Una función de respuesta linear del describe la relación de la entrada-salida de un transductor de la señal tal como una radio que da vuelta a ondas electromagnéticas en música o una neurona que da vuelta a la entrada sináptica en una respuesta. Debido a sus numerosos usos en teoría, la física y la ingeniería de información existen los nombres alternativos para las funciones de respuesta lineares específicas por ejemplo la susceptibilidad o la impedancia . La exposición de la teoría de respuesta linear se puede encontrar en el papel seminal por el Ryogo Kubo .

Definición matemática

Denotar la entrada de un sistema por el $i\; (t)$, y de la salida por el $o\; (t)$. Generalmente, el valor del $o\; (t)$ dependerá no sólo del valor actual de $i\; (t)$, pero también encendido valores del pasado. Aproximadamente $o\; (t)$ es una suma cargada de los valores anteriores del $i\; (t)$, con los pesos dados por el $\backslash \; la\; ji\; lineares\; (t)$ de la función de respuesta

$o\; (t)\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^0\; d\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; \backslash \; ji\; (\backslash \; tau)\; i\; (t\; \backslash \; tau)$.

Este las fórmulas son realmente el término principal de la orden de una Volterra-extensión . Si el sistema en la pregunta es alto no linear, términos más altos de la orden llegan a ser importantes y el transductor de la señal no puede adequetly descrito apenas por su función de respuesta linear.

El Fourier transforma el $\backslash \; el\; tilde\; \{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega)$ de la función de respuesta linear es muy útil como ella describe la salida del sistema si la entrada es una onda de seno $i\; (pecado\; t)=i\_0\; (\backslash \; Omega\; t)$ con el $\backslash \; omega$ de la frecuencia. La salida lee $o\; (t)=|\backslash \; tilde\; \{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega)|pecadoi\_0\; (\backslash \; Omega\; t+\; \backslash \; arg\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega))$ con el $del\; aumento\; de\; la\; amplitud|\backslash \; tilde\; \{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega)|$ y $del\; desplazamiento\; de\; fase\; \backslash \; arg\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega)$.

Un ejemplo

$\backslash \; ddot\; \{o\}\; (t)+\; \backslash \; gamma\; \backslash \; punto\; \{o\}\; (t)+\; \backslash \; omega\_0^2\; o\; (t)=i\; (t)$.

Se da el Fourier transforma de la función de respuesta linear como

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; deltilde\{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega)\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\_0^2-\; \backslash \; omega^2+i\; \backslash \; gamma\; \backslash \; Omega\}.$

De esta representación, vemos que el Fourier transforma el $\backslash \; el\; tilde\; \{\backslash \; ji\}\; (\backslash \; Omega)$ de la función de respuesta linear logra un máximo para el $\backslash \; Omega\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; omega\_0$: El oscilador armónico humedecido actúa como un filtro del paso de la venda.