En las matemáticas, las funciones de Bessel Del, primero definidas por el Daniel Bernoulli del matemático y generalizadas por el Friedrich Bessel, son el canónico y ( x ) de las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel:

$x^2\; \backslash \; frac\; \{d^2\; y\}\; \{dx^2\}\; del\; +\; x\; \backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\; +\; (x^2\; -\; \backslash \; alpha^2)\; y\; =\; 0$

para un &alpha arbitrario del número verdadero o complejo;. Está donde el caso especial más común y más importante α es un n, entonces &alpha del número entero ; se refiere como la orden del de la función de Bessel.

Aunque α y − α producir la misma ecuación diferencial, él es convencional definir diversas funciones de Bessel Para estas dos órdenes (e., de modo que las funciones de Bessel Sean sobre todo funciones lisas del α). Las funciones de Bessel También se saben mientras que las funciones del cilindro del o los armónicos cilíndricos porque se encuentran en la solución a la ecuación de Laplace en los coordenadas cilíndricos .

Usos

La ecuación de Bessel se presenta al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y a la ecuación de Helmholtz en el los coordenadas esféricos cilíndricos de o. Las funciones de Bessel Son por lo tanto especialmente importantes para muchos problemas de la propagación de onda, potenciales estáticos, y así sucesivamente. En solucionar problemas en sistemas coordinados cilíndricos, uno obtiene las funciones de Bessel De la orden del número entero (α = n ); en problemas esféricos, uno obtiene las órdenes del mitad-número entero (α = n +½). Por ejemplo:
ondas electromagnéticas en una guía de onda cilíndrica
conducción de calor en un objeto cilíndrico.
modos de vibración de una membrana artificial circular (o anular) fino.
problemas de difusión en un enrejado.

Las funciones de Bessel También tienen características útiles para otros problemas, tales como tratamiento de señales (e., ver la síntesis FM, la ventana de Kaiser, o el filtro de Bessel).

Definiciones

Puesto que esto es una ecuación diferencial second-order, debe haber dos soluciones independientes linear . Dependiendo de las circunstancias, sin embargo, las varias formulaciones de estas soluciones son convenientes, y las diversas variaciones son descritas más abajo.

Funciones de Bessel De la primera clase

Funciones de Bessel De la primera clase, denotadas como _{&alpha del J ;} ( x ), son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen ( x = 0) para el &alpha del número entero no negativo;, y divergir como acercamientos cero del x para el &alpha negativo del no-número entero;. El tipo de la solución (e. número entero o no-número entero) y normalización del _{&alpha del J ;} (x) es definido por sus características abajo. Que las soluciones de la orden del número entero, es posible definan la función por su extensión de la serie de Taylor alrededor del x = 0: ¡$J\_\; del$

l \ alfa (x) = \ ^ del sum_ {m=0} \ infty \ frac {(- ^m} de 1) {m! \ Gamma (m+ \ alpha+1)} {\ dejado ({\ frac {x} {2}} \ derecho)}^ {2m+ \ alfa}

donde $\backslash \; gamma\; (z)$ es la función gamma, una generalización de la función factorial a los valores del no-número entero. Para el &alpha del no-número entero;, se requiere una extensión más general de la serie de energía . Los gráficos de las funciones de Bessel Parecen áspero las funciones oscilantes del seno o de coseno que decaen proporcional a 1/√ x (véase también sus formas asintóticas abajo), aunque sus raíces no sean generalmente periódicas, excepto asintótico para el grande x . (La serie de Taylor indica que $-J\_1\; (x)$ es el derivado de $J\_0\; (x)$, como el $-\; \backslash \; sin$ es el derivado del $\backslash \; cos$; más generalmente, el derivado del $J\_n\; (x)$ se puede expresar en términos de $J\_\; \{n\; \backslash \; P.\; 1\}\; (x)$ por el de las identidades debajo de .)

