El concepto matemático de una función expresa la dependencia entre dos cantidades, una cuyo se da (la variable independiente, discusión de la función, o su " input") y el otro produjo (la variable dependiente, valor de la función, o " output"). Una función asocia un de salida única a cada elemento de la entrada extraído de un fijo determinado, tal como los números verdaderos

Hay muchas maneras de dar una función: por una fórmula, por un gráfico del diagrama o, por un algoritmo que lo computa, por una descripción de sus características. A veces, una función se describe con su relación a otras funciones (véase, por ejemplo, función inversa ). En disciplinas aplicadas las funciones son especificadas con frecuencia por sus tablas de valores, o por una fórmula. No todos los tipos de descripción se pueden dar para cada función posible, y una debe hacer una distinción firme entre la función sí mismo del y las maneras múltiples del de presentar o el que visualiza él.

Una idea de la importancia enorme en todas las matemáticas es composición de las funciones : si el z es una función del y y el y es una función del x, después el z es una función del x . Podemos describirlo informal diciendo que la función compuesta es obtenida usando la salida de la primera función como la entrada de segunda. Esta característica de funciones las distingue de otras construcciones matemáticas, tales como numera o el calcula y provee de la teoría de funciones su estructura más de gran alcance.

Introducción

Funciona el juego un papel fundamental en todas las áreas de las matemáticas, así como en las otras ciencias e ingeniería. Sin embargo, la intuición referente a funciones, a la notación, e incluso al mismo significado del " del término; function" varía entre los campos. Áreas más abstractas de las matemáticas, tales como teoría determinada, consideran tipos muy generales de funciones, que no se pueden especificar por una regla concreta y no son gobernadas por ninguna principios familiar. La característica característica de una función en el sentido más abstracto es que se relaciona exactamente uno hecho salir con cada uno de sus entradas admisibles. Tales funciones no necesitan implicar números y pueden, por ejemplo, asociar cada uno de un sistema de palabras a sus propias primeras letras.

Las funciones en la álgebra son generalmente expresables en términos de funciones algebraicas de las operaciones estudiadas en el análisis, tal como la función exponencial, pueden tener características adicionales el presentarse de la continuidad del espacio, pero en el caso más general no puede ser definido por una sola fórmula. Las funciones analíticas en el análisis complejo se pueden definir bastante concreto con sus extensiones de serie por una parte, en el cálculo de la lambda, función son un concepto primitivo, en vez de la definición en términos de teoría determinada. La transformación de los términos y el que traza son a menudo sinónimos con la función del . En algunos contextos, sin embargo, diferencian levemente. En el primer caso, la transformación del término se aplica generalmente a las funciones cuyas entradas y salidas son elementos del mismo sistema o estructura más general. Así, hablamos de las transformaciones lineares de un espacio de vector en sí mismo y de transformaciones de la simetría de un objeto geométrico o de un patrón. Del segundo caso, usado para describir los sistemas cuya naturaleza es arbitraria, el del término que traza es el concepto más general de función.

Las funciones matemáticas son denotadas con frecuencia por las letras, y la notación estándar para la salida de un &fnof de la función; con el x de la entrada es ƒ ( x ). Una función se puede definir solamente para ciertas entradas, y la colección de todas las entradas aceptables de la función se llama su dominio . El sistema de todas las salidas resultantes se llama la gama de la función. Sin embargo, en muchos campos, es también importante especificar el Codomain de una función, que contiene la gama, pero no necesita ser igual a él. La distinción entre la gama y el codomain nos deja preguntar si los dos suceden ser iguales, que particularmente encajona puede ser una cuestión de un cierto interés matemático.

