En las matemáticas, la función de zeta de Riemann del, nombrada después alemán Bernhard Riemann del matemático, es una función de la gran importancia en la teoría de número debido a su relación a la distribución de los números primeros . También tiene usos en otras áreas tales como física, teoría de las probabilidades, y estadísticas aplicadas .

Definición

El &zeta de la zeta-función de Riemann del ; ( s ) es la función de un s de la variable compleja definida inicialmente por la serie infinita siguiente:

$\backslash \; zetas\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n^s\}$ para ciertos valores del s y entonces analítico continuo a todo el &ne complejo del s ; 1. Este de la serie de Dirichlet converge para todos los valores verdaderos del s mayor de uno. Desde el 1859 de papel Bernhard Riemann, ha llegado a ser estándar para ampliar la definición del ζ ( s ) a los valores '' complejos '' de variable s, en dos etapas. Primero, Riemann demostró que la serie converge para todo el complejo s con referencia a cuya parte real (el s ) sea mayor de uno y define una función analítica s de la variable compleja en la región {&isin del s ; C : Re ( s ) > 1} del C del plano complejo . En segundo lugar, él demostró cómo ampliar el &zeta de la función; ( s ) a todos los valores complejos del s diferente a partir de la 1. consecuentemente, la función de zeta se convierte en una función meromórfica s de la variable compleja, que es el olomorfo en la región {&isin del s ; C : &ne del s ; 1} del plano complejo y tiene un poste simple en el s =1. El proceso analítico de la continuación es inequívoco, dando por resultado una función única, y además de &zeta que extiende; ( s ) más allá del dominio de la convergencia de la serie original, Riemann estableció una ecuación funcional para la función de zeta, que relaciona sus valores en el s y 1  de los puntos; −   s . La hipótesis celebrada de Riemann, formulada en el mismo papel de Riemann, se refiere a ceros de esta función analítico extendida. Para acentuar que el s está visto mientras que un número complejo del, él se escribe con frecuencia en el s de la forma = σ   +  él, donde σ = con referencia a (el s ) está la pieza verdadera del s y del t = Im (el s ) es la pieza imaginaria del s .

Fórmula de producto de Euler

La conexión entre la función de zeta y los números primeros fue descubierta por el Leonhard Euler, que probó el $del\; de\; la\; identidad\; \backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; \backslash \; sum\_\; \{de\; n\; \backslash \; del\; geq\; 1\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n^s\}\; y\; =\; \backslash \; prod\_\; \{p\; \backslash \; texto\; \{prima\}\}\; \backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{1-p^\; \{-\; s\}\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{2^s\}\; \{4^s\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; dejado\; (1\; +\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{3^s\}\; \{9^s\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; dejados\; (1\; +\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{p^s\}\; \{p^\; \{2s\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

donde, por definición, está &zeta el lado de mano izquierda; ( s ) y el producto infinito en el lado derecho extiende sobre todo el p de los números primeros (tales expresiones se llaman los productos de Euler. Ambos lados de esta identidad convergen para el re ( s ) > 1. La prueba de la identidad de Euler utiliza solamente la fórmula para la serie geométrica y el teorema fundamental del aritmético. Desde la serie armónica, obtenida cuando   del s ; =  1, diverge, la fórmula de Euler implica que hay muchos prepara infinitamente.

El producto antedicho se puede utilizar para demostrar que $\backslash \; el\; frac\; 1\; \{\backslash \; zeta\; (n)\}$ es la probabilidad que los números enteros aleatoriamente seleccionados del n son el relativamente primero.

Varias características

Para la función de zeta de Riemann en la línea crítica, ver la Z-función . Para las sumas que implican la zeta-función en los valores de número entero, ver la serie racional de la zeta.

Valores específicos

considera también:

constante de la zeta

Los siguientes son los valores más de uso general de la función de zeta de Riemann. $del$

l \ zeta (0) = -1/2 \,

$\backslash \; zeta\; ()\; \backslash \; aproximadamente\; del\; 1/2\; -1.4603545088095868$ $\backslash \; zeta\; del$

l (1) = 1 + \ + \ frac {1} del frac {1} {2} {3} + \ = \ infty de los cdots; ésta es la serie armónica . $del$

l \ zeta (3/2) \ aproximadamente 2.612; esto se emplea en el cálculo de la temperatura crítica para un Bose-Einstein condensado en la física.