Para el &alpha del no-número entero;, el $J\_\; de\; las\; funciones\; \backslash \; la\; alfa\; (x)$ y $J\_\; \{-\; \backslash \; alfa\}\; (x)$ son linear independiente, y son por lo tanto las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por una parte, para el $\backslash \; alpha$ de la orden del número entero, la relación siguiente es válida: $J\_\; del$

l {- n} (x) = (- 1) ^n J_ {n} (x). \,

Esto significa que las dos soluciones son no más linear independiente. En este caso, la solución independiente del segundo entonces se encuentra linear para ser la función de Bessel De la segunda clase, según lo discutido abajo.

Integrales de Bessel

Otra definición de la función de Bessel, Para los valores de número entero del $n$, es posible usar una representación integral:

$J\_n\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; (n\; \backslash \; tau\; -\; x\; \backslash \; pecado\; \backslash \; tau)\; \{\backslash \; pi\; d\; \backslash \; tau.$

Éste era el acercamiento que Bessel utilizó, y de esta definición él derivó varias características de la función.

Otra representación integral es: = \ frac {1} {2 \ pi} \ e^ del $J\_n\; del$

l (x) del ^ del int_ {- \ pi} {\ pi} {- i (n \ tau - x \ pecado \ tau)} d \ tau

Relación a la serie hipergeométrica

Función de Bessel puede estar expresado en términos de hipergeométrico serie como

$J\_\; \backslash \; alfa\; (z)=\; \backslash \; frac\; \{(z/2)^\; \backslash \; alfa\}\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+1)\}\; \backslash ;\; \_0F\_1\; (\backslash \; alpha+1;\; -\; z^2/4).$ Esta expresión se relaciona con el desarrollo de las funciones de Bessel En términos de función de Bessel-Clifford.

Funciones de Bessel De la segunda clase

Las funciones de Bessel De la segunda clase, denotadas por _{&alpha del Y ;} ( x ), son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Son singulares ( infinito) en el origen ( x = 0).

_{&alpha del Y ;} ( x ) a veces también se llama la función de Neumann del, y es denotado de vez en cuando en lugar de otro por _{&alpha del N ;} ( x ). Para el &alpha del no-número entero;, se relaciona con el _{&alpha del J ;} ( x ) cerca: $Y\_\; \backslash \; alfa\; del$

l (x) = \ frac {J_ \ alfa (x) \ lechuga romana (\ alfa \ pi) - J_ {- \ alfa} (x)} {\ pecado (\ alfa \ pi)}.

En el caso del n de la orden del número entero, la función es definida tomando el límite como &alpha del no-número entero; tiende al n': $Y\_n\; del$

l (x) = \ lim_ {\ alfa \ a n} Y_ \ alfa (x),

cuál tiene el resultado (en forma integral) $Y\_n\; del$

l (x) = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^} \ pecado (x \ pecado \ theta - n \ theta) {\ pi d \ theta

- \ frac {1} {\ pi} \ ^ del int_ {0} {\ infty} \ dejó el e^ {n t} + (- ^ del ^ noreste de 1) {- n t} \ derecho despegue del e^ {- x \ sinh t}.

Para el caso del &alpha del no-número entero;, la definición del _{&alpha del de Y;} (x) es redundante (como está claro de su definición arriba). Por una parte, cuando α es un número entero, &alpha del _{del de Y; el} (x) es la solución independiente del segundo linear de la ecuación de Bessel; por otra parte, al igual que semejantemente el caso para las funciones de la primera clase, la relación siguiente es válida: $Y\_\; del$

l {- n} (x) = (- 1) ^n Y_n (x). \,

_{&alpha del de ambos J; &alpha del de ( de x) y de Y;} ( de x) son las funciones olomorfas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje verdadero negativo. Cuando α es un número entero, no hay punto de rama, y las funciones de Bessel Son las funciones enteras de x. Si el de x se lleva a cabo fijo, después las funciones de Bessel Son funciones enteras del α.