Por ejemplo, el ƒ de la expresión ( x ) = el x ² describe un ƒ de la función de un variable x, cuál, dependiendo del contexto, puede ser un número entero, un número complejo verdadero de o o aún un elemento de un grupo . Especifiquemos que el x es un número entero; entonces esta función relaciona cada entrada, x, con un de salida única, el x ², obtenido del x por el que ajusta . Así, la entrada de 3 se relaciona con la salida de 9, la entrada de 1 a la salida de 1, y la entrada de −2 a la salida de 4, y escribimos el ƒ (3) = 9, ƒ (1)=1, ƒ (−2)=4. Puesto que cada número entero puede ser ajustado, el dominio de esta función consiste en todos los números enteros, mientras que su gama es el sistema de los cuadrados perfectos si elegimos números enteros como el codomain también, nosotros encuentra que muchos números, tales como 2, 3, y 6, están en el codomain pero no la gama.

Es una práctica generalmente en matemáticas introducir funciones con nombres temporales como ƒ; en el párrafo siguiente puede ser que definamos el   del ƒ ( x ); = 2 x +1, y entonces ƒ (3)  = 7. Cuando un nombre para la función no es necesario, a menudo el   del y de la forma; =  se utiliza el x ².

¡Si utilizamos una función a menudo, podemos darle un nombre más permanente como, por ejemplo, $del\; \backslash \; operatorname\; \{cuadrado\}\; (x)\; =\; x^2.\; \backslash ,\; \backslash !$

La característica esencial de una función es ésa para cada entrada allí debe ser una salida única. Así, por ejemplo, el $del\; de\; la\; fórmula\; \backslash \; =\; \backslash \; P.\; \backslash raíz\; cuadradax$ del operatorname {raíz} (x) no define una función de una variable verdadera positiva, porque asigna dos salidas a cada número: las raíces cuadradas de 9 son 3 y −3. Para hacer la raíz cuadrada una función, debemos especificar qué raíz cuadrada a elegir. ¡El $del\; de\; ladefinición\backslash \; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; x\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; operatorname\; \{Posroot\}\; (x)$ para cualquier positivo la entrada elige la raíz cuadrada positiva como salida.

Según lo mencionado anteriormente, una función no necesita implicar números. Por ejemplos, considerar la función que asocia a cada palabra su primera letra o la función que asocia a cada triángulo su área.

Definiciones

Porque las funciones se utilizan en tan muchas áreas de las matemáticas, y en tan muchas maneras diferentes, no se ha adoptado ninguna definición de la función universal. Algunas definiciones son elementales, mientras que otras utilizan la lengua técnica que puede obscurecer la noción intuitiva. Sin embargo, la idea esencial está igual en cada definición.

Una definición elemental es ese
Una función es dada por una expresión aritmética que describe cómo un número depende de otro. Un ejemplo de tal función es   del y ; =  5 x ⁵ del x ³+16 del x −20, donde el valor del y depende del valor del x . Esto es enteramente satisfactorio para las partes de matemáticas elementales, pero es demasiado torpe y restrictivo para áreas más avanzadas. Por ejemplo, la función del coseno usada en trigonometría no se puede escribir de esta manera; el mejor que podemos hacer es una serie infinita,   de lechuga romana del ( x ); =  1−¹⁄ x ²+¹&frasl de ₂; x ⁴−¹&frasl de ₂₄; x ⁶+⋯ de ₇₂₀. Ese haber dicho, si estamos dispuestos a aceptar serie como sentido extendido del " " de la expresión aritmética;, tenemos una definición que sirvió matemáticas razonablemente bien para los centenares de años.

