En las matemáticas una función de generación del es una serie de energía formal cuyos coeficientes codifican la información sobre un de la secuencia un n del _{de que sea puesto en un índice por los números naturales}

Hay varios tipos de funciones de generación, incluyendo las funciones de generación ordinarias del, las funciones de generación exponenciales del, la serie de Lamberto del, la serie de Bell del, y la serie de Dirichlet del ; las definiciones y los ejemplos se dan abajo. Cada secuencia tiene una función de generación de cada tipo. La función de generación particular que es la más útil de un contexto dado dependerá de la naturaleza de la secuencia y de los detalles del problema que es tratado.

Las funciones de generación se expresan a menudo en la forma cerrada como funciones de un formal x de la discusión. Una función de generación se evalúa a veces en un valor específico del x . Sin embargo, debe ser recordado que las funciones de generación son series de energía formales, y no convergerán necesario para todos los valores del x .

Es importante observar eso las funciones de generación es funciones del no en el sentido formal de un trazado de un dominio a un codomain; el nombre proviene simplemente el estudio histórico de las estructuras.

Definiciones

la función de generación del A del

l es una cuerda para tender la ropa en la cual colgamos para arriba una secuencia de números para la exhibición. &mdash del
de ; Herberto Wilf, Generatingfunctionology (1994)

Función de generación ordinaria

La función de generación ordinaria del de un de la secuencia un n del _{de es $G\; del$}

l (a_n; ^ del x)= \ del sum_ {n=0} {\ infty} a_nx^n.

Cuando la función de generación del del término se utiliza sin la calificación, se toma generalmente para significar una función de generación ordinaria.

Si el un n del _{de es la función de masa de probabilidad de una variable al azar discreta, después su función de generación ordinaria se llama una función de Probabilidad-generación .}

La función de generación ordinaria se puede generalizar a las secuencias con índices múltiples. Por ejemplo, la función de generación ordinaria de un de la secuencia un m, n del _{de (donde están números el n y el m naturales) es $G\; del$}

l (a_ {m, n}; x, a_ del ^ del y)= \ del sum_ {m, n=0} {\ infty} {m, n} x^my^n.

Función de generación exponencial

La función de generación exponencial del de un de la secuencia un n del _{de es}

$EG.(a\_n;\; a\_n\; del\; ^\; del\; \_\; del\; x)=\; \backslash \; de\; lasuma\{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n!\}.$

Función de generación de Poisson

La función de generación de Poisson del de un de la secuencia un n del _{de es $PG\; del$}

l (a_n; x)= \ suma _ {n=0} ^ {\ infty} a_n. ^ {-} \ frac {x^n} {n de x!}.

Serie de Lamberto

La serie de Lamberto de un de la secuencia un n del _{de es $LG\; del$}

l (a_n; a_n del ^ del _ del x)= \ de la suma {n=1} {\ infty} \ frac {x^n} {1-x^n}.

Observar que en una serie de Lamberto que el n del índice comienza en 1, no en 0.

Serie de Bell

La serie de Bell de un f ( n ) de la función aritmética y de un primero p es $f\_p\; del$

l (^ del x)= \ del sum_ {n=0} \ f infty (p^n) x^n.

Funciones de generación de la serie de Dirichlet

Las series de Dirichlet se clasifican a menudo como funciones de generación, aunque no sean terminantemente series de energía formales. La función de generación de la serie de Dirichlet del de un de la secuencia un n del _{de es $DG\; del$}

l (a_n; s) = \ suma _ {n=1} ^ {\} infty \ frac {a_n} {n^s}.

La función de generación de la serie de Dirichlet es especialmente útil cuando el un n del _{de es una función multiplicativa, cuando tiene una expresión del producto de Euler en términos de serie de Bell de la función $DG\; del$}

l (a_n; s) = \ prod_ {p} f_p () \, del p^ {- s}.

Si el un n del _{de es un carácter de Dirichlet entonces su función de generación de la serie de Dirichlet se llama una serie L de Dirichlet.}

Funciones de generación polinómicas de la secuencia

La idea de las funciones de generación se puede ampliar a las secuencias de otros objetos. Así, por ejemplo, las secuencias polinómicas del tipo binomial se generan cerca $e^\; del$

l {xf (t)} = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty {p_n (x) \ sobre n!}t^n

donde está el n ( x ) del _{del p una secuencia de los polinomios y del f ( t ) es una función de un seguro forma. Las secuencias de Sheffer se generan de una manera similar. Ver los polinomios generalizados principal de Appell del artículo para más información.}

Ejemplos

considera también: Ejemplos las funciones de generación

Algunos breves ejemplos siguen.

Las funciones de generación para la secuencia de de los números cuadrados un n del _de = el n ² son:

Función de generación ordinaria $G\; del\; de$

(n^2; ^ del x)= \ del sum_ {n=0} {\ infty} n^2x^n= \ frac {x (x+1)} {(1-x) ^3}

Función de generación exponencial

$EG.(n^2;\; x)=\; \backslash \; suma\; \_\; \{n=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{n^2x^n\}\; \{n!\}=x\; (x+1)\; e^x$

Serie de Bell $f\_p\; del\; de$

(^ del x)= \ del sum_ {n=0} \ x^n= del p^ {2n} \ frac infty {1} {1-p^2x}

Función de generación de la serie de Dirichlet $DG\; del\; de$

(n^2; s) = \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ = \ zeta (s-2) del frac {n^2} {n^s}

Usos

Las funciones de generación se utilizan a
Relaciones de repetición del hallazgo del

para el &ndash de las secuencias; la forma de una función de generación puede sugerir una fórmula de repetición.
Relaciones del hallazgo entre el &ndash de las secuencias; si las funciones de generación de dos secuencias tienen una forma similar, después las secuencias ellos mismos son probablemente relacionadas.
Explorar el comportamiento asintótico de secuencias.
Probar las identidades que implican secuencias.
Solucionar los problemas de la enumeración en la combinatoria .
Evaluar las sumas infinitas.

Otras funciones de generación

Los ejemplos de las secuencias del polinomio generadas por funciones de generación más complejas incluyen:
polinomios de la diferencia
Polinomios generalizados de Appell
polinomios de la Q-diferencia

Ver también

función de Momento-generación
función de Probabilidad-generación
Teorema de la reciprocidad de Stanley

.

Zenithic

Exponential factorial

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