Funciones de Hankel

Otra formulación importante de las dos soluciones independientes a la ecuación de Bessel es linear el _{&alpha del H de las funciones de Hankel del ;} ⁽¹⁾ ( x ) y _{&alpha del H ;} ⁽²⁾ ( x ), definido cerca: $H\_\; del$

l \ alpha^ {(1)} (x) = J_ \ alfa (x) + i Y_ \ alfa (x) $H\_\; del$

l \ alpha^ {(2)} (x) = J_ \ alfa (x) - i Y_ \ alfa (x)

donde está la unidad el i imaginaria . Estas combinaciones lineares también se conocen como funciones de Bessel De la tercera clase; son dos linear soluciones independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Hankel de la primera y segunda clase se utilizan para expresar hacia fuera y hacia adentro-propagando soluciones de la onda cilíndrica de la ecuación de onda cilíndrica, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de la muestra para la frecuencia ). Se nombran después Hermann Hankel .

Usar las relaciones anteriores pueden ser expresadas como: = del ^ del $H\_\; del$

l {\ alfa} {(1)} (x) \ frac {J_ {- \ alfa} (x) - e^ {- \ alfa \ pi i} J_ \ alfa (x)} {i \ pecado (\ alfa \ pi)} = \ frac {J_ {- \ alfa} (x) - e^ {\ alfa \ pi i} J_ \ alfa (x)} {- i \ pecado del ^ del $H\_\; del$

l {\ alfa} {(2)} (x) (\ alfa \ pi)}

si α es un número entero, el límite tiene que ser calculado. Las relaciones siguientes son válidas, si α es un número entero o no: ^ de H_ del e^ del ^ del $H\_\; del$

l {- \ alfa} {(1)} (x)= {\ alfa \ pi i} {\ alfa} {(1)} (x) ^ de H_ del e^ del ^ del $H\_\; del$

l {- \ alfa} {(2)} (x)= {- \ alfa \ pi i} {\ alfa} {(2)} (x)

Funciones de Bessel Modificadas

Las funciones de Bessel Son válidas incluso para el complejo x de las discusiones, y un caso especial importante es el de una discusión puramente imaginaria. En este caso, las soluciones a la ecuación de Bessel se llaman las funciones de Bessel Modificadas (o de vez en cuando las funciones de Bessel Hiperbólicas del ) de la primera y segunda clase, y se definen cerca: ¡

$I\_\; \backslash \; alfa\; (x)\; =\; i^\; \{-\; \backslash \; alfa\}\; J\_\; \backslash \; alfa\; (IX)\; \backslash !$

$K\_\; \backslash \; alfa\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash \; frac\; \{I\_\; \{-\; \backslash \; alfa\}\; (x)\; -\; I\_\; \backslash \; alfa\; (x)\}\; \{\backslash \; pecado\; (\backslash \; alfa\; \backslash \; pi)\}\; ¡=\; \backslash \; i^\; del\; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \{\backslash \; alpha+1\}\; H\_\; \backslash \; alpha^\; \{(1)\}\; (ix)\; \backslash !$

Éstos se eligen para ser con valores reales para el verdadero x de las discusiones. La extensión de serie para el I_α ( x ) es así similar a ése para el J_α ( x ), pero sin (- el factor de alternancia del m del ^{de 1).}

I_α ( x ) y K_α ( x ) son las dos linear soluciones independientes a la ecuación del Bessel modificado:

$x^2\; \backslash \; frac\; \{d^2\; y\}\; \{dx^2\}\; del\; +\; x\; \backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\; -\; (x^2\; +\; \backslash \; alpha^2)\; y\; =\; 0.$

Desemejante de las funciones de Bessel Ordinarias, que están oscilando como funciones de una discusión verdadera, _{&alpha del I ;} y _{&alpha del K ;} son exponencial que crece y que decae funciones de, respectivamente. Como el _{&alpha ordinario del J de la función de Bessel;} , el _{&alpha del I de la función;} va a cero en el x =0 para el α > 0 y es finito en el x =0 para el α =0. Análogo, _{&alpha del K ;} diverge en el x =0.

