En las matemáticas, una función continua es una función para la cual, intuitivo, los pequeños cambios en la entrada dan lugar a pequeños cambios en la salida. Si no, una función reputa el discontinuo. Una función continua con una función inversa continuo se llama el bicontinuous. Un intuitivo aunque la idea imprecisa (e inexacta) de la continuidad es dada por la declaración común que una función continua es una función cuyo gráfico puede ser dibujado sin la elevación de la tiza de la pizarra.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos de la base de topología, que se trata en generalidad completa en un artículo avanzado . Este artículo introductorio se centra en el caso especial donde están los números las entradas y las salidas de funciones verdaderos además, este artículo discute la definición para el caso más general de funciones entre dos espacios métricos en la teoría de la orden, especialmente en la teoría del dominio, uno considera una noción de la continuidad conocida como continuidad de Scott.

Como ejemplo, considerar el h ( t ) de la función que describe la altura de una flor growing en el t del tiempo. Esta función es continua. De hecho, hay una sentencia de la física clásica que indica que el en naturaleza todo es continuo. Por el contrario, si el M ( t ) denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el t del tiempo, después los saltos de la función siempre que se deposite o se retire el dinero, así que el M ( t ) de la función es discontinuo.

Funciones continuas con valores reales

Suponer que tenemos una función que trace los números verdaderos a los números verdaderos y cuyo dominio sea un cierto intervalo, como el h de las funciones y el M arriba. Tal función se puede representar por un gráfico en el plano de cartesiano ; la función es continua si, en línea general, el gráfico es una sola curva intacta sin " holes" o " jumps".

Para ser más exactos, decimos que el f de la función es continuo en un cierto c del punto cuando los dos requisitos siguientes son satisfied:
el f ( c ) debe ser definido (es decir el c debe ser un elemento del dominio f ).
El límite f ( x ) pues el x se acerca al c debe existir y ser igual al f ( c ). (Si el c del punto en el dominio del f no es un punto de límite del dominio, después esta condición es el vacuo verdadero, puesto que el x no puede acercarse al c . Así, por ejemplo, cada función cuyo dominio es el sistema de todos los números enteros es continua, simplemente a falta de oportunidad de estar de otra manera. Sin embargo, uno no habla generalmente de funciones continuas en este ajuste.)

Llamamos el por todas partes continuo de la función, o simplemente el continuo, si es continuo en cada punto de su dominio . Más generalmente, decimos que una función es continua en un cierto subconjunto de su dominio si es continua en cada punto de ese subconjunto. Si decimos simplemente que una función es continua, significamos generalmente que es continua para todos los números verdaderos.

El C (Ω) de la notación o el C ⁰ (Ω) se utiliza a veces para denotar el sistema de todas las funciones continuas con el dominio Ω. Semejantemente, el C ¹ (Ω) se utiliza para denotar el sistema de las funciones diferenciables cuyo derivado es continuo, C ² (Ω) para las funciones dos veces-diferenciables cuyo segundo derivado es continuo, y así sucesivamente. En el campo de los gráficos de computadora, estos tres niveles a veces se llaman el g0 (continuidad de la posición), el g1 (continuidad de la tangencia), y el g2 (continuidad de la curvatura). El $C^\; de\; la\; notación\; \{(,\; \backslash \; alfa\; de\; n)\}(\backslash \; Omega)$ ocurre en la definición de un concepto más sutil, de que de la continuidad de Hölder.

Definición de Cauchy (épsilon-delta)

Sin el recurso a los límites, uno puede definir la continuidad de funciones verdaderas como sigue.

Considerar otra vez un f de la función que trace un sistema de los números verdaderos a otro sistema de números verdaderos, y suponerlo que el c es un elemento del dominio del f . El f de la función reputa continuo en el c del punto si (y solamente si) los asimientos siguientes: Para cualquie número $\backslash \; épsilon\; >\; 0$ sin embargo pequeño, allí existe algún número $\backslash \; delta\; >\; 0$ tal que para todo el x en dominio con , el valor del f ( x ) satisface el

Escrito alternativo: $I\; dado,\; D\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ (es decir, el I y el D son subconjuntos de los números verdaderos, continuidad del $f:\; I\; \backslash \; a\; D$ (el $\backslash \; el\; displaystyle\; leídos\; f$ traza el $\backslash \; el\; displaystyle\; I$ en el $\backslash \; el\; displaystyle\; D$) en el $c\; \backslash \; en\; I$ significa que para todo el $\backslash \; varepsilon>0$ existe un $\backslash \; un\; displaystyle\; \backslash \; delta>0$ tales que $x\; \backslash \; en\; I$ y .