Eventual la transformación gradual del " intuitivo; calculus" en " formal; analysis" trajo la necesidad de una definición más amplia. El énfasis cambió de puesto de cómo una función fue presentada - como una fórmula o regla - a un concepto más abstracto. La parte de la nueva fundación era el uso de los sistemas de modo que las funciones fueran restringidas no más a los números. Así podemos decir ese
Un ƒ de la función de un X del sistema a un Y del sistema asocia a cada x del elemento en el X un   del y del elemento; =  ƒ ( x ) en el Y . Observar que el X y el Y no necesitan ser diversos sistemas; es posible tener una función de un sistema a sí mismo. Aunque sea posible interpretar el " del término; associates" en esta definición con una regla concreta para la asociación, es esencial moverse más allá de esa restricción. Por ejemplo, podemos probar a veces que existe una función con ciertas características, con todo no poder dar cualquier regla explícita para la asociación. De hecho, es en algunos casos el imposible para dar una regla explícita produciendo un específico y para cada x, aunque existe tal función. En el contexto de las funciones definidas en sistemas arbitrarios, no está incluso claro cómo el " de la frase; rule" explícito; debe ser interpretado.

¡ Mientras que las funciones adquieren nuevos papeles y encuentran nuevas aplicaciones, la relación de la función a los sistemas requiere más precisión. Quizás cada elemento en el Y se asocia a un cierto x, quizás no. En algunas partes de matemáticas, incluyendo la teoría de la repetición y el análisis funcional, es conveniente permitir valores del x sin la asociación (en este caso, la función parcial del término es de uso frecuente). Para poder discutir tales distinciones, muchos autores partidos una función en tres porciones, cada un sistema:
Está un triple un ƒ de la función pedido de los sistemas ( F, X, Y ) con restricciones, donde
: El F (el gráfico ) es un sistema de los pares pedidos ( x, y ),
: El X (la fuente ) contiene todos los primeros elementos del F y quizás más, y
: El Y (la blanco ) contiene todos los segundos elementos del F y quizás más. Las restricciones mas comunes son que el F aparea cada x con apenas un y, y que el X es apenas el sistema de los primeros elementos del F y no más.

Cuando el ningunas restricciones de se pone en el F, hablamos de una relación entre el X y el Y algo que una función. La relación es " solo-valued" cuando la primera restricción se sostiene: ( x, y ₁) ∈ F y ( x, y ₂) ∈ El F junto implica el y ₁  =  y ₂. Las relaciones que no son solas valoradas a veces se llaman el las funciones polivalentes que la relación de A es " total" cuando una segunda restricción se sostiene: si &isin del x ; &isin del X entonces ( x, y ); F para un cierto y . Así podemos también decir ese
Una función del X al Y es una relación de un solo valor, total entre el X y el Y .

La gama del F, y de ƒ, es el sistema de todos los segundos elementos del F ; es denotada a menudo por el rng  ƒ. El dominio del F es el sistema de todos los primeros elementos del F ; es denotado a menudo por el dom  ƒ. Hay dos definiciones comunes para el dominio del ƒ que algunos autores lo definen como el dominio del F, mientras que otros lo definen como la fuente de F.

El Y de la blanco del ƒ también se llama el codomain del ƒ, denotado por el cod  ƒ; y la gama de ƒ también se llama la imagen del ƒ, denotada por el im  ƒ. El ƒ de la notación: El Y del → del X indica que el ƒ es una función con el X del dominio y el Y del codomain.

Algunos autores omiten la fuente y la blanco como datos innecesarios. De hecho, dado solamente el F, uno del gráfico puede construir un triple conveniente tomando el dom  F a ser la fuente y el rng  F a ser la blanco; esto hace automáticamente el F ser total. Sin embargo, la mayoría de los autores en matemáticas avanzadas prefieren la mayor energía de la expresión producida por el triple, especialmente la distinción que permite entre la gama y el codomain.

