La función exponencial es una de las funciones más importantes de las matemáticas . El uso de esta función a un x del del valor se escribe como exp ( x ) . Equivalente, esto se puede escribir en el e^x del de la forma, donde está un constante matemático, la base del logaritmo natural, que iguala aproximadamente 2.718281828, y también se conoce el e del como número de s de Euler '.

En función del variable verdadero x del, el gráfico y = el x del ^{del e es siempre positivo (sobre el eje del x ) y aumento (de izquierda a derecha vista). Nunca toca el eje del x, aunque consiga arbitrariamente cerca de él (así, el eje del x es una asíntota horizontal al gráfico). Su función inversa, el logaritmo natural, ln ( x ), se define para todo el positivo x .}

A veces, especialmente en las ciencias la función exponencial del término se utiliza más generalmente para las funciones del x del ^{de ka del de la forma, donde está cualquier número el un, llamado la base del, verdadero positivo no igual a uno. Este artículo se centrará inicialmente en la función exponencial con el bajo e, número de Euler.}

Generalmente el variable x puede ser cualquier número complejo verdadero o, o aún una clase enteramente diversa de objeto matemático; ver la definición formal debajo de .

Características

Lo más simplemente posible, las funciones exponenciales se multiplican a una tarifa constante. Por ejemplo la población de una cultura bacