La función de Chebyshev del es cualquiera de dos funciones relacionadas. El primer &thetasym de la función de Chebyshev del ; ( x ) o θ ( x ) se da cerca

$\backslash \; vartheta\; (x)=\; \backslash \; sum\_\; \{p\; \backslash \}\; \backslash \; registro\; p$ de le x

con la suma extendiendo sobre todo el p de los números primeros que es menos que el x . Del el $\backslash \; PSI\; de\; la\; función\; de\; Chebysheven\; segundo\; lugar(x)$ se define cerca

$\backslash \; PSI\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{\}\; de\; n\; \backslash \; del\; leq\; x\; \backslash \; lambda\; (n),$

donde está la función el $\backslash \; Lambda$ de Von Mangoldt. La función de Chebyshev es de uso frecuente en las pruebas relacionadas con los números primeros, porque es típicamente más simple trabajar con que la función de Primero-cuenta, el $\backslash \; pi\; (x)$. Ambas funciones son asintóticas a $x$, una declaración equivalente al teorema del número primero.

Ambas funciones se nombran en honor Pafnuty Lvovich Chebyshev .

Relaciones

La segunda función de Chebyshev se puede considerar para ser relacionado con la primera escribiéndolo como el $\backslash \; PSI\; (x)=\; \backslash \; sum\_\; \{p\; \backslash \; le\; x\}\; del\; k\; \backslash \; registro\; p$

donde está el número entero el k único tales que $p^k\; \backslash \; le\; x$ pero $p^\; \{k+1\}\; >x$. Una relación más directa se da cerca $\backslash \; PSI\; (^\; del\; x)=\; del$

l \ del sum_ {n=1} \ infty \ vartheta \ ido (x^ {1/n} \ derecho).

Observar que esta última suma tiene solamente un número finito de términos no-vanishing, como $\backslash \; vartheta\; del$

l \ ido (x^ {1/n} \ derecho) = 0 para el $n>\; \backslash \; log\_2\; x.$

Asintótica y límites

El Pedro Dusart probó los límites siguientes para las funciones de Chebyshev:

$\backslash \; vartheta\; ()\; \backslash \; GE\; k\; \backslash \; (\backslash \; ln\; k+\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; k-1+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; ln\; k-2.0553\}\; \{\backslash \; ln\; k\}\; \backslash \; derecho)$ dejado del p_k para el &ge de k; exp (22)

$\backslash \; vartheta\; ()\; \backslash \; le\; k\; \backslash \; (\backslash \; ln\; k+\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; k-1+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; ln\; k-2\}\; \{\backslash \; ln\; k\}\; \backslash \; derecho)$ dejado del p_k para el &ge de k; 198

$\backslash \; PSI\; ()\; \backslash \; le\; k\; del\; p\_k\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; ln\; k+\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; k-1+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; ln\; k-2\}\; \{\backslash \; ln\; k\}\; \backslash \; derecho)\; +\; 1.43\; \backslash raíz\; cuadradax$ para el &ge de k; 198

$|\backslash \; vartheta\; (x)\; -\; x|\backslash \; le0.006788\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; ln\; x\}$ para el &ge de x; 10.111

$|\backslash \; PSI\; (x)\; -\; x|\backslash \; le0.006409\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; ln\; x\}$ para el &ge de x; exp (22) - \ vartheta (x)<0.0000132 \ frac {x} {\ ln x} del $\backslash \; PSI\; (x)\; del$

l para el &ge de x; exp (30)

Junto con el $\backslash \; PSI\; (x)\; \backslash \; GE\; \backslash \; vartheta\; (x)$, éste da una buena caracterización del comportamiento de estas dos funciones.

La fórmula exacta

En 1895, el Juan Carl Friedrich von Mangoldt probó una expresión explícita para el $\backslash \; PSI\; (x)$ como suma sobre los ceros no triviales de la función de zeta de Riemann : - $\backslash \; psi\_0\; del$

l (x) = x - \ sum_ {\} \ frac {x^ de rho {\ rho}} {\ rho} \ frac {\ zeta'(0)}{\ zeta (0)} - \ frac {1} {2} \ registro (1-x^ {- 2}).

Aquí el $\backslash \; rho$ funciona con encima los ceros no triviales de la función de zeta, y

$\backslash \; psi\_0\; (x)\; =\; \backslash \; comienza\; \{casos\}\; \backslash \; PSI\; (x)\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash lambda(x)\; y\; x\; =\; p^m\; \backslash \; mbox\; \{,\; prima\; de\; p,\; m\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; PSI\; del\; número\; entero\; (x)\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\; no.\}\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

De Taylor serie para logaritmo, último período en explícito fórmula puede estar entendido como adición de $-x^\; \{\backslash \}/\{\backslash \; Omega\}\; de\; Omega$ sobre los ceros triviales de la función de zeta, $\backslash \; Omega\; =\; -2,\; -4,\; -6,\; \backslash \; cdots$, es decir.

$\backslash \; sum\_\; \{k=1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; frac\; \{x^\; \{2k\}\}\; \{2k\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; registro\; (1\; -\; x^\; \{-\; 2\}).$

Características

Un teorema debido al Erhard Schmidt indica ese, para el cualquier verdadero, positivo K, allí es valores del x tales que $\backslash \; PSI\; (x)\; del$

l - x < - K \ raíz cuadrada {x}

y $\backslash \; PSI\; (x)\; del\; -\; x\; >\; K\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}$

infinitamente a menudo. En la notación Grande-o, uno puede escribir el antedicho como $\backslash \; PSI\; (x)\; -\; x\; \backslash \; ne\; O\; del$

l \ ido (\ raíz cuadrada {x} \ derecho).

Robusto y Littlewood probar el resultado más fuerte, de que

$\backslash \; PSI\; (x)\; -\; x\; \backslash \; ne\; O\; \backslash \; ido\; (\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash \; registro\; \backslash \; registro\; \backslash \; registro\; x\; \backslash \; derecho\; de\; x).$

Relación a los primorials

La primera función de Chebyshev es el logaritmo Primorial del x, denotado x #: $del$

l \ vartheta (x)= \ sum_ {p \ le x} \ p= del registro \ = \ registro x \ #. del registro \ del prod_ {p \ le x} p

Esto prueba que el primorial x # es asintótico igual al exp ((el 1+o (1)) x ), donde " o" es la pequeña-o notación (véase la notación grande O) y junto con número primero el teorema establece el comportamiento asintótico del n # del _{del p .}

Relación a la función de primero-cuenta

La función de Chebyshev se puede relacionar con la función de primero-cuenta como sigue. Definir

$\backslash \; pi\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{\}\; \backslash \; frac\; de\; n\; \backslash \; del\; leq\; x\; \{\backslash \; lambda\; (n)\}\; \{\backslash \; registro\; n\}$

Entonces

$\backslash \; pi\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n\; \backslash \; leq\; x\}\; \backslash \; lambda\; (n)\; \backslash \; int\_n^x\; \backslash \; frac\; \{despegue\}\; \{t\; \backslash \; log^2\; t\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; registro\; x\}\; \backslash \; sum\_\; \{\}\; \backslash \; lambda\; de\; n\; \backslash \; del\; leq\; x\; (n)\; =\; \backslash \; int\_2^x\; \backslash \; frac\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; PSI\; (t)\; despegue\}\; \{t\; \backslash \; log^2\; t\}\; \{\backslash \; PSI\; (x)\}\; \{\backslash \; registro\; x\}$.

La transición del $\backslash \; Pi$ a la función de Primero-cuenta, $\backslash \; pi$, se hace con la ecuación

$\backslash \; pi\; (x)\; =\; \backslash \; pi\; (x)\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; pi\; (x^\; \{el\; 1/2\})\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\; \backslash \; pi\; (x^\; \{1/3\})\; +\; \backslash \; cdots$

Ciertamente $\backslash \; pi\; (x)\; \backslash \; leq\; x$, así que por la aproximación, esta última relación se puede modificar en la forma $\backslash \; pi\; del$

l (x) = \ pi (x) + O (\ raíz cuadrada x) .

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann indica que todos los ceros no triviales de la función de zeta tienen parte real el 1/2. En este caso, $|x^\; \{\backslash \; rho\}|=\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; x$, y se pueden demostrar eso

$\backslash \; sum\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; frac\; \{x^\; de\; rho\; \{\backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; rho\}\; =\; O\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; x\; \backslash \; log^2\; x)$.

Por el antedicho, esto implica $\backslash \; pi\; del$

l (x) = \ operatorname {li} (x) + O (\ raíz cuadrada x \ registro x).

Una buena evidencia que el derecho podría ser verdad viene del hecho propuesto por el Alain Connes y otras, de que si distinguimos respecto de la fórmula del V. Mangoldt a x hacen el x=exp (u) manipulando tenemos la fórmula que tenemos el " Formula" del rastro; para el exponencial del operador hamiltoniano que satisface

$\backslash \; zeta\; (1/2+i\; \backslash \; sombrero\; H)|n>=\; \backslash \; zeta\; (1/2+iE\_\; \{n\})\; =0$ - \ frac {e^ {u/2}} {e^ {3u} del =Z del e^ del $\backslash \; del\; sum\_\; del$

l {n} {iu E_ {n}} (u)=e^ {u/2} - e^ {- u/2} \ frac {_ de d \ de la PSI {0}} {du} - e^ {u}} =Tr (e^ {iu \ sombrero H})

Donde el " Sum" trigonométrico; se puede considerar para ser el rastro del e^ del $del\; operador\; (mecánicos\; estadísticos\; )\; \{iu\; \backslash \; sombrero\; H\}$, que es solamente verdad si $\backslash \; rho\; =1/2+iE\; (n)$.

Usar el acercamiento semiclásico el potencial de H=T+V satisface:

$\backslash \; frac\; u^\; \{de\; Z\; (u)\; \{el\; 1/2\}\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; dxe^\; del\; ^\; del\; sim\; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \backslash \; del\; pi\; \backslash \; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{i\; (ultravioleta\; (x)+\; \backslash \; pi\; /4)\}$ con Z (u) es 0 pues u tiende al oo.

Alisar la función

Se define la función que alisa como $\backslash \; psi\_1\; (x)=\; \backslash \; int\_0^x\; \backslash \; PSI\; del$

l (t) \, dt.

Puede ser demostrado eso $\backslash \; psi\_1\; del$

l (x) \ sim \ frac {x^2} {2}.

Formulación variada

La función de Chebyshev evaluada en el x = exp ( t ) reduce al mínimo el funcional ¡

$J=\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; frac\; \{f\; \backslash \; zeta\; (s+c)\}\; \{\backslash \; zeta\; (s+c)\; (s+c)\}\; \backslash ,\; ds-\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash !\; ¡\backslash !\; ¡\backslash !\; \backslash \; 0\}\; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{\{\backslash \; infty\}\; \{-\; st\}\; f\; f\; (t)\; \backslash ,\; ds\; \backslash ,\; despegue,$

tan $f\; del$

l, \, del e^ (del t)= \ PSI (e^t) {- ct}

para el c > 0.

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