Incidentemente, los pares y los triples pedidos que hemos utilizado no son distintos de sistemas; podemos representarlos fácilmente dentro de teoría determinada. Por ejemplo, podemos utilizar para los pares ( x, y ). Entonces para un triple ( x, el y, el z ) podemos utilizar los pares ((el x, el y ), el z ). Una construcción importante es el producto de cartesiano del X de los sistemas y del Y, denotado por el Y del × del X, que es el sistema de todos los pares pedidos posibles ( x, y ) con &isin del x ; &isin del X y del y ; Y . Podemos también construir el sistema de todas las funciones posibles del X del sistema para fijar el Y, que denotamos por cualquier o el X del ^{del Y .}

Ahora tenemos enorme flexibilidad. Usando se aparea para el X que podemos tratar, por ejemplo, la substracción de números enteros como función, submarino: Z DEL → DEL Z DEL × DEL Z . Usando los pares para el Y podemos dibujar una curva planar usar una función, crv: R DEL × DEL R DEL → DEL R . En el intervalo de unidad, el I, podemos hacer una función definir para ser una en los números racionales y para poner a cero de otra manera, rata: 2 del → del I . Usando las funciones para el X podemos considerar un el integral definido sobre el intervalo de unidad para ser una función, internacional: R del →.

Con todo todavía no somos satisfied. Podemos querer aún más generalidad, como una función cuyo integral sea una función de paso ; así definimos las funciones generalizadas supuesto que podemos querer el menos generalidad de, como una función podemos utilizar siempre realmente para conseguir una respuesta definida; así definimos las funciones recurrentes primitivas y después nos limitamos a ésos que podemos probar somos el con eficacia computable. O podemos querer relacionar no apenas sistemas, pero las estructuras algebraicas terminan con operaciones; así definimos el Homomorphisms

Historia

La historia del concepto de la función en matemáticas se describe cerca. Como término matemático, " " de la función ; fue acuñado por el Gottfried Leibniz en 1694, para describir una cantidad relacionada con una curva, tal como cuesta de una curva en un punto específico . Las funciones Leibniz considerado hoy se llaman el las funciones diferenciables . Para este tipo de función, una puede hablar de los límites y los derivados ambos son medidas de la salida o del cambio en la salida pues depende de la entrada o del cambio en la entrada. Tales funciones son la base del cálculo .

La función de la palabra fue utilizada más adelante por el Leonhard Euler durante el siglo de mid-18th para describir una expresión o la fórmula que implicaba el vario ƒ de las discusiones e. ( x ) = pecado ( x ) + el x ³.

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a formalizar todas las ramas diferentes de las matemáticas. El Weierstrass abogó cálculo del edificio en el aritmético algo que en la geometría, que favoreció la definición de Euler sobre Leibniz (véase el Arithmetization del análisis ).

Al principio, la idea de una función era algo limitada. El José Fourier, por ejemplo, demandó que cada función tenía una serie de Fourier Del, algo que ningún matemático demandaría hoy. Ensanchando la definición de funciones, los matemáticos podían estudiar el " strange" objetos matemáticos tales como funciones continuas que son el en ninguna parte diferenciable. Estas funciones eran primeras probablemente solamente curiosidades teóricas, y colectivamente fueron llamadas " monsters" tan tarde como la vuelta del vigésimo siglo. Sin embargo, las técnicas de gran alcance del análisis funcional han demostrado que estas funciones están en un cierto " del sentido; más common" que funciones diferenciables. Tales funciones se han aplicado desde entonces al modelado de fenómenos físicos tales como movimiento browniano .

Hacia el final del siglo XIX, los matemáticos comenzados para formalizar todas las matemáticas usar la teoría determinada, y ellos intentaron definir cada objeto matemático como un determinado. El Dirichlet y el Lobachevsky independiente y dieron casi simultáneamente el " moderno; formal" definición de la función. En esta definición, una función es un caso especial de una relación, particularmente una función es una relación en la cual cada primer elemento tiene un segundo elemento único.

definió una función como relación entre el x de dos variables y el y tales que " a algunos valores del x de todos modos corresponden los valores del y . " Él ni requirió la función para ser definido para todos los valores del x ni para asociar cada valor del x a un solo valor del y . Esta definición amplia de una función abarca más relaciones que ordinariamente se consideran las funciones en matemáticas contemporáneas.