$\backslash \; zeta\; (2)\; =\; 1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{3^2\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi^2\}\; \{6\}\; \backslash \; aproximadamente\; 1.645$; la demostración de esta igualdad se conoce como el problema de Basilea. $del$

l \ zeta (5/2) \ aproximadamente 1.341 $\backslash \; zeta\; del$

l (3) = 1 + \ + \ frac {1} del frac {1} {2^3} {3^3} + \ cdots \ aproximadamente 1.202 ; esto se llama constante de Apéry $del$

l \ zeta (7/2) \ aproximadamente 1.127

$\backslash \; zeta\; (4)\; =\; 1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^4\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{3^4\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi^4\}\; \{90\}\; \backslash \; aproximadamente\; 1.0823$

La ecuación funcional

La zeta-función satisface la ecuación funcional siguiente:

$\backslash \; zeta\; =\; 2^s\; \backslash \; pi^\; \{S1\}\; \backslash pecado\backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; s\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; gamma\; (1-s)\; \backslash \; zeta\; (1-s)$

válido para todo el s en el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \{C\; \backslash \; setminus\; \backslash \; lbrace\; 0.\; Aquí,\; \Gamma \; denota\; la\; función\; gamma\; .\; Esta\; fórmula,probadopor\; Riemann\; en\; 1859,\; se\; utiliza\; para\; construir\; la\; continuación\; analítica\; en\; el\; primer\; lugar.\; (Realmente,\; una\; relación\; equivalente\; fue\; conjeturada\; por\; el\; Euler\; en1749para\; el$ de\; la\; función\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=1\}\; \backslash \; =\; infty\; \backslash \; del\; frac\; \backslash \; zeta\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{2^s\}\; \backslash \; zeta\; \{(-\; ^\; de\; 1)\; \{n+1\}\}\; \{n^s\}$.\; Según\; elAndré\; Weil,\; Riemann\; parece\; haber\; sido\; muy\; familiar\; con\; el\; trabajo\; de\; Euler\; sobre\; el\; tema.)\; En\; el\; s\; =\; 1,\; la\; zeta-función\; tieneun\; postesimple\; con\; el\; residuo\; 1.\; La\; ecuación\; también\; demuestra\; que\; la\; función\; de\; zeta\; tiene\; ceros\; triviales\; en\; el\; -\; 2,\; \; -\; 4,\; \; \dots \; .$

Hay también una versión simétrica de la ecuación funcional, dada primero definiendo

$\backslash xi\; =\; \backslash pi^\{-s/2\}\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{s\}\{2\}\backslash right)\backslash zeta.$

La ecuación funcional entonces se da cerca

$\backslash xi\; =\; \backslash xi(1\; -\; s).\backslash$

(Riemann definió una función similar pero diversa que él llamó el $\backslash \; XI\; (t)$.) La ecuación funcional también da el límite asintótico

$\backslash \; zeta\; \backslash \; ido\; (\{1\; -\; s\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; ido\; (\{\backslash \; frac\; \{s\}\}\; \backslash \; derecho)\; ^s\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \}\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; dejado\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; dejado\; del\; frac\; \{s\}\; (\{1\; +\; O\; \backslash \; ido\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; \backslash \; derecho)\}\; \backslash \; derecho).$ ( Gergő Nemes, 2007 )

Ceros de la función de zeta de Riemann

La función de zeta de Riemann tiene ceros en incluso los números enteros negativos (véase la ecuación funcional). Éstos se llaman los ceros triviales . Son triviales en el sentido que su existencia es relativamente fácil de probar, por ejemplo, del pecado (π s /2) que es 0 en la ecuación funcional. Los ceros no triviales han capturado lejos más atención porque su distribución no sólo se entiende lejos menos pero, más importantemente, abre la manera en una vena asombrosamente rica de la investigación matemática. Se sabe que cualquier mentira cero no trivial en la tira abierta {&isin del s ; C : 0 < con referencia ( s ) a < 1}, que se llama la tira crítica . La hipótesis de Riemann, considerada ser uno de los problemas sin resolver más grandes de matemáticas, afirma que cualquier cero no trivial s tiene con referencia (el s ) al = 1/2. En la teoría de la función de zeta de Riemann, el sistema {&isin del s ; C : El re ( s ) = 1/2} se llama la línea crítica .

