En las matemáticas, la función del chantre del, nombrada después del chantre de Jorge, es un ejemplo de una función que sea el continuo, pero no absolutamente continuo.

Definición

El c de la función del chantre: → se define como sigue: expreso x del

en la base 3. Si es posible, no utilizar ningún 1s. (Esto diferencia solamente si la extensión termina en 022222… = 100000… o 200000… = 122222…)

Substituir el primer 1 por 2 y todo después de él por 0.

Substituir todo el 2s por 1s.

Interpretar el resultado como número binario. El resultado es el c ( x ).

Por ejemplo:
1/4 se convierte en 0.02020202… bases 3; no hay 1s así que la etapa siguiente sigue siendo 0.02020202…; esto se reescribe como 0.01010101…; cuando está leída adentro la base 2, éste es 1/3 tan c (1/4) = 1/3.
1/5 se convierte en 0.01210121… bases 3; el primer 1 cambia a 2 seguidos por 0s para producir 0.02000000…; esto se reescribe como 0.01000000…; cuando está leída adentro la base 2, éste es 1/4 tan c (1/5) = 1/4.

(Puede ser mucho más fácil entender esta definición mirando el gráfico debajo que agarrando el algoritmo.)

Características

La función del chantre desafía intuiciones ingenuas sobre la continuidad y la medida ; aunque es continua por todas partes y tiene derivado cero casi por todas partes, el c va a partir la 0 a 1 como va el x a partir la 0 a 1, y adquiere cada valor mientras tanto. La función del chantre es lo más frecuentemente el ejemplo citado de una función verdadera que sea continua pero no absolutamente continuo. No tiene ningún derivado en ningún miembro fijado chantre; es constante en los intervalos de la forma (0. x ₃ del x ₂ del x ₁… x _n022222…, 0. x ₃ del x ₂ del x ₁… x _n200000…), y cada punto no en el sistema del chantre está en uno de estos intervalos, así que su derivado es 0 exteriores del sistema del chantre. Extendido a la izquierda con el valor 0 y a la derecha con el valor 1, es la función de distribución de probabilidad acumulativa de una variable al azar que se distribuya uniformemente en el sistema del chantre. Esta distribución de probabilidad no tiene ninguna parte discreta, es decir, no concentra probabilidad positiva en cualquier momento. También no tiene ninguna parte que se pueda representar por una función de densidad; la integración de cualquier función de densidad supuesta de probabilidad que no sea el casi por todas partes cero sobre ningún intervalo dará probabilidad positiva a un cierto intervalo a el cual esta distribución asigne la probabilidad cero. Ver la distribución del chantre. La función del chantre es el ejemplo estándar de una función singular .

Definición alternativa

Debajo de nosotros definimos una secuencia del f _n de las funciones en el intervalo que converge a la función del chantre.

Dejar el f ₀ ( x ) = el x .

Entonces el n +1 ( x ) del _{del f será definido en términos de n} ( x ) del _{del f .}

Dejar el n +1 ( x ) del _{del f = 0.5 n} (3 x ) del _{del f cuando 0 ≤ &le del x ; 1/3.}

Dejar el n +1 ( x ) = 0.5 del _{del f cuando 1/3 ≤ &le del x ; 2/3.}

Dejar el n +1 el n (3 del _{del f (del x ) = 0.5 del del f (&minus del x ; 2/3)) cuando 2/3 ≤ &le del x ; 1.}

Observar que el n del _{del f converge a la función del chantre. También notar que no importa la opción de comenzar la función realmente, con tal que el f 0 (0) = 0 y el f 0(1) = 1 y el f 0 sea limitado .}

Otra más definición

La función del chantre es estrechamente vinculada al chantre determinado. El determinado C del chantre se puede definir como el sistema de esos números en el intervalo que no contengan el dígito 1 en su extensión base-3. Resulta que el sistema del chantre es un fractal con (uncountably) infinitamente muchos puntos (volumen cero-dimensional), solamente la longitud cero (volumen unidimensional). Solamente el $D-dimensional\; H\_D$ del volumen (en el sentido de una Haussdorff-medida ) toma un valor finito, donde = del $D\; \backslash \; registro\; (2)\; \backslash \; registro\; (3)$ es la dimensión del fractal del C . Podemos definir la función del chantre alternativo como el volumen D-dimensional de secciones del sistema del chantre

$f\; (x)=H\_D\; (C\; \backslash \; casquillo\; (0,\; x)).$

Generalizaciones

Dejar el ^ del $y=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; el\; b\_k\; infty\; 2^\; \{-\; k\}$ sea la extensión (binaria) de dos días del &le del número verdadero 0; &le del y ; 1 en términos de b _k= {0.1} de los dígitos binarios. Entonces considerar el $C\_z\; de\; la\; función\; (^\; del\; y)=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; el\; z^\; infty\; del\; b\_k\; \{k\}$. Para el   del z ; =  1/3, lo contrario del $x=\; de\; la\; función\; (2/3)\; C\_\; \{1/3\}\; (y)$ es la función del chantre. Es decir,   del y ; =  el y ( x ) es la función del chantre. Generalmente para cualquie   del z ; <   el 1/2, z ( y ) del _{del C parece la función del chantre dada vuelta en su lado, con la anchura de los pasos que consiguen más de par en par mientras que el z se acerca a cero.}

La función del signo de interrogación de Minkowski se asemeja visualmente libremente a la función del chantre, teniendo el aspecto general de un " out" alisado; Función del chantre. La función del signo de interrogación tiene la característica interesante del tener derivados vanishing en todos los números racionales.

Zenithic

James C. Adamson

Random links:

Punto del este, Hong Kong | Steve Gibson (informático) | Tranvía de Mont Blanc | Billy Loes