La noción de una función en general para el que computaba, algo que una clase especial de relación, se ha estudiado extensivamente en la lógica matemática y el de informática teórico. Los modelos para estas funciones computables incluyen el cálculo de la lambda, las funciones μ-recurrentes y las máquinas de Turing

Vocabulario

Una entrada específica en una función se llama una discusión de la función. Cada x del valor de la discusión, el único correspondiente y en el codomain se pide el valor de la función en el x, o la imagen del del del x bajo ƒ de . La imagen del x se puede escribir como ƒ ( x ) o como y . (Véase la sección en la notación .)

El gráfico del de un ƒ de la función es el sistema de todos los pares pedidos ( x, ƒ ( x )), para todo el x en el X del dominio. Si el X y el Y son subconjuntos del R, los números verdaderos, después esta definición coincide con el sentido familiar del " graph" como un cuadro o diagrama de la función, con los pares pedidos siendo los coordenadas cartesianos de puntos.

El concepto de la imagen del puede ser extendido de la imagen de un punto a la imagen de un fijado . Si el A es cualquier subconjunto del dominio, después el ƒ ( A ) es el subconjunto de la gama que consiste en todas las imágenes de elementos del A. Decimos que el ƒ ( A ) es la imagen de A bajo F.

Notar que la gama de ƒ es el ƒ de la imagen ( X ) de su dominio, y que la gama de ƒ es un subconjunto de su codomain.

El Preimage (o la imagen inversa, o más exacto, la imagen inversa completa ) de un B del subconjunto del Y del codomain bajo ƒ de la función es el subconjunto del X del dominio definido por = \ {del $f^\; del\; \{-\; 1\}\; (b)\; x\; \backslash \; en\; X:\; f\; (x)\; \backslash \; en\; B\; \backslash \}$ Así pues, por ejemplo, el preimage de {4, 9} bajo función que ajusta es el sistema {−3, −2, +2, +3}.

El preimage de un sistema del Singleton (un sistema con exactamente un elemento) puede contener generalmente cualquier número de elementos. Por ejemplo, si el ƒ ( x ) = 7, entonces el preimage de {5} es el sistema vacío pero el preimage de {7} es el dominio entero. Así el preimage de un elemento en el codomain es un subconjunto del dominio. La convención generalmente sobre el preimage de un elemento es que ƒ⁻¹ ( b ) significa ƒ⁻¹ ({el b }), es decir = \ {del $f^\; del\; \{-\; 1\}\; (b)\; x\; \backslash \; en\; X:\; f\; (x)\; =\; b\; \backslash \}$

Tres clases importantes de función son el de las inyecciones del (o de las funciones unas por de ), que tienen la característica que si el ƒ ( un ) = del ƒ ( b ) entonces un debe igualar el b ; el de Surjections del (o sobre de las funciones), que tienen la característica que para cada y en el codomain hay un x en el dominio tales que ƒ ( x ) = el y ; y el de Bijections del, que son unos por y sobre. Esta nomenclatura fue introducida por el grupo de Bourbaki.

Cuando la primera definición de la función dada arriba se utiliza, puesto que el codomain no se define, el " surjection" debe ser acompañado con una declaración sobre el sistema que la función traza sobre. Por ejemplo, puede ser que digamos mapas del ƒ sobre el sistema de todos los números verdaderos.

¡Restricciones y extensionssubgrupo -->

Informal, una restricción del de un ƒ de la función es el resultado de ajustar su dominio.

Más exacto, si el ƒ es una función de un X al Y, y el S es cualquier subconjunto del X, la restricción del del del ƒ de al S de es el ƒ de la función| S del _{del S a el Y tales que ƒ| S} ( s ) del _{= ƒ ( s ) para todo el s en el S .}

Si el g es cualquier restricción del ƒ, decimos que el ƒ es una extensión del g .

