En las matemáticas, en el área de la teoría de número analítico, la función del eta de Dirichlet del se puede definir como

$\backslash \; eta\; =\; \backslash \; ido\; (1-2^\; \{1-s\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; zeta$

donde ζ es la función de zeta del de Riemann . Sin embargo, puede también ser utilizada para definir la función de zeta. Tiene una expresión de la serie de Dirichlet, válida para cualquier s del número complejo con la parte real positiva, dado cerca

$\backslash \; eta\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{(-\; ^\; de\; 1)\; \{n-1\}\; \backslash \; sobre\; n^s\}.$

Mientras que esto es convergente solamente para s con la parte real positiva, es Abel summable para cualquier número complejo, que sirva definir la función del eta como función entera, y demuestra que la función de zeta es el meromórfico con un solo poste en el s = 1.

Equivalente, nosotros puede comenzar por definiendo

$\backslash \; eta\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; gammas\}\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{x^s\}\; \{\backslash \; exp\; (x)+1\}\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}$ cuál también se define en la región de partición verdadera positiva. Esto da la función del eta mientras que un Mellin transforma .

El robusto dio una prueba simple de la ecuación funcional para la función del eta, que es $del$

l \ eta (- s) = 2 \ pi^ {- S1} s \ pecado \ ido ({\ pi s \ sobre 2} \ derecho) \ gammas \ eta (s+1).

De esto, uno tiene inmediatamente la ecuación funcional de la función de zeta también, así como otros medios de ampliar la definición del eta al plano complejo entero.

Algoritmos numéricos

La mayor parte de las técnicas de la aceleración de la serie se convirtieron para la serie de alternancia se pueden aplicar provechoso a la evaluación de la función del eta. Uno particularmente simple, con todo el método razonable es aplicar la transformación de Eulers de la serie de alternancia, para obtener $del$

l \ ^ del eta= \ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {1} {2^ {n+1}} \ sum_ {k=0} ^n (- ^ de 1) {k} {n \ elige} \ frac {1} de k {(k+1)^s}

Observar que el segundo, adición interior es una diferencia delantera .

Método de Borwein

El Peter Borwein utilizó las aproximaciones que implicaban los polinomios de Chebyshev para producir un método para la evaluación eficiente de la función del eta. Si ¡$d\_k\; del$

l = n \ ^k \ frac del sum_ {i=0} {(n+i-1)! ¡4^i} {(n-i)! (2i)!}

entonces $\backslash \; eta\; del$

l = - \ frac {1} {d_n} \ sum_ {k=0} ^ {n-1} \ frac {(- 1) ^k (d_k-d_n)}{(k+1)^s} + \

donde el &gamma del término del error; _n se limita cerca

$\backslash gamma\_n\; \backslash le\; \backslash frac\{3\}\{(3+\backslash sqrt\{8\})^n\}\; (1+2|t|)\; \backslash \; exp\; (|t|\backslash \; pi/2)$

donde = \ Im del $t.\; Factor\; de$ 3+\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{8\}\; \backslash \; 5.8$en\; el\; límite\; del\; error\; indica\; aproximadamente\; que\; converge\; la\; serie\; de\; Borwein\; absolutamenterápidomientras\; que\; el\; n\; aumenta.$

Valores particulares

considera también:

l [[constante de la zeta]]
η (0) = ¹⁄₂, la suma de Abel del − 1 del − 1 + 1 de la serie 1 de Grandi + · · ·.
η (−1) = ¹⁄₄, la suma de Abel del − 2 + 3 − 4 1 + · · · .
Para el k al número entero > 1, si el k del _{del B entonces es el k - número de Bernoulli del th
: = \ frac {2^k-1} {k} B_k. del $\backslash \; del\; eta\; (1-k)$}

También: ¡$del$

l \! \ \ eta (1) = \ ln2 , éste es el $\backslash \; el\; eta\; de\; alternancia\; del$
de la serie armónica (2) = {\ pi^2 \ sobre 12} $\backslash \; eta\; del$
de (4) = $\backslash \; eta\; del$
de (6) = $\backslash \; eta\; del$
de (8) = $\backslash \; eta\; del$
de (10) = $del$
de \ el eta (12) =

La forma general para incluso los números enteros positivos es:

$\backslash \; eta\; (2n)\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{n+1\}$

.

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