Este " definition" del épsilon-delta; de continuidad estaba el primer dado por el Cauchy .

Más intuitivo, podemos decir que si queremos conseguir todos los valores del f ( x ) para permanecer en alguna pequeña vecindad alrededor del f ( c ), necesitamos simplemente elegir bastante una pequeña vecindad para los valores del x alrededor del c, y podemos hacer eso no importa cómo es pequeño es la vecindad del f ( x ); el f es entonces continuo en el c .

Definición de Heine de la continuidad

La definición siguiente de la continuidad es debido al Heine . la función verdadera $f$ del

A del es continua si para cualquier $dela\; secuencia(x\_n)$ tales que el $\backslash \; el\; lim\; \backslash \; el\; limits\_\; del\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; x\_n=x\_0,$
de él lleva a cabo ese =f del $\backslash \; del\; lim\; \backslash \; del\; limits\_\; del\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; f\; (x\_n)\; (x\_0).$
de (asumimos que todos los puntos $x\_n$, $x\_0$ pertenecen al dominio de $f$.)

Uno puede decir breve, ése una función es continuo si y solamente si preserva límites.

Las definiciones de Cauchy y de Heine de la continuidad son equivalentes en los reals. La prueba (más fácil) generalmente hace uso del axioma de la opción, pero en el caso de la continuidad global de funciones verdaderas fue probada por el Wacław Sierpiński que el axioma de la opción no es realmente necesario.

En un ajuste más general de espacios topológicos, el concepto análogo a la definición de Heine de la continuidad se llama la continuidad secuencial del . La continuidad secuencial no es generalmente equivalente al análogo de la continuidad de Cauchy, que apenas se llama la continuidad del (véase la continuidad (topología) para los detalles).

Ejemplos

Todas las funciones polinómicas son continuas.
Si una función tiene un dominio que no sea un intervalo, la noción de una función continua como una cuyo gráfico que usted puede dibujar sin tomar su lápiz del papel no está absolutamente correcto. Considerar el f ( x ) de las funciones = 1 x y el g ( x ) = (sin  )/ x del x . Ninguna de las dos funciones se define en el x = 0, así que cada uno tiene R del dominio \ {0} de los números verdaderos excepto 0, y cada función es continua. La cuestión de la continuidad en el x = 0 no se presenta, puesto que no está en el dominio. El f de la función no se puede extender a una función continua cuyo dominio sea el R, desde entonces no importa qué el valor se asigna en 0, la función resultante no será continuo. Por una parte, puesto que el límite del g en 0 es 1, el g se puede extender continuamente al R definiendo su valor en 0 para ser 1.
La función de la raíz cuadrada de los logaritmos de las funciones exponenciales de las funciones racionales, las funciones trigonométricas y la función del valor absoluto son continuas.
Un ejemplo de una función discontinua es el f de la función definida por el f ( x ) = 1 si el x > 0, f ( x ) = 0 si el ≤ 0 del x . Ε de la selección por ejemplo el = 1/2. No hay δ-vecindad alrededor del x = 0 que fuerce todos los valores del f ( x ) para estar dentro del ε del f (0). Intuitivo podemos pensar en este tipo de discontinuidad como salto repentino en valores de la función.
Otro ejemplo de una función discontinua es la función de muestra .
Un ejemplo más complicado de una función discontinua es la función de Thomae.
El $f\; de\; la\; función\; (el\; x)=\; \backslash \; comienza\; \{los\; casos\}\; 0\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; del\; setminus\; de\; R\; \backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; \backslash \; x\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; el\; extremo\; \{casos\}$ es continuo en solamente un punto, a saber $\backslash \; el\; displaystyle\; x\; =\; 0$ (el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$ es el sistema de los números verdaderos, de $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$ el sistema de los números racionales ).

Hechos sobre funciones continuas

Si el f de dos funciones y el g es continuo, después el f + el g y el fg del es continuo. Si el ≠ 0 de g ( x ) del para todo el x en el dominio, entonces f/g es también continuo.

El g del f o de la composición de dos funciones continuas es continuo.

El teorema de valor intermedio es un teorema de la existencia, basado en la característica del número verdadero de lo completo, y estados: el

l si el con valores reales f de la función es continuo en el intervalo cerrado '' b '' y el k es un cierto número entre el f ( un ) y el f ( b ), después allí es un cierto c del número en '' b '' tales que el f ( c ) = el k .

Por ejemplo, si un niño crece a partir de 1 m hasta el 1.5m entre las edades de 2 años y 6 años, después, en algún momento entre 2 años y 6 años de edad, la altura del niño debe haber sido el 1.

Por consiguiente, si el f es continuo en '' b '' y el f ( un ) y el f ( b ) diferencian en la muestra, después, en un cierto c del punto en '' b '', el f ( c ) debe igualar el cero.