Notación

Es común omitir paréntesis alrededor de la discusión cuando hay poca ocasión de la ambigüedad, así: sin  x . En algunos ajustes formales, uso de la notación polaca reversa,   x ; el ƒ, elimina la necesidad de cualquier paréntesis; ¡y, por ejemplo, la función factorial se escribe siempre el n !, aunque su generalización, la función gamma, se escribe Γ ( n ).

La descripción formal de una función implica típicamente el nombre de función, su dominio, su codomain, y una regla de correspondencia. Así vemos una notación bipartita, un ejemplo que es $del\; \backslash \; comenzamos\; con\; frecuencia\; \{alinear\}\; f\; \backslash \; y\; \backslash \; de\; los\; dos\; puntos\; \backslash \; del\; mathbb\; \{N\}\; \backslash \; del\; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; frac\; \{n\}\; de\; n\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ donde se lee la primera parte:
" el ƒ es una función del " del N a del R ; (uno escribe a menudo informal el " Dejar el ƒ: " DEL Y DEL → DEL X ; para significar el " Dejar el ƒ ser una función del X al " del Y ;), o
" el ƒ es una función en el N en " del R ;, o
" el ƒ es un R - función valorada de un N - variable" valorado;, y se lee la segunda parte:
¡$n\; \backslash ,$ mapa a $\backslash \; frac\; \{n\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\; \{\backslash \; pi$

Aquí la función nombrada " ƒ" tiene los números naturales como dominio, los números verdaderos como codomain, y traza el n a sí mismo dividió por el π. ¡Menos formalmente, esta forma larga pudo ser el $abreviado\; f\; del\; (n)\; =\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; frac\; \{n\}\; \{\backslash \; pi\}$ sin embargo con una cierta pérdida de información; nos dan no más explícitamente el dominio y el codomain. Incluso la forma larga aquí abrevia el hecho de que el n en el lado derecho está tratado silenciosamente como número verdadero usar la encajadura estándar.

Una alternativa a la notación de los dos puntos, conveniente cuando se están componiendo las funciones, escribe el nombre de función sobre la flecha. Por ejemplo, si ƒ es seguido por g, donde el g produce el x del i del <sup>del e del número complejo, nosotros puede escribir

$\backslash \; mathbb\; \{N\}\; \backslash \; xrightarrow\; \{f\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; xrightarrow\; \{\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; de\; g.\; ¡\backslash ,\; \backslash !$ Una forma más elaborada de esto es el diagrama comutativo .</sup>

Uso del ƒ ( A ) de denotar la imagen de un &sube del A del subconjunto; El X es constante siempre y cuando no hay subconjunto del dominio también un elemento del dominio. En algunos campos (e. en teoría determinada, donde están también sistemas los ordinales de ordinales) es conveniente o aún necesario distinguir los dos conceptos; la notación acostumbrada es ƒ para el sistema {ƒ ( x ): &isin x; A }; algunos autores escriben el x del `del ƒ en vez del ƒ ( x ), y A del ƒ el ``en vez del ƒ.

Composición de la función

considera también:

la composición de la función La composición de la función del de dos o más funciones utiliza la salida de una función como la entrada de otra. Por ejemplo, el ƒ ( x ) = el pecado ( x² ) del es la composición de la función del seno y de la función que ajusta. El ƒ de las funciones:     del X ; →  Y y g :     del Y ; →  El Z puede ser compuesto por el primer ƒ de aplicación a un x de la discusión para obtener el y = ƒ ( x ) y después aplicación del g a el y para obtener el z = el g ( y ). La función compuesta formó de esta manera de ƒ general y el g se puede escribir el $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; g\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; y\; \backslash \; de\; los\; dos\; puntos\; X\; de\; Z\; a\; \backslash \; \backslash \; x\; y\; \backslash \; mapsto\; g\; (f\; (x)).\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ La función a la derecha actúa primer y la función a la izquierda actúa en segundo lugar, invirtiendo orden inglesa de la lectura. Recordamos la orden leyendo la notación como " g del ƒ". La orden es importante, porque raramente conseguimos a mismo resultado ambas maneras. Por ejemplo, suponer el   del ƒ ( x ); = x ² y   de g ( x ) del ; = x +1. Entonces g (ƒ ( x ))  = x ²+1, mientras que ƒ ( g ( x ))  = ( x +1)², que es el x +1 del x ²+2, una diversa función.

