En la teoría de número, la función de Mertens del está

$M\; (n)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{1\; \backslash \}\; \backslash \; MU\; (k)$ de le k \ de le n

donde μ (k) es la función de Möbius. La función se nombra en honor Francisco Mertens .

Porque la función de Möbius tiene solamente los valores de vuelta -1, 0 y +1, es obvio que la función de Mertens se mueve lentamente y que no hay k tales que | M ( k )| > k . La conjetura de Mertens iba incluso más futura, indicando que no habría k donde el valor absoluto de la función de Mertens excede la raíz cuadrada del k . La conjetura de Mertens era disproven en el 1985 . Sin embargo, la hipótesis de Riemann es equivalente a una conjetura más débil en el crecimiento del M ( k ), a saber $M\; (k)\; =\; o\; (k^\; \{\backslash \; frac12\; +\; \backslash \; épsilon\})$. Puesto que los elevados valores para M crecen por lo menos tan rápidos como la raíz cuadrada de k, éste pone un límite algo apretado en su índice de crecimiento. Aquí, $o$ refiere a la Pequeña-o notación .

Representaciones integrales

Usar el producto de Euler uno encuentra eso

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; zetas\}\; =\; \backslash \; prod\_\; \{p\}\; (1-p^\; \{-\; s\})\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \{\backslash \; n^\; infty\}\; \backslash \; MU\; (n)\; \{-\; s\}$

donde está el $\backslash \; zeta$ se asume el control la función de zeta de Riemann y el producto prepara. Entonces, usar esta serie de Dirichlet con la fórmula de Perron, uno obtiene:

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; oint\_\; \{C\}\; ds\; de\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; =M\; del\; frac\; \{x^\; \{s\}\}\; \{s\; \backslash \; zeta\}\; (x)$

donde " C" es una curva cerrada que cerca todas las raíces del $\backslash \; zeta.$

Inversamente, uno hace que el Mellin transforme

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; zetas\}\; =\; s\; \backslash \; int\_1^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{M\; (x)\}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x^\; \{s+1\}\; dx$

cuál se sostiene para $Re>1$.

Una relación curiosa dada por Mertens mismo que implica la función de Chebyshev es:

$\backslash \; PSI\; (x)\; =\; -\; registro\; de\; M\; (\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\})\; (2)\; -\; registro\; del\; registro\; de\; M\; (\backslash \; frac\; \{x\}\; \{3\})\; (3)\; -\; M\; (\backslash \; frac\; \{x\}\; \{4\})\; (4)+\; .$

Una buena evaluación, por lo menos asintótico, sería obtener, por el método de la pendiente más escarpada, una desigualdad: $del$

l \ oint_ {C}

si se asume que no hay raíces no triviales múltiples del $\backslash \; de\; la\; zeta\; (\backslash \; rho)$ le tener el " exigir el formula" por teorema del residuo:

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; ds\; \backslash \; frac\; \{x^s\}\; \{s\; \backslash \; zeta\; (s)\}\; =\; \backslash \; suma\; \_\; \{\backslash \}\; \backslash \; frac\; \{x^\; de\; rho\; \{\backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; zeta\; \text{'}(\backslash \; rho)\}¡-\; 2+\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{(-\; ^\; del\; ^\; de\; 1)\; \{n-1\}\; (2\; \backslash \; pi)\; \{2n\}\}\; \{(2n)!\; x^\; de\; n\; \backslash \; de\; la\; zeta\; (2n+1)\; \{2n\}\}$

Cálculo

La función de Mertens se ha computado para una gama cada vez mayor del n .