En las matemáticas, la función de Volterra del, nombrada para el Vito Volterra, es un con valores reales V ( x ) de la función definido en la línea verdadera R del con la combinación curiosa siguiente de características:
el V ( x ) del

es el diferenciable por todas partes
El &prime derivado del V ; ( x ) está limitado por todas partes
El derivado no es el Riemann-integrable.

Definición y construcción

La función es definida haciendo uso del Smith-Volterra-Chantre determinado y del " copies" de la función definida por el f ( x ) = x ²sin (1 x ) para el ≠ 0 del x y f ( x ) = 0 para el x = 0. La construcción del V ( x ) comienza determinando el valor más grande del x en el intervalo 1/8 para el cual &prime del f ; ( x ) = 0. Una vez que este valor (decir el x ₀) es resuelto, ampliar la función a la derecha con un valor constante del f ( x ₀) hasta e incluyendo el punto 1/8. Una vez que se hace esto, una imagen de espejo de la función puede ser el comenzar creado en el punto 1/4 y el extender hacia abajo hacia 0. Esta función, que llamamos el f ₁ ( x ), será definida para ser 0 exteriores del intervalo 1/4. Entonces traducimos esta función al intervalo 5/8 de modo que la función sea diferente a cero solamente en el intervalo medio según lo quitado por el SVC . Para construir el f ₂ ( x ), &prime del f ; ( x ) entonces se considera en el intervalo más pequeño 1/16 y dos copias traducidas de la función resultante se agregan al f ₁ ( x ). La función de Volterra entonces resulta repitiendo este procedimiento para cada intervalo quitado en la construcción SVC .

Otras características

La función de Volterra es diferenciable por todas partes apenas pues es el f ( x ) (definido arriba). El &prime derivado del V ; ( x ) es discontinuo en las puntos finales de cada intervalo quitado en la construcción SVC, pero la función es diferenciable en estos puntos con el valor 0. Además, en cualquier vecindad de tal punto hay puntos donde &prime del V ; ( x ) toma a valores 1 y − 1. Sigue que no es posible, para cada ε > 0, encontrar una partición de la línea verdadera tales que | &prime del V ; ( x ₂) − &prime del V ; ( x ₁)| < ε en cada intervalo '' x '' ₂ de la partición. Por lo tanto, el &prime derivado del V ; ( x ) no es Riemann integrable.

Una función con valores reales es Riemann integrable si y solamente si se limita y almost-everywhere continuo ( es decir por todas partes excepto un sistema de la medida 0). Desde &prime del V ; ( x ) se limita, él sigue que debe ser discontinuo en un sistema de la medida positiva, tan particularmente el derivado del V ( x ) es discontinuo en uncountably muchos puntos.

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