La localización de los ceros de la función de zeta de Riemann es de gran importancia en la teoría de números. Del hecho de que todos los ceros no triviales mientan en la tira crítica una puede deducir el teorema del número primero. Un mejor resultado es ese ζ (σ &ne del t de +i); 0 siempre que | t | ≥ 3 y $del\; \backslash \; sigma\; \backslash \; GE\; 1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{57.54\; (\backslash$

del registro Recíproco

El recíproco de la función de zeta se puede expresar como serie de Dirichlet sobre el &mu de la función de Möbius; ( n ):

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; zetas\}\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \{\backslash \}\; \backslash \; frac\; del\; infin\; \{\backslash \; MU\; (n)\}\; \{n^s\}$ para cada s del número complejo con la parte real > 1. Hay un número de relaciones similares que implican las funciones multiplicativas del vario bien conocido que éstos se dan en el artículo sobre la serie de Dirichlet .

¡párrafo debajo de necesidades de ser explicado mejor; necesitamos una sección en equivalentes el derecho. --> La hipótesis de Riemann es equivalente a la demanda que esta expresión es válida cuando la parte real del s es mayor de el 1/2.

Universalidad

La tira crítica de la función de zeta de Riemann tiene la característica notable de la universalidad . Esta universalidad de la zeta-función indica que existe una cierta localización en la tira crítica que aproxima cualquier función olomorfa arbitrariamente bien. Puesto que las funciones olomorfas son muy generales, esta característica es absolutamente notable.

Representaciones

Mellin transforma

Se define el Mellin transforma de un f ( x ) de la función como

$\backslash \; \{\backslash \; \{M\}\; f\; mathcal\; \backslash \}\; (s)\; =\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; f\; (x)\; x^\; \{S1\}\; \backslash ,\; dx$

en la región donde se define el integral. Hay varias expresiones para la zeta-función pues un Mellin transforma. Si la parte real del s es mayor de una, tenemos $del$

l \ = \ dejado de las gammas \ de las zetas \ {\ mathcal {} \ dejado de M (\ frac {1} {\ exp (x) - 1} \ derecho) \ derecho \} (s),

donde Γ denota la función gamma . Restando de los primeros términos de la extensión de serie de energía de 1   (del exp ( x ); −   1) alrededor cero, podemos conseguir la zeta-función en otras regiones. Particularmente, en la tira crítica tenemos $del$

l \ = \ dejado \ {\ mathcal {} \ dejado de M (\ frac {1} {\ exp (x) - 1} - \ frac1x de las gammas \ de las zetas \ derecho) \ derecho \} (s)

y cuando la parte real del s está entre el − 1 y 0, $del$

l \ = \ dejado \ {\ mathcal {} \ dejado de M (\ frac {1} {\ exp (x) - 1} - \ frac1x+ \ frac12 \ derecho) de las gammas \ de las zetas \ derecho \} (s).

Podemos también encontrar las expresiones que se relacionan con los números primeros y el teorema del número primero. Si π ( x ) es la función la Primero-cuenta, entonces $\backslash \; registro\; \backslash \; zetas\; =\; s\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; del$

l {\ pi (x)} {x (x^s-1)}\, dx

para los valores con el $\backslash \; Re>1$. Podemos relacionarnos esto con el Mellin transformamos de π ( x ) cerca $\backslash \; frac\; \{\backslash \; registro\; \backslash \; zeta\}\; \{s\}\; -\; \backslash Omega=\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash \; pi\; de\; M\; (x)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; (-\; s)$ donde = \ int_0^ del $\backslash \; de\; Omega\; del$

l \ infty \ frac {\ pi} {x^ {s+1} (x^s-1)}\, dx

converge para el $\backslash \; Re>\; \backslash \; frac12$.

Un Mellin similar transforma implica el de primero-cuenta J ( x ) de la función de Riemann, que cuenta el primero n del ^{del p de las energías con un peso de 1 n, de modo que $J\; (x)\; =\; \backslash \; suma\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; (x^\; \{1/n\})\}\{n\}.$ Ahora tenemos = \ dejado del $\backslash \; del\; frac\; del$}

l {\ registro \ zeta} {s} \ {\ {M} J \ derecho mathcal \} (- s).

Estas expresiones se pueden utilizar para probar que el teorema del número primero por medio del Mellin inverso transforma. La función de primero-cuenta de Riemann es más fácil de trabajar con, y π ( x ) puede ser recuperado de él por la inversión de Möbius.

Serie de Lorenzo

La función de zeta de Riemann es el meromórfico con un solo poste de la orden una en   del s ; =  1. Puede por lo tanto ser ampliado como serie de Lorenzo sobre   del s ; =  1; el desarrollo de la serie entonces está $del$

l \ zetas = \ + \ gamma_0 del frac {1} {S1} (S1) + \ gamma_2 (S1) ^2 + + \ gamma_1 \ cdots.

Los constantes aquí se llaman los constantes de Stieltjes y pueden ser definidos como = \ frac del $\backslash \; del\; gamma\_k\; del$

l {(- ^k} de 1) {k!} \ lim_ {N \ rightarrow \} infty \ dejado (\ sum_ {m \ le N} \ - \ frac del frac {\ ln^k m} {m} {\ ln^ {k+1} N} {k+1} \ derecho).

El &gamma del término constante; ₀ es el Euler-Mascheroni constante.

Levantamiento factorial

Otro desarrollo de la serie válido para el plano complejo entero es

$\backslash \; zeta\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{S1\}\; -\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \backslash \; infty\; (\backslash \; zeta\; (s+n)\; -\; 1)\; \backslash \; frac\; \{s^\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}\}\; \{(n+1)!\}$

donde está el el $s^\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}$ factorial de levantamiento $s^\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}\; =\; s\; (s+1)\; \backslash \; cdots\; (s+n-1)$. Esto se puede utilizar recurrentemente para ampliar la definición de la serie de Dirichlet a todos los números complejos.

La función de zeta de Riemann también aparece en una forma similar al Mellin transforma en un integral sobre el operador del Gauss-Kuzmin-Wirsing que actúa en &minus del s del ^{del x ; 1}; ese contexto da lugar a una extensión de serie en términos factorial descendente.

Producto de Hadamard

En base del teorema de la facturización de Weierstrass, el Hadamard dio a la extensión del producto infinito $del$

l \ zetas = \ e^ del frac {e^ {(\ registro (2 \ pi) - 1 \ gamma) s}} {2 (S1) \ gamma (1+s/2)} \ prod_ \ rho \ ido (1 - \ frac {s} {\ rho} \ derecho) {s \ rho}

donde está el producto sobre el &rho no trivial de los ceros; del ζ y el &gamma de la letra; denota otra vez el Euler-Mascheroni constante.

Serie global convergente

Una serie global convergente para la función de zeta, válida para todo el s de los números complejos excepto el s = 1, fue conjeturada por el Conrado Knopp y probada por el Helmut Hasse en el 1930 : $\backslash \; zeta=\; \backslash \; frac\; del$

l {1} {1-2^ {1-s}} \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {1} {2^ {n+1}} \ ^k del ^n del sum_ {k=0} (- 1) {n \ elige k} (k+1)^ {- s}.

La serie aparecía solamente en un apéndice al papel de Hasse, y no se sabía generalmente hasta que fuera vuelto a descubrir más de 60 años más adelante (véase a Sondow, 1994).

El Peter Borwein ha demostrado muy rápido una serie convergente conveniente para los cálculos numéricos de la alta precisión. El algoritmo, haciendo uso de los polinomios de Chebyshev se describe en el artículo sobre la función del eta de Dirichlet.

Usos

Aunque los matemáticos miren la función de zeta de Riemann como siendo sobre todo relevantes al " purest" de disciplinas matemáticas, la teoría de número, también ocurre en las estadísticas aplicadas (véase la ley de Zipf y la ley de Zipf-Mandelbrot), la física, y la teoría matemática de adaptación musical.

Durante varios cálculos física-relacionados, uno debe evaluar la suma de los números enteros positivos; paradójico, en la comprobación los argumentos uno cuentan con una respuesta finita. Cuando se presenta esta situación, hay típicamente un acercamiento riguroso que implica mucho análisis profundizado, así como un " corto-cut" solución que confía en la zeta-función de Riemann. La discusión va como sigue: deseamos evaluar el 1 + 2 + 3 + 4 de la suma + · · ·, pero nosotros puede reescribirlo como suma de reciprocals: el $del$

l \ comienza {alinear} S y {} =1 + 2 + 3 + 4 + \ \ \ de los cdots y {} = \ (\ frac {1} {1} \ derecho) ^ dejado {- 1} + \ (\ frac {1} {2} \ derecho) ^ dejado {- 1} + \ (\ frac {1} {3} \ derecho) ^ dejado {- 1} + \ (\ frac {1} {4} \ derecho) ^ dejado {- 1} + \ de los cdots \ \ y {} = \ sum_ {n=1} ^ {\} \ frac {1} del infin {n^ {- 1}}. \ extremo {alinear}

