La función de corriente del se define para los flujos de dos dimensiones de varias clases. La función de corriente se puede utilizar para trazar las líneas de corriente, que son perpendiculares a las líneas equipotenciales . En la mayoría de los casos, la función de corriente es la parte imaginaria del potencial complejo, mientras que la función potencial es la partición verdadera.

En vista del caso particular de la dinámica flúida, la diferencia entre los valores de la función de corriente en cualquier dos puntos da el flujo volumétrico (o el flujo ) a través de una línea que conecta los dos puntos.

Observar que puesto que las líneas aerodinámicas son la tangente al flujo, el valor de la función de corriente debe ser igual a lo largo de una línea aerodinámica. Si hubiera un flujo a través de una línea, no sería necesario tangente al flujo, por lo tanto no sería una línea aerodinámica.

La utilidad de la función de corriente miente en el hecho de que los componentes de la velocidad en el x - y el y - las direcciones en un punto dado son dados por los derivados parciales de la función de corriente en ese punto. Una función de corriente se puede definir para cualquier flujo de las dimensiones mayor de dos, no obstante el caso de dos dimensiones es generalmente el más fácil de visualizar y de derivar.

Tomado junto con el potencial de la velocidad, la función de corriente se puede utilizar para derivar un potencial complejo para un flujo flúido.

Función de corriente de dos dimensiones

El $\backslash \; psi$ de la función de corriente para un flujo de dos dimensiones se define tales que la velocidad de flujo se puede expresar como:

$\backslash \; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; épocas\; \backslash \; boldsymbol\; del\; mathbf\; \{u\}\; \{\backslash \; PSI\}$

Donde $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; PSI\}\; =\; (0.0,\; \backslash \; PSI)$ si el $del\; vector\; de\; la\; velocidad\; \backslash \; el\; mathbf\; \{u\}\; =\; (u,\; v,\; 0)$.

En el sistema coordinado de cartesiano esto es equivalente al $del,\; \backslash \; qquad\; del\; u=\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; -\; \backslash \; frac\; del\; v=\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}$ Donde están las velocidades $u$ y $v$ en el $\backslash \; el\; sombrero\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}$ y las direcciones del $\backslash \; del\; sombrero\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}$, respectivamente.

Esta formulación de la función de corriente satisface la ecuación de dos dimensiones de la continuidad:

$\backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; del\; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; =\; 0$

Derivación de la función de corriente de dos dimensiones

Considerar dos puntos de A y B en flujo plano de dos dimensiones. Si la distancia entre estos dos puntos es muy pequeña: el δn, y una corriente de los pasos del flujo entre estos puntos con una velocidad media, perpendicular de q a la línea AB, el flujo de volumen por el grueso de la unidad, δΨ se da cerca: $del\; \backslash \; delta\; \backslash \; PSI\; =\; q\; \backslash \; delta\; n\; \backslash ,$

Como el → 0 del δn, cambiando esta expresión, nosotros consigue:

$q\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash ,\; de\; n$

Ahora considerar el flujo plano de dos dimensiones referente a un sistema coordinado. Suponer las miradas de un observador a lo largo de un eje arbitrario en la dirección del aumento y ve que el flujo que cruzaba el eje de la derecha del dejó . Una convención de la muestra se adopta tales que la velocidad del flujo es el positivo. Sin embargo, esta convención de la muestra no es universal y no se debe tomar así con la precaución. Uces par de ejemplos deben aclarar este punto:

Flujo en coordenadas cartesianos

Observando el flujo en un cuadrado elemental en un sistema cartesiano del coordenada x-y, tenemos: $del\; \backslash \; delta\; \backslash \; PSI\; =\; -\; u\; \backslash \; delta\; y\; \backslash ,$ del$$
de \ delta \ PSI = v \ delta x \,

donde está u la velocidad paralela y en a la dirección del x-axis, y de v es la velocidad paralela y en a la dirección del y-axis. En este caso, tenemos una velocidad negativa - de u puesto que el flujo cruza el y-axis de izquierda a derecha. Así como → 0 del δn y cambiando, tenemos:

$u\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; \backslash ,$
$v\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash ,\; de\; x$

Flujo en coordenadas polares

Observando el flujo en un cuadrado elemental en un sistema del coordenada polar del r-θ, tenemos:

$\backslash \; delta\; \backslash \; PSI\; =\; -\; v\_r\; (r\; \backslash )\; \backslash ,\; del\; delta\; \backslash \; de\; la\; theta$ del$$
de \ delta \ PSI = v_ \ theta \ delta r \,

donde está v_r la velocidad paralela y en a la dirección del r-eje, y v_θ es la velocidad paralela y en a la dirección del θ-eje. En este caso, tenemos una velocidad negativa - de v_r puesto que el flujo cruza el θ-eje de izquierda a derecha. Así como → 0 del δn y cambiando, tenemos:

$v\_r\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; theta\}\; \backslash ,$
$v\_\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash ,\; de\; r$

Continuidad: La derivación

Considerar el flujo plano de dos dimensiones dentro de un sistema coordinado de cartesiano. La continuidad indica que si consideramos flujo en un cuadrado elemental, el flujo en ese pequeño elemento debe igualar el flujo de ese elemento.

El flujo total en el elemento se da cerca: $\backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; del\; \{adentro\}\; =\; u\; \backslash \; delta\; y\; +\; v\; \backslash \; delta\; x\; \backslash ,$

El flujo total del elemento se da cerca:

$\backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; \{hacia\; fuera\}\; =\; \backslash \; ido\; (u\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; delta\; x\; \backslash \; derecho\; de\; x)\; \backslash \; delta\; y\; +\; \backslash \; ido\; (v\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; delta\; y\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; delta\; x\; \backslash ,\; de\; y$

Así tenemos:

$\backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; \{adentro\}\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; \{hacia\; fuera\}\; \backslash ,$
$u\; \backslash \; delta\; y\; +\; v\; \backslash \; delta\; x\; \backslash \; =\; \backslash \; ido\; (u\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; delta\; x\; \backslash \; derecho\; de\; x)\; \backslash \; delta\; y\; +\; \backslash \; ido\; (v\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; delta\; y\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; delta\; x\; \backslash ,\; de\; y$

y simplificando a: del
del $\backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; del$
+ \ frac {\ v parcial} {\ x parcial} {\ y parcial} = 0

(NOTA: Mientras que hemos no hecho caso de la convención anterior de la muestra para Ψ, las matemáticas deben resolverse muy bien pero esta prueba es quizás levemente más ordenada y más fácil de seguir). Substituyendo las expresiones de la función de corriente en esta ecuación, tenemos: - \ frac del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {\ partial^2 \ PSI} {\ x parcial \ y parcial} {\ partial^2 \ PSI} {\ y parcial \ x parcial} = 0

Vorticidad

En coordenadas cartesianos, la función de corriente se puede encontrar de la vorticidad usar la ecuación de Poisson : $\backslash \; vec\; \backslash \; nabla\; ^2\; \backslash \; PSI\; del\; =\; -\; \backslash \; omega$

donde $\backslash \; vec\; \backslash \; Omega\; =\; (0,\; 0,\; \backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; vec\; \backslash \; nabla\; \backslash \; épocas\; \backslash \; vec\; v.$ de y del $\backslash \; del\; vec\; \backslash \; deOmega$

Ver también

Flujo potencial

.

Zenithic

Lyceum Theatre

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