura en 1991. Un fractal estrechamente vinculado es el Julia determinado.

Incluso las curvas lisas simples pueden exhibir la característica del fractal de la uno mismo-semejanza. Por ejemplo la curva de la Energía-ley (también conocida como distribución de Pareto) produce formas similares en las varias ampliaciones.

Generación de fractales