Función de identidad

considera también:

la función de identidad La función única sobre un X del sistema que trace cada elemento a sí mismo se llama la función de identidad del para el X, y es denotada típicamente por el X del id_{. Cada sistema tiene su propia función de identidad, así que el subíndice no puede ser omitido a menos que el sistema se pueda deducir de contexto. Bajo composición, una función de identidad es " neutral": si el ƒ es cualquier función del X al Y, después el}

Función inversa

considera también:

la función inversa Si ƒ está una función del X al Y entonces una función inversa para el ƒ, denotado por el ƒ ^{− 1}, es una función en la dirección opuesta, del Y al X, con la característica que un viaje de ida y vuelta (una composición ) vuelve cada elemento sí mismo. No cada función tiene lo contrario; los que lo hacen se llaman el inversible.

Como ejemplo simple, si el ƒ convierte una temperatura en el cent3igrado de los grados al Fahrenheit de los grados, la función que convierte el Fahrenheit de los grados al cent3igrado de los grados sería un ƒ⁻¹ conveniente. el

La notación para la composición nos recuerda la multiplicación; de hecho, la denotamos a veces usar la yuxtaposición, ƒ de g del, sin un círculo de intervención. Bajo esta analogía, las funciones de identidad son como 1, y las funciones inversas son como el Reciprocals (por lo tanto la notación).

Especificar una función

Una función se puede definir por cualquier condición matemática que se relaciona cada discusión con el valor correspondiente de la salida. Si el dominio es finito, un ƒ de la función puede ser definido simplemente tabulando todo el x de las discusiones y su ƒ correspondiente de los valores de la función ( x ). Más comunmente, una función es definida por una fórmula, o (más generalmente) un algoritmo - una receta que diga cómo computar el valor del ƒ ( x ) dado cualquier x en el dominio.

Hay muchas otras maneras de definir funciones. Los ejemplos incluyen la repetición, algebraica o el encierro analítico, límites, continuación analítica, serie infinita, y como soluciones al las ecuaciones diferenciales integrales de y el cálculo de la lambda proporciona un sintaxis de gran alcance y flexible para definir y combinar funciones de varias variables.

Computability

considera también:

la función computable Las funciones que envían números enteros a los números enteros, o secuencias finitas a las secuencias finitas, se pueden definir a veces por un algoritmo, que da una descripción exacta de un sistema de los pasos para computar la salida de la función de su entrada. Las funciones definibles por un algoritmo se llaman de las funciones computables del . Por ejemplo, el algoritmo euclidiano da un proceso exacto para computar el divisor común más grande de dos números enteros positivos. Muchas de las funciones estudiadas en el contexto de la teoría de número son computables.

Los resultados fundamentales de la teoría de Computability demuestran que hay las funciones que se pueden definir exacto pero no son computables. Por otra parte, en el sentido de la cardinalidad, casi todas las funciones de los números enteros a los números enteros no son computables. El número de funciones computables de números enteros a los números enteros es el contable, porque es el número de algoritmos posibles. El número de todas las funciones de números enteros a los números enteros es más alto: igual que la cardinalidad de los números verdaderos la mayoría de las funciones de números enteros a los números enteros no es así computable. Los ejemplos específicos de funciones uncomputable se saben, incluyendo la función ocupada del castor y las funciones relacionadas con el problema que para y otros problemas undecidable .