Teorema del valor extremo: si un f de la función se define en un intervalo cerrado (o cerrado y sistema limitado) y es continuo allí, después la función logra su máximo, es decir existe   del c ; ∈  con el f ( x ) del ≥ del f ( c ) para todo el   del x ; ∈ . Igual es verdad del mínimo del f . Estas declaraciones son falsas si la función se define en un intervalo abierto ( un, b ) (o fijado que no se cierre y no se limite), como por ejemplo el f ( x ) de la función continua = 1 x definidas en el intervalo abierto (0.

Si una función es el diferenciable en un cierto c del punto de su dominio, después es también continua en el c . El inverso no es verdad: una función que es continua en el c no necesita ser diferenciable allí. Considerar por ejemplo el función del valor absoluto en el   del c ; =  0.

Continuidad direccional

Una función puede suceder ser continua en solamente una dirección, cualquiera del " left" o del " right". Una función derecho-continua del es una función que es continua en todos los puntos cuando está acercada de la derecha. Técnico, la definición formal es similar a la definición arriba para una función continua pero modificada como sigue:

La función $f$ reputa derecho-continua en el punto $c$ si y solamente si los asimientos siguientes: Para cualquier $\backslash \; épsilon\; >\; 0$ del número sin embargo pequeño, existe cierto $\backslash \; delta\; del\; número\; >\; 0$ tales que para todo el $x$ en el dominio con el c< x del , el valor del $f\; (x)$ satisfará el .

Asimismo una función izquierdo-continua del es una función que es continua en todos los puntos cuando está acercada de la izquierda.

Una función es continua si y solamente si es derecho-continua e izquierdo-continua.

¡Funciones continuas entre los espacios métricos

Ahora considerar un f de la función a partir de un espacio métrico ( X, X del d_{) a otro espacio métrico ( Y, Y} del d_{). Entonces el f es continuo en el c del punto en el X si para cualquier ε positivo del número verdadero, existe un δ positivo del número verdadero tales que todo el x en el satisfying X} ( x, c ) del d _{del X < δ también satisfará el Y} ( f ( x ) del d, f ( c )) < ε.

Esto se puede también formular en términos de secuencias y límites : el f de la función es continuo en el c del punto si para cada secuencia ( n del _{del x ) en el X con el n del del x del lim del límite = el c, nosotros tienen f ( n} del lim del _{del x ) = el f ( c ). Las funciones continuas del transforman límites en límites.}

Esta 3ultima condición puede ser debilitada como sigue: el f es continuo en el c del punto si y solamente si para cada secuencia convergente ( n del _{del x ) en el X con el c, la secuencia ( f ( n} del límite del _{del x )) es una secuencia de Cauchy, y el c está en el dominio del f . Las funciones continuas del transforman secuencias convergentes en las secuencias de Cauchy.}

Funciones continuas entre los espacios topológicos

considera también:

la función continua (topología)

Las definiciones antedichas de funciones continuas se pueden generalizar a las funciones a partir de un espacio topológico a otro de una manera natural; un f de la función: El Y del → del X, donde están espacios el X y el Y topológicos, es continuo si y solamente si para cada abren el $V\; \backslash \; el\; subseteq\; determinados\; Y$ de, = \ {del $f^\; de\; la\; imagen\; inversa\; \{-\; 1\}\; (v)\; x\; \backslash \; en\; X\; \backslash ;\; |\; \backslash ;\; f\; (x)\; \backslash \; en\; V\; \backslash \}$ está abierta.

Funciones continuas entre los sistemas parcialmente pedidos

En la teoría de la orden, la continuidad de una función entre los posets es la continuidad de Scott. Dejar el X ser un enrejado completo, entonces un f de la función: El X del → del X es continuo si, para cada Y del subconjunto del X, tenemos   del sorbo ; f ( Y ) = f (sup  Y ).

Relación binaria continua

Un binario R de la relación en el A es continuo si el R (a, b) siempre que haya el i del _{de las secuencias ( un k del ^{de ) y (el k} del ^{del b ) el i}} del en el A que converjan al un y al b respectivamente para qué R ( un k ,   del ^{de ; k} del del b ) para todo el k . Claramente, si uno trata el R como función característica en tres variables, esta definición de continuo es idéntica a ésa para las funciones continuas.

Ver también

style=" del
Semicontinuity
Clasificación de las discontinuidades
Continuidad uniforme
Continuidad absoluta
Equicontinuity
Continuidad de Lipschitz
Función simétricamente continua
Continuidad de Scott
Función normal
Operador linear limitado
functor continuo
Proceso estocástico continuo