Funciones de Bessel Esféricas

Al solucionar la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricos por la separación de variables, la ecuación radial tiene la forma:

$x^2\; \backslash \; frac\; \{d^2\; y\}\; \{dx^2\}\; del\; +\; 2x\; \backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\; +\; -\; n\; (n+1)\; y\; =\; 0.$

Las dos linear soluciones independientes a esta ecuación se llaman el n del _{del esférico n} y del y del _{del j de las funciones de Bessel Del, y se relacionan con el ordinario n} del _{del n} y del Y del _{del J de las funciones de Bessel Cerca: $j\_n\; del$}

l (x) = \ raíz cuadrada {\ frac {\ pi} {2x}} J_ {n+1/2} (x),

$y\_n\; (x)\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2x\}\}\; Y\_\; \{n+1/2\}\; (x)\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{n+1\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2x\}\}\; J\_\; \{-\; n-1/2\}\; (x).$

$y\_n$ es el η también denotado _n de $n\_n$ o; algunos autores llaman estas funciones el las funciones de Neumann esféricas .

Las funciones de Bessel Esféricas se pueden también escribir como: ^n del $j\_n\; del\; (x)\; =\; (-)\; ^n\; x\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; de\; x\; \backslash \; derecho)\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; x\}\; \{x\},\; ^n\; del$ y\_n\; del$$
de (x) = - (- x) ^n \ ido (\ frac {1} {} \ frac {d} {dx} de x \ derecho) \, \ frac {\ lechuga romana x} {x}.

La primera función de Bessel Esférica $j\_0\; (x)$ también se conoce como la función (unnormalized) de Sinc. Las primeras funciones de Bessel Esféricas son:
$j\_0\; ($
$j\_1\; (x)=\; \backslash \; frac\; del\; x)=\; del$
\ del frac {\ pecado x} {x} {\ pecado x} {x^2} - \
$j\_2\; (x)=\; del\; frac\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; x\}\; \{x\}$ \ ido (\ frac {3} {x^2} - 1 \ derecho) \ - \ frac {3 \ lechuga romana x} {x^2} del frac {\ pecado x} {x} y
$y\_0\; del$
(x)=-j_ {- 1} (x)=- \, \ frac {\ lechuga romana x} {x}
$y\_1\; (x)=j\_\; \{-\; 2\}\; (x)=-\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; x\}\; \{x^2\}\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; x\}\; \{x\}$
$y\_2\; (x)=-j\_\; \{-\; 3\}\; (x)=\; \backslash \; ido\; (-\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{x^2\}\; +1\; \backslash \; derechos)\; \backslash \; -\; \backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pecado\; x\}\; \{x^2\}\; del\; frac\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; x\}\; \{x\}.$

Hay también análogos esféricos de las funciones de Hankel: $h\_n^\; del$

l {(1)} (x) = j_n (x) + y_n de i (x) $h\_n^\; del$

l {(2)} (x) = j_n (x) - y_n de i (x).

De hecho, hay expresiones simples de la forma cerrada para las funciones de Bessel De la orden del Mitad-número entero en términos de funciones trigonométricas estándar y por lo tanto para las funciones de Bessel Esféricas. Particularmente, para el n de los números enteros no negativos: ¡

$h\_n^\; \{(1)\}\; (x)\; =\; (-)\; ^\; i\; \{n+1\}\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{IX\}\}\; \{x\}\; \backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{m=0\}\; \backslash \; frac\; \{i^m\}\; \{m!\; \}\; \backslash \; frac\; del\; ^m\; (2x)\; \{(n+m)!\}\{(nanómetro)!\}$

y el n ⁽²⁾ del _{del h es complejo-conjuga de esto (para el verdadero x ). Él sigue, por ejemplo, ese j 0 ( x ) = pecado ( x )/ x y y 0 ( x ) = - lechuga romano ()/ x del x, y así sucesivamente.}

