En la teoría de las probabilidades, la función de distribución acumulativa del (CDF), también llamada la función de distribución de probabilidad del o apenas la función de distribución del, describe totalmente la distribución de probabilidad de un con valores reales X de la variable al azar . Para cada x del número verdadero, el CDF de X se da cerca $x\; del$

l \ a F_X (x) = \ operatorname {P} (X \ leq x),

donde el lado derecho representa la probabilidad que el X de la variable al azar adquiere un valor a menos que o igual al x . La probabilidad que el X miente en el intervalo ( un,   el ] del b es por lo tanto   del F ( b ); −   F ( un ) si un   de ; <  b . Es convencional utilizar un capital F para una función de distribución acumulativa, en contraste con el minúsculo f usado para las funciones de densidad de probabilidad y las funciones de masa de probabilidad

El CDF de X se puede definir en términos de f de la función de densidad de probabilidad como sigue: $F\; del$

l (x) = \ ^x f del int_ {- \ infty} (t) \, dt

Observar eso en la definición arriba, el " menos o equal" firmar, el “≤” es una convención, pero es importante y universal usado. El uso apropiado de las tablas del binomio y del Poisson las distribuciones dependen de esta convención. Por otra parte, las fórmulas importantes como la fórmula de la inversión de la recaudación para la función característica también confían en el " menos o equal" formulación.

Características

Cada F de la función de distribución acumulativa es (no no necesario terminantemente) el cada vez mayor monótono y el Derecho-continuo. Además, tenemos el $\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; -\; \backslash \; infty\}\; F\; (x)=0,\; \backslash patio\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; a\; +\; \backslash \; infty\}\; F\; (x)=1.$ del

Cada función con estas cuatro características es un cdf. Las características implican que todo el CDFs es funciones de Càdlàg .

Si el X es una variable al azar discreta, después logra el x ₁, x ₂ de los valores,… con el p de la probabilidad _i = P ( x _i), y el cdf del X será discontinuo en el i y medio constante del _{del x de los puntos: $F\; del$}

l (x) = \ operatorname {P} (= \ sum_ {x_i \ leq x} \ = \ sum_ {x_i \ leq x} de X \ del leq x) del operatorname {P} (X = x_i) p (x_i)

Si el F de CDF del X es el continuo, después el X es una variable al azar continua ; si además el F es el absolutamente continuo, después existe un Lebesgue-integrable f ( x ) de la función tales que $F\; del$

l (b) - F (a) = \ operatorname {P} (= \ int_a^b f de a \ del leq X \ leq b) (x) \, dx

para todo el de los números verdaderos un y el b . (El primer de las dos igualdades exhibidas arriba no estaría correcto en general si no habíamos dicho que la distribución es continua. La continuidad de la distribución implica ese P ( X = un ) = P ( X = el b ) = 0, tan la diferencia entre el " <" y " ≤" deja de ser importante en este contexto.) El f de la función es igual al derivado casi por todas partes del F, y se llama la función de densidad de probabilidad de la distribución del X .

Probabilidad del punto

El " probability" del punto; que el X es exactamente el b se puede encontrar como $del$

l \ operatorname {P} (X=b) = F (b) - \ lim_ {x \ al b^ {-}} F (x)

Pruebas de Kolmogorov-Smirnov y de Kuiper

La prueba de Kolmogorov-Smirnov se basa en funciones de distribución acumulativa y se puede utilizar para probar para considerar si dos distribuciones empíricas son diferentes o si una distribución empírica es diferente de una distribución ideal. La prueba del Kuiper estrechamente vinculado ( kœypəʁ ) es útil si el dominio de la distribución es cíclico como en el día de la semana. Por ejemplo puede ser que utilicemos la prueba de Kuiper para ver si el número de tornados varía durante el año o si las ventas de un producto varían por el día de la semana o el día del mes.

¡Function< complementario de la distribución acumulativa! -- Esta sección se liga de la ley de energía -->

A veces, es útil estudiar la pregunta opuesta y preguntar cuantas veces la variable al azar es sobre al nivel particular. Esto se llama la función de distribución acumulativa complementaria del (ccdf ), definida como $F\_c\; del$

l (x) = \ operatorname {P} (X > x) = 1 - F (x).

En análisis de la supervivencia, $F\_c\; (x)$ se llama la función de la supervivencia del y el $denotado\; S\; (x)$.

Ejemplos

Como ejemplo, suponer que el X está distribuido uniformemente en el intervalo de unidad. Entonces el CDF de X se da cerca $F\; del$

l (x) = \ comenzar {los casos} 0 y: \ x < 0 \ \ x y: \ 0 \ le x \ le 1 \ \ 1 y: \ 1 < x \ extremo {casos}

Tomar otro ejemplo, suponer las tomas del X solamente los valores discretos 0 y 1, con probabilidad igual. Entonces el CDF de X se da cerca $F\; del$

l (x) = \ comenzar {los casos} 0 y: \ x < 0 \ \ el 1/2 y: \ 0 \ le x < 1 \ \ 1 y: \ 1 \ le x \ extremo {casos}

Inverso

Si el F del cdf terminantemente está aumentando y entonces $continuo\; F^\; \{-\; 1\}\; (y),\; y\; \backslash \; en$ es el $único\; x$ del número verdadero tales que el $F\; (x)\; =\; y$.

Desafortunadamente, la distribución, tiene generalmente lo contrario. Uno puede definir, para el $y\; \backslash \; en$, el $del\; F^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \backslash \; inf\_\; \{r\; \backslash \; en\; \backslash \}\; \backslash \; \{del\; mathbb\; \{R\}\; F\; (r)\; >\; y\; \backslash \}$.

Ejemplo 1: El punto medio es $F^\; \{-\; 1\}\; (0.$

Ejemplo 2: Poner el $\backslash \; tau\; =\; F^\; \{-\; 1\}\; (0.\; Entonces\; llamamos\; el$ \backslash \; tau$el\; 95.$

Lo contrario del cdf se llama la función del cuantil.

Ver también

Estadísticas descriptivas
Distribución de probabilidad
Función de distribución empírica
Distribuciones de la frecuencia acumulativa
Diagrama Q-Q
Arista de arco carpenal
Función del cuantil

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Zenithic

Castroville, California

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