Encontrar funciones de Green

Extensiones del valor propio

Si un L del operador diferenciado admite un sistema de $de\; los\; vectores\; propios\; \backslash \; Psi\_n\; (x)$ (es decir un sistema de $de\; las\; funciones\; \backslash \; Psi\_n\; (x)$ y el $\backslash \; lambda\_n$ de los escalares tales que = \ lambda_n de L \ Psi_n del $\backslash \; Psi\_n)$) que sean completos, después podemos construir una función de Green de estos vectores propios y valores propios .

Por completo, significamos que el sistema de funciones: $\backslash \; Psi\_n\; (x)$ satisface la relación siguiente de lo completo: $del$

l \ delta (x - x') = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ Psi_n (x) \ Psi_n (x').

Podemos probar el siguiente: $G\; (x,\; x\text{'})\; del$

l = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {\ Psi_n (x) \ Psi_n (x')} {\ lambda_n}.

Ahora considerar actuar en esto en cada lado con el operador L. Terminamos para arriba con la relación de lo completo, que era verdad presunto.

El estudio general de la función de Green escrita en la forma antedicha, y su relación a los espacios de función formó por los vectores propios, se conoce como teoría de Fredholm.

Función de Green para el Laplacian

Las funciones de Green para los operadores diferenciados lineares que implican el Laplacian se pueden poner fácilmente al uso usar el segundo de las identidades de Green .

Para derivar teorema de Green, comenzar con el teorema de la divergencia (si no conocido como ley del gauss): $del$

l \ int_V \ nabla \ cdot \ sombrero A \ = \ int_S \ sombrero A \ cdot d \ sombrero \ sigma. del dV

Dejar = \ - \ PSI \ nabla \ phi de la phi del $A\; \backslash \; del\; nabla\; \backslash \; PSI\; y\; substituir\; en\; los\; gauss\; la\; ley.\; Computar\; el$ \backslash \; el\; nabla\; \backslash \; el\; cdot\; \backslash \; el\; sombrero\; A$y\; aplicar\; laregla\; de\; cadenapara\; el\; operador\; del$ \backslash \; nabla$:\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; del$ \backslash \; del\; nabla\; \backslash \; del\; cdot\; \backslash \; del\; sombrero\; del$$

l A (\ phi \ nabla \ PSI - \ PSI \ nabla \ phi) = (\ nabla \ phi) \ + \ phi \ nabla^2 \ PSI del cdot (\ nabla \ PSI) - (\ nabla \ phi) \ - \ PSI \ = \ phi \ - \ PSI \ nabla^2 \ phi. de nabla^2 de nabla^2 del cdot (\ nabla \ PSI) \ de la phi \ de la PSI

Tapando esto en el teorema de la divergencia, llegamos el teorema de Green :

$\backslash \; int\_V\; (\backslash \; phi\; \backslash \; nabla^2\; \backslash \; PSI\; -\; \backslash \; PSI\; \backslash \; nabla^2\; \backslash \; phi)\; dV\; =\; \backslash \; int\_S\; (\backslash \; -\; \backslash \; PSI\; \backslash )\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; sombrero\; \backslash \; sigma.$ del nabla de la phi \ del nabla \ PSI \ de la phi

Suponer que nuestro linear L del operador diferenciado es el Laplacian, $\backslash \; nabla^2$, y que tenemos un de Green G de la función para el Laplacian. La característica de definición de la función de Green todavía se sostiene: $L\; G\; (x,\; =\; \backslash \; nabla^2\; G\; (x,\; =\; \backslash \; delta\; (x-x\text{'}).$ del

l del x') del x')

Dejar el $\backslash \; PSI\; =\; G$ en el teorema de Green . Conseguimos: $\backslash \; int\_V\; \backslash \; phi\; del$

l (x') \ delta (x - x') - G (x, x') \ nabla^2 \ phi (el x') \ d^3x = \ int_S \ salió de G (x, x') - G (x, phi del x') \ del nabla'\ (x') \ derecho \ cdot d \ sombrero \ sigma'

Usar esta expresión, podemos solucionar el $\backslash \; nabla^2\; \backslash \; phi\; de\; la\; ecuación\; de\; Laplace\; (x)=0$ o $\backslash \; nabla^2\; \backslash \; phi\; (x)=-\; \backslash \; rho\; (x)$ de la ecuación de Poisson, conforme al Neumann o a las condiciones de límite de Dirichlet . Es decir podemos solucionar para el $\backslash \; la\; phi\; (x)$ por todas partes dentro de un volumen donde (1) el valor del $\backslash \; de\; la\; phi\; (x)$ se especifica en la superficie de limitación del volumen (condiciones de límite de Dirichlet), o (2) el derivado normal del $\backslash \; de\; la\; phi\; (x)$ se especifica en la superficie de limitación (condiciones de límite de Neumann).

Suponer que estamos interesados en solucionar para el $\backslash \; la\; phi\; (x)$ dentro de la región. Entonces el $integral\; \backslash \; internacional\; \backslash \; limits\_V\; del\; \{\backslash \; phi\; (x\text{'})\; \backslash \; delta\; (x-x\text{'})\; \backslash \; d^3x\text{'}\}$ reduce simplemente al $\backslash \; a\; la\; phi\; (x)$ debido a la característica de definición de la función de delta de Dirac y nosotros tienen: $\backslash \; phi\; del$

l (x) = \ int_V G (x, x') \ rho (x') \ d^3x + \ int_S \ G dejado (x, x') - G (x, phi del x') \ del nabla'\ (x') \ derecho \ cdot d \ sombrero \ sigma'.

Esta forma expresa la característica bien conocida de las funciones armónicas que si el derivado del valor o del normal se sabe en una superficie de limitación, después el valor de la función dentro del volumen se saben por todas partes.

En la electrostática, interpretamos el $\backslash \; la\; phi\; (x)$ como el potencial eléctrico, $\backslash \; rho\; (x)$ como densidad de la carga eléctrica, y el $\backslash \; el\; nabla\; \backslash \; la\; phi\; derivados\; normales\; (x\text{'})\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; sombrero\; \backslash \; sigma\text{'}$ como el componente normal del campo eléctrico.

Si estamos interesados en solucionar un problema de valor de límite de Dirichlet, elegimos nuestra función de Green tales que $G\; (x,\; x\text{'})$ desaparece cuando x o el x está en la superficie de limitación; inversamente, si estamos interesados en solucionar un problema de valor de límite de Neumann, elegimos nuestra función de Green tales que su derivado normal desaparece en la superficie de limitación. Así nos dejan con solamente uno de los dos términos en el integral de la superficie.

Sin condiciones de límite, la función de Green para el Laplacian (función de Green para la ecuación tres-variable de Laplace) está: $G\; del$

l (\ sombrero x, \ x') del sombrero = \

del frac {1} Ejemplo

Dado el problema el $del$

l \ comienza {matriz} Lu \ el extremo {matriz} = u ''+ u = f (x) el $Du\; =\; u\; (0)\; =\; 0,\; \backslash \; patio\; \backslash \; patio\; u\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; =\; 0$ del
de

Encontrar la función de Green.

Primer paso del : De demand-2 vemos eso $g\; (x,\; s)\; del$

l = c_1 (s) \ cdot \ lechuga romana x + c_2 (s) \ cdot \ pecado x. \,

Para el x < s y demand-3 vemos eso $g\; (0,\; s)\; del$

l = c_1 (s) \ cdot 1 + c_2 (s) \, del cdot 0 = 0 \ patio c_1 (s) = 0.

La ecuación del $g\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\},\; s)\; =\; 0$ se salta porque el $x\; \backslash \; ne\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}$ si y $x\; \backslash \; ne\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}.$

Para el x > s y demand-3 vemos eso $g\; del$

l \ ido (\ frac {\ pi} {2}, s \ derecho) = c_1 (s) \ cdot 0 + c_2 (s) \, del cdot 1 = 0 \ patio c_2 (s) = 0.

La ecuación del $\backslash \; delpatiog\; (0,\; s)\; =\; 0$ se salta por razones similares.

Resumir los resultados: el $g\; (x,\; s)\; del$

l = \ se fue \ {\ comenzar {matriz}, \; de a \ del pecado x\; x < de s \ \, \; de b \ de lechuga romana x\; s < x \ extremo {matriz} \ derecho.

Paso del segundo: Ahora determinaremos el un ( s ) y el b ( s ).

Usar demand-1 conseguimos $a\; \backslash \; pecado\; del$

l s = b \ lechuga romana S. \,

Usar demand-4 conseguimos $b\; \backslash \; cdot\; del$

l - \ pecado s - = \ frac {1} {1} = 1 \, de a \ del cdot \ de lechuga romana s.

Usar la regla de Cramer o por conjetura inteligente solucionar para el un ( s ) y el b ( s ) y obtener eso $del$

l a = - \ lechuga romana s \ patio; \ patio b = - \ pecado S.

Comprobar que esto satisface automáticamente demand-5.

Nuestra función de Green para este problema está tan: el $g\; (x,\; s)\; del$

l = \ se fue \ {\ comenzar {matriz} -1 \ cdot \ lechuga romana s \, \; del cdot \ del pecado x\; x < s, \ \ -1 \ cdot \ pecado s \, \; del cdot \ de lechuga romana x\; s < X. \ extremo {matriz} \ derecho.

Otros ejemplos

jó el múltiple ser el R y L sea el d /el dx del . Entonces, el H (&minus de la función de paso de Heaviside del x ; el x ₀) es una función de Green de L en el x ₀.
Dejar el múltiple ser el cuarto-plano {(el x, el y ): x, &ge del y ; 0} y L sea el Laplacian . También, asumir que una condición de límite de Dirichlet está impuesta en el x = 0 y una condición de límite de Neumann está impuesta en el y = 0. Entonces la función de Green está