El S de la suma aparece tomar la forma del $\backslash \; de\; la\; zeta\; (-\; 1)$. Sin embargo, − 1 miente fuera del dominio para para el cual la serie de Dirichlet la zeta-función converge. Sin embargo, una serie divergente de términos positivos tales como éste se puede sumar a veces de una manera razonable por el método de la adición de Ramanujan (véase robusto, serie divergente del . ) La adición de Ramanujan implica un uso de la fórmula de la adición de Euler-Maclaurin, y cuando está aplicado a la zeta-función, amplía su definición al plano complejo del conjunto. Particularmente

$1+2+3+\; \backslash \; cdots\; =\; -\; \backslash \; (\backslash \; con\; referencia\; a)\; del\; del\; frac\; \{1\}\; \{12\}$

donde el $de\; la\; notación\; (\backslash \; con\; referencia\; a)$ indica la adición de Ramanujan.

Para incluso las energías tenemos:

$1+2^\; \{2k\}\; +3^\; \{2k\}\; del\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 0\; (\backslash \; con\; referencia\; a)$

y para las energías impares tenemos una relación con los números de Bernoulli

$1+2^\; \{2k-1\}\; +3^\; \{2k-1\}\; del\; +\; \backslash \; cdots\; =\; -\; \backslash \; (\backslash \; con\; referencia\; a)\; del\; frac\; \{B\_\; \{2k\}\}\; \{2k\}.$

La regularización de la función de zeta se utiliza como medios posibles uno de la regularización de las series divergentes en la teoría de campo de Quantum . En un ejemplo notable, el Riemann la zeta-función aparece explícitamente en el cálculo del efecto de Casimiro.

¡Generalizationsley de energía -->

Hay un número de funciones de zeta relacionadas que se pueden considerar para ser generalizaciones de la zeta-función de Riemann. Éstos incluyen la función de zeta de Hurwitz $del$

l \ zeta (s, q) = \ ^ del sum_ {k=0} \ ^ infty (k+q) {- s},

cuál coincide con la zeta-función de Riemann cuando el q = 1 (nota que el límite más bajo de adición en la función de zeta de Hurwitz es 0, no 1), las L-funciones de Dirichlet y la zeta-función de Dedekind. Para otras funciones relacionadas ver la función de zeta de los artículos y la L-función .

El Polylogarithm se da cerca _s del $\backslash \; del\; mathrm\; del$

l {Li} (z) = \ ^ del sum_ {k=1} \ {z^k \ sobre k^s} infty

cuál coincide con la zeta-función de Riemann cuando el z = 1.

El Lerch trascendente es dado por el $\backslash \; la\; phi\; (z,\; s,\; q)\; del\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{z^k\}\; \{^s\; (k+q)\}$ cuál coincide con la zeta-función de Riemann cuando el z = 1 y el q = 1 (nota que el límite más bajo de adición en el transcendent de Lerch es 0, no 1).

El $Cl\_\; \{s\}\; (\backslash \; theta)$ de la función de Clausen que se puede elegir como la parte verdadera o imaginaria del _ del $\backslash \; del\; mathrm\; \{Li\}\; \{s\}\; (e^\; \{i\; \backslash \; theta\})$

Las funciones de zeta múltiples son definidas por = \ sum_ {k_1>k_2> \ dots>k_n>0} del $\backslash \; de\; la\; zeta\; del\; (s\_1,\; s\_2,\; \backslash \; puntea,\; s\_n)\; k\_1^\; \{-\; s\_1\}\; k\_2^\; \{-\; s\_2\}\; \backslash \; k\_n^\; de\; los\; cdots\; \{-\; s\_n\}.$ Uno puede continuar analítico estas funciones al espacio del complejo de $n$-dimensional. Los valores especiales de estas funciones son llamados los valores múltiples de la zeta por los teóricos de número y han estado conectados con muchas diversas ramas en matemáticas y la física.

Zeta-funciones en la ficción

El nuevo Cryptonomicon 1999 de s de Neal Stephenson 'menciona la zeta-función como fuente del número pseudaleatorio, un componente útil en diseño de la cifra .

La zeta-función es mayores partes del diagrama nuevo del de s de Thomas Pynchon del 'contra el día ( 2006 ).

El popular NUMB3RS de la demostración de T. tenía un episodio (" Suspect" primero;) en qué criminales secuestrados un niño y exigió como rescate una prueba posible de la hipótesis de Riemann de un matemático. La prueba sería utilizada para robar tipos de interés de un Web site cifrado.

Ver también

L-función
Hipótesis generalizada de Riemann
Theta-función de Riemann-Siegel
Ley de Zipf-Mandelbrot

.

Zenithic

Django (Modern Jazz Quartet album)

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