Funciones de Riccati-Bessel

Las funciones de Riccati-Bessel diferencian solamente levemente de las funciones de Bessel Esféricas: $S\_n\; del$

l (j_n del x)=x (x)= \ raíz cuadrada {\ pi x/2} J_ {n+1/2} (x) $C\_n\; del$

l (y_n del x)=-x (x)=- \ raíz cuadrada {\ pi x/2} Y_ {n+1/2} (x) $\backslash \; zeta\_n\; del$

l (^ del h_n^ del x)=x {(2)} (x)= \ raíz cuadrada {\ pi x/2} H_ {n+1/2} {(2)} (x)=S_n (x)+iC_n (x)

Satisfacen la ecuación diferencial:

$x^2\; \backslash \; frac\; \{d^2\; y\}\; \{dx^2\}\; del\; +\; -\; n\; (n+1)\; y\; =\; 0$

Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, se presenta en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocido como dispersión de Mie después de la primera solución publicada por Mie (1908). Du (2004) para los recientes desarrollos y las referencias.

Después Debye (1909), el $de\; la\; notación\; \backslash ,\; \backslash \; chi\_n$ del psi_n se utiliza a veces en vez de $S\_n,\; C\_n$.

Formas asintóticas

Las funciones de Bessel Tienen las formas asintóticas siguiente para el &alpha no negativo;. Para las pequeñas discusiones , uno obtiene: $J\_\; del$

l \ (x) \ rightarrow \ frac {1} {\ gamma (\ alpha+1)} \ dejado (\ frac {x} {2} \ derecho) ^ \ alfa alfa $Y\_\; \backslash \; alfa\; del$

l (x) \ rightarrow \ ido \ {\ comenzar {matriz} \ frac {2} {\ pi} \ ido \ ln (x/2) + \ gamma \ derecho y \ mbox {si \} \ alpha=0 \ \ \ - \ frac {\ gamma (\ alfa)}{\ pi} \ ido (\ frac {2} {x} \ derecho) ^ \ alfa y \ mbox {si} \ alfa > 0 \ fin {} \ right. de la matriz

donde γ es el Euler-Mascheroni constante (0.5772…) y Γ denota la función gamma . Para el $x\; grande\; \backslash \; gg\; de\; las\; discusiones\; |\backslash \; alpha^2\; -\; 1/4|$, se convierten: $J\_\; del$

l \ alfa (x) \ rightarrow \ raíz cuadrada {\ frac {2} {\ pi x}} \ lechuga romana \ (2} - \ frac del x \ del frac {\ alfa \ pi} {{\ pi} {4} \ derecho) dejado $Y\_\; del$

l \ alfa (x) \ rightarrow \ raíz cuadrada {\ frac {2} {\ pi x}} \ pecado \ ido (2} - \ frac del x \ del frac {\ alfa \ pi} {{\ pi} {4} \ derecho).

(Para el α estas fórmulas =1/2 son exactas; ver las funciones de Bessel Esféricas arriba.) Las formas asintóticas para los otros tipos de función de Bessel Siguen directo de las relaciones antedichas. Por ejemplo, para el $x\; grande\; \backslash \; gg\; |\backslash \; alpha^2\; -\; 1/4|$, las funciones de Bessel Modificadas se convierten: $I\_\; del$

l \ e^x de la alfa (x) \ rightarrow \ frac {1} {\ raíz cuadrada {2 \ pi x}}, $K\_\; del$

l \ e^ de la alfa (x) \ rightarrow \ raíz cuadrada {\ frac {\ pi} {2x}} {- x}.

mientras que para las pequeñas discusiones , ellos se convierten: $I\_\; del$

l \ (x) \ rightarrow \ frac {1} {\ gamma (\ alpha+1)} \ dejado (\ frac {x} {2} \ derecho) ^ \ alfa alfa $K\_\; \backslash \; alfa\; del$

l (x) \ rightarrow \ ido \ {\ comenzar {matriz} - \ ln (x/2) - \ gamma y \ mbox {si \} \ alpha=0 \ \ \ \ frac {\ gamma (\ alfa)}{2} \ ido (\ frac {2} {x} \ derecho) ^ \ alfa y \ mbox {si} \ alfa > 0 \ fin {} \ right. de la matriz

