¡El $clásico\; de\; la\; función\; de\; Möbius\; del\; \backslash !\; \backslash ,\; \backslash \; MU\; (n)$ es una función multiplicativa importante en la teoría de número y la combinatoria . Se nombra en honor alemán agosto Fernando Möbius del matemático, que primero lo introdujo en 1831. Esta función clásica de Möbius es un caso especial de un objeto más general en combinatoria.

Definición

μ ( n ) se define para todo el terminantemente positivo n de los números naturales y tiene sus valores en el {,} dependiendo de la facturización n en los factores primeros que se define como sigue:
&mu del

; ( n ) = 1 si el n es un número entero positivo cuadrado-libre con un número incluso de la prima distinta descompone en factores.
μ ( n ) = − 1 si el n es un número entero positivo cuadrado-libre con un número impar de factores primeros distintos.
μ ( n ) = 0 si el n no es cuadrado-libre.

Esto se toma para implicar ese μ (1) = 1. El valor del μ (0) generalmente se va indefinido.

Los 50 primeros valores de la función se trazan abajo:

Características y usos

La función de Möbius es el multiplicativo (es decir μ ( ab ) = μ ( un )   μ ( b ) siempre que el un y el b sean el coprimero). La suma sobre todos los divisores positivos del n de la función de Möbius es cero excepto cuando el n = 1: $del$

l \ sum_ {d | } \ MU de n (d) = \ dejado \ {\ comenzar {matriz} \ n=1 \ de 1& \ del mbox {si} 0& \ mbox {si} n>1 \ fin {} \ right. de la matriz

(Consecuencia de A del hecho de que cada sistema finito no vacío tenga apenas tantos subconjuntos con un número par de elementos pues tiene subconjuntos con un número impar de elementos.) Esto lleva a la fórmula importante de la inversión de Möbius y es la razón principal por la que μ es de importancia en la teoría de funciones multiplicativas y aritméticas.

Otros usos del μ ( n ) en combinatoria están conectados con el uso del teorema del Polya en grupos combinatorios y enumeraciones combinatorias.

En gran número la teoría otra función aritmética estrechamente vinculada a la función de Möbius es la función de Mertens, definida cerca $M\; del$

l (n) = \ ^n \ MU (k) del sum_ {k = 1}

para cada n del número natural. Esta función se liga de cerca a las posiciones de los ceros de la función de zeta de Riemann . Ver el artículo sobre el Mertens conjeturar para más información sobre la conexión entre el M ( n ) y la hipótesis de Riemann.

Si el n es un número de Sphenic (es decir un producto de tres distintos prepara), entonces claramente μ ( n ) = − 1.

La serie de Lamberto para la función de Möbius es $del$

l \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac q^n} {\ MU (n) {1-q^n} = q.

μ ( n ) secciones

μ ( n ) = 0 si y solamente si el n de es divisible por un cuadrado. Los primeros números con esta característica son:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63 del ,…

Si el n es primero, entonces μ ( n ) = − 1, sino el inverso no es verdades. El primer no n de la prima para el cual μ ( n ) = − 1 es 30  =  2·3·5. El primer tales números con 3 factores primeros distintos (los números de Sphenic son:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222 del ,…

y el primeros tales números con 5 factores primeros distintos son:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690 del ,…

Generalización

En la combinatoria, cada localmente finito pidió parcialmente determinado (poset) se asigna una álgebra de la incidencia. Un miembro distinguido de esta álgebra es ese " de los poset; Function" de Möbius;. La función clásica de Möbius trató en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del sistema de todos los números enteros positivos pedidos parcialmente por la divisibilidad . Ver el artículo sobre las álgebra de la incidencia para la definición exacta y varios ejemplos de estas funciones de general Möbius.

La física

La función de Möbius también se presenta en el gas de Primon o el modelo libre del gas de Riemann del Supersymmetry . En esta teoría, las partículas fundamentales o el " primons" tener el $\backslash \; registro\; p$ de las energías. Bajo segundo-cuantificación, se consideran las excitaciones del multiparticle; éstos son dados por el $\backslash \; el\; registro\; n$ para cualquier n del número natural. Esto sigue del hecho de que la facturización de los números naturales en prepara es única.

En el gas libre de Riemann, cualquier número natural puede ocurrir, si los primons se toman como bosones. Si se toman como fermios, después el principio de exclusión de Pauli excluye cuadrados. El del operador (− 1) ^{'' F ''} que distingue los fermios y los bosones no es entonces ninguno con excepción del $\backslash \; MU\; (n)$ de la función de Möbius.

El gas libre de Riemann tiene un número de otras conexiones interesantes a la teoría de número, incluyendo el hecho de que la función de partición es la función de zeta de Riemann . Esta idea es la base prueba frustrada de Connes Alain de 'de la hipótesis de Riemann.

Ver también

Número de Sphenic

.

Zenithic

Brian Jones (aeronaut)

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