Funciones con las entradas y las salidas múltiples

El concepto de función se puede ampliar a un objeto que lleve una combinación de dos (o más) valores de la discusión un solo resultado. Este concepto intuitivo es formalizado por una función cuyo dominio sea el producto de cartesiano de dos o más fija.

Por ejemplo, considerar la función de la multiplicación que asocia dos números enteros a su producto: ƒ ( x, y ) = x · y . Esta función se puede definir formalmente como teniendo × del Z del dominio; El Z, el sistema de todo el número entero se aparea; Z del codomain; y, para el gráfico, el sistema de todos los pares (( x, y ), x · y ). Observar que el primer componente de cualesquiera pares es sí mismo un par (de números enteros), mientras que el segundo componente es un solo número entero.

El valor de la función de los pares ( x, y ) es ƒ ((el x, el y )). Sin embargo, es acostumbrado caer un sistema de paréntesis y considerar el ƒ ( x, y ) una función del de dos variables (o con dos discusiones), del x y del y .

El concepto puede ser ampliado aún más considerando una función que también produzca la salida que se expresa como varias variables. Por ejemplo considerar el espejo de la función ( x, y ) = (el y, el x ) con los × del R del dominio; R y × del R del codomain; R también. El par ( y, x ) es un solo valor en el codomain considerado como producto de cartesiano.

Operaciones binarias

Las operaciones binarias familiar aritmético, de la adición y de la multiplicación, se pueden ver como funciones de × del R ; R a R . Esta visión se generaliza en la álgebra del extracto, donde el n - las funciones ary se utilizan para modelar las operaciones de estructuras algebraicas arbitrarias. Por ejemplo, un grupo abstracto se define como un X del sistema y ƒ de la función de × del X ; X al X que satisface ciertas características.

Tradicionalmente, la adición y la multiplicación se escriben en la notación del infijo : x + × del y y del x ; y en vez de + ( x, y ) y × ( x, y ).

Espacios de función

El sistema de todas las funciones de un X del sistema a un Y del sistema es denotado por el Y del → del X, por el → '' Y '', o por el X del ^{del Y . La 3ultima notación es justificada por el hecho eso | X} DEL DEL Y | = | Y |^{| X |} y es un ejemplo la convención de la combinatoria enumerativa que proporciona las notaciones para los sistemas basados en sus cardinalities.

Ver el artículo sobre los números cardinales para más detalles.

Podemos interpretar el ƒ: Y del → del X para significar el → '' Y '' del ∈ del ƒ; es decir, " el ƒ es una función del X al " del Y ;.

Operaciones de Pointwise

Si ƒ:     del X ; →  R y g :     del X ; →  El R es funciones con el común X del dominio y el codomain común un R del anillo, después uno puede definir el ƒ  de la función de suma; +  g :     del X ; →  R y el ƒ  de la función del producto; ⋅   g :     del X ; →  R como sigue: el para todo el x en el X .

Esto da vuelta al sistema de todas tales funciones en un anillo. Las operaciones binarias en ese anillo tienen como pares pedidos dominio de funciones, y como codomain funcionan. Éste es un ejemplo de subir para arriba en la abstracción, a las funciones de tipos más complejos.

Tomando a un cierto otro el algebraico A de la estructura en el lugar del R, podemos dar vuelta al sistema de todas las funciones del X al A en una estructura algebraica del mismo mecanografiamos adentro una manera análoga.

Otras características

Hay muchas otras clases especiales de funciones que sean importantes para las ramas particulares de las matemáticas, o de usos particulares. Aquí está una lista parcial: style=" del
Bijection, inyección y surjection . Usted puede también visitar la función inyectiva, la función Surjective y la función Bijective por separado.
continuo
diferenciable, integrable
linear, polinómico, racional
algebraico, trascendental
trigonométrico
Fractal
impar o aún
convexo, monotónico, unimodal
olomorfo, meromórfico, entero
vector-valorado
computable