¡Properties

Para el &alpha de la orden del número entero; = el n, n del del J se define a menudo vía una serie de Lorenzo para una función de generación: $e^\; del$

l {(x/2) (t-1/t)} = \ ^ del sum_ {n=- \ infty} \ J_n infty (x) t^n,

un acercamiento usado por el P. (Esto se puede generalizar a la orden del no-número entero por la integración del contorno u otros métodos.) Otra relación importante para las órdenes del número entero es la identidad de la Jacobi-Cólera del : $e^\; del$

l {iz \ lechuga romana \ phi} = \ ^ del sum_ {n=- \ infty} \ i^n infty J_n (z) e^ {en \ phi},

cuál se utiliza para ampliar una onda plana como suma de ondas cilíndricas, o para encontrar la serie de Fourier Del de una señal modulada tono FM .

El _{&alpha del J de las funciones;} , _{&alpha del Y ;} , _{&alpha del H ;} ⁽¹⁾, y _{&alpha del H ;} ⁽²⁾ todos satisfacen las relaciones de repetición $Z\_\; del$

l {\ alpha-1} (x) + = \ frac {2 \ alfa} {x} Z_ \ alfa (x) de Z_ {\ alpha+1} (x) $Z\_\; del$

l {\ alpha-1} (x) - Z_ {\ alpha+1} (x) = 2 \ frac {dZ_ \ alfa} {dx}

donde el Z denota el J, el Y, el H ⁽¹⁾, o el H ⁽²⁾. (Estas dos identidades se combinan a menudo, e. agregado o restado, para rendir otras relaciones.) De esta manera, por ejemplo, uno puede computar las funciones de Bessel De órdenes más altas (o de derivados más altos) dados los valores en órdenes más bajas (o bajar derivados). Particularmente, sigue eso: el $del$

l \ (\ frac {d} {dx de x} \ derecho) el ^m dejado \ salieron del x^ \ de Z_ alfa {\ alfa} (x) \ derecho = x^ {\ alfa - m} Z_ {\ alfa - m} (x) $del$

l \ (\ frac {d} {dx de x} \ derecho) ^m dejado \ ido \ frac {Z_ \ alfa (x)} {x^ \ alfa} \ derecho = (- ^m de 1) \ frac {Z_ {\ alfa + m} (x)} {x^ {\ alfa + m}}

Las funciones de Bessel modificadas de Siguen relaciones similares: $e^\; del$

l {(x/2) (t+1/t)} = \ ^ del sum_ {n=- \ infty} \ I_n infty (x) t^n,

y $e^\; del$

l {z \ lechuga romana \ theta} = I_0 (z) de + ^ 2 \ sum_ {n=1} \ I_n infty (z) \ lechuga romana (n \ theta),

La relación de repetición lee $C\_\; del$

l {\ alpha-1} (x) - = \ frac {2 \ alfa} {x} C_ \ alfa (x) de C_ {\ alpha+1} (x) $C\_\; del$

l {\ alpha-1} (x) + C_ {\ alpha+1} (x) = 2 \ frac {dC_ \ alfa} {dx}

donde _{&alpha del C ;} denota _{&alpha del I ;} o ^{&alpha del e ; π _{&alpha del K del i}} ; . Estas relaciones de repetición son útiles para los problemas de difusión discretos.

Porque la ecuación de Bessel se convierte en el hermitiano (uno mismo-adjoint) si es dividido por el x, las soluciones deben satisfacer una relación de la ortogonalidad para las condiciones de límite apropiadas. Particularmente, sigue eso: $\backslash \; int\_0^1\; x\; J\_\; \backslash \; alfa\; (u\_\; de\; x\; \{\backslash \; alfa,\; m\})\; J\_\; \backslash \; dx$

del

l de la alfa (u_ de x {\ alfa, n}) \ frac {\ delta_ {m, n}} {2} ^2

\ frac {\ delta_ {m, n}} {2} ^2,

donde α > -1, δ el m, n del _{es el delta de Kronecker, y &alpha del u ;, m es el m - cero del th del &alpha del J ; ( x ). Esta relación de ortogonalidad se puede entonces utilizar para extraer los coeficientes en la serie de Fourier-Bessel, donde una función se amplía en la base del &alpha del J de las funciones; (&alpha del u del x ;, m) para el &alpha fijo; y diverso m . (Una relación análoga para las funciones de Bessel Esféricas sigue inmediatamente.)}

Otra relación de ortogonalidad es la ecuación del encierro del :

$\backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; x\; J\_\; \backslash \; alfa\; (ux)\; J\_\; \backslash \; alfa\; (vx)\; dx\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; delta\; (u\; -\; v)$ de u

para el α > -1/2 y donde δ es la función de delta de Dirac . Esta característica se utiliza para construir una función arbitraria de una serie de funciones de Bessel Por medio Hankel transforma . Para las funciones de Bessel Esféricas la relación de ortogonalidad está:

$\backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; x^2\; j\_\; \backslash \; alfa\; j\_\; (del\; ux)\; \backslash \; alfa\; (vx)\; dx\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2u^2\}\; \backslash \; delta\; (u\; -\; v)$

para el α > 0.

Otra característica importante de las ecuaciones de Bessel, que sigue de la identidad de Abel, implica el Wronskian de las soluciones: $A\_\; \backslash \; alfa\; del$

l (x) \ - \ frac {dA_ \ alfa} {dx} del frac {dB_ \ alfa} {dx} B_ \ alfa (x) = \ frac {C_ \ alfa} {x},

donde _{&alpha del A ;} y _{&alpha del B ;} son cualquier dos soluciones de la ecuación de Bessel, y _{&alpha del C ;} es una independiente constante del x (que depende de α y en las funciones de Bessel Del detalle consideradas). Por ejemplo, si _{&alpha del A ;} = _{&alpha del J ;} y _{&alpha del B ;} = _{&alpha del Y ;} , entonces _{&alpha del C ;} es 2/π. Esto también se sostiene para las funciones de Bessel Modificadas; por ejemplo, si _{&alpha del A ;} = _{&alpha del I ;} y _{&alpha del B ;} = _{&alpha del K ;} , entonces _{&alpha del C ;} es -1.

(Hay una gran cantidad de otros integrales e identidades sabidos que no se reproducen aquí, pero que puede ser encontrado en las referencias.)

Teorema de la multiplicación

Las funciones de Bessel Obedecen un teorema de la multiplicación $del$

l \ lambda^ {- \ NU} J_ \ NU (\ lambda z) = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {1} {n!} \ ^n dejado (\ frac {(1 \ lambda^2) z} {2} \ correcto) J_ {\ nu+n} (z)

donde el $\backslash \; lambda$ y el $\backslash \; nu$ se pueden tomar como números complejos arbitrarios. Una forma similar se puede dar para el $Y\_\; \backslash \; NU\; (z)$ y el etc. ven

Diferenciación

La diferenciación de la ecuación de Bessel se puede describir como:

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{DZ\}\; J\_\; \backslash \; NU\; (z)=\; -\; J\_\; \{\backslash \; nu+1\}\; (z)\; +\; \backslash \; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; NU\; J\_\; \backslash \; NU\; (z)\}\; \{z\}$ de J_ del $\backslash \; del\; frac\; frac\; \{\backslash \; NU\; J\_\; \backslash \; NU\; (z)\}\; \{z\}$ {d} {DZ} \ NU (z)= J_ {\ nu-1} (z) Así $del\; 2\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{DZ\}\; J\_\; \backslash \; NU\; (z)=\; J\_\; \{\backslash \; nu-1\}\; (z)\; -\; J\_\; \{\backslash \; nu+1\}\; (z)$ Con el $del\; del$
\ el frac {d} {DZ} J_0 (z)= - J_ {1} (z)

Ver también

función de Bessel-Clifford
Propagador
El Hankel transforma
Serie de Fourier-Bessel

.

Zenithic

Diatribe of a Mad Housewife

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