En las matemáticas, se define la función de generación logarítmica del ímpetu del (equivalente a la función de generación de cumulante ) (GEN funcional del logmoment del ) como sigue: $del$

l \ mu_ {Y} (s)= \ ln E (e^ {s \ cdot Y})

donde está una variable el Y al azar .

Así, si el Y es una variable al azar discreta, entonces $del$

l \ mu_ {Y} (s): = \ ln \ P sum_y (y) \ e^ del cdot {s \ cdot y},

especialmente para el caso binario (distribución de Bernoulli ) $\backslash \; mu\_Y=\; \backslash \; ln\; del$

l \ ido \ {e^s de p \ del cdot + (1-p) \ derecho \}

y si el Y es una variable al azar con la distribución continua, entonces $del$

l \ mu_ {Y} (s): = \ ln \ int_y \ phi (y) \ e^ del cdot {s \ cdot y}.

Aquí Φ es la función de distribución acumulativa del Y .

es también verdad que para una suma de variables al azar independientes $Y=\; del$

l \ ^J X_j del sum_ {j=1}

eso $del$

l \ ^J del mu_Y= \ del sum_ {j=1} \ mu_ {X_j} (s)

Prueba:

$\backslash \; mu\_Y=\; \backslash \; ln\; \backslash \; (e^\; \{s\; \backslash \; cdot\; Y\}\; \backslash \; derecho)\; =\; dejado\; \backslash \; ln\; E\; \backslash \; ido\; (e^\; \{^J\; X\_j\; de\; s\; \backslash \; del\; cdot\; \backslash \; del\; sum\_\; \{j=1\}\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; stackrel\; \{*\}\; \{=\}\; \backslash \; ^\; del\; ln\; \backslash \; del\; prod\_\; \{j=1\}\; \{J\}\; E\; \backslash \; ido\; (e^\; \{s\; \backslash \; cdot\; X\_j\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; ^J\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \backslash \; ln\; E\; \backslash \; ido\; (e^\; \{s\; \backslash \; cdot\; X\_j\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; ^J\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \backslash \; mu\_\; \{X\_j\}\; (s).$

(" *" es donde utilizamos la independencia de las variables al azar de $X\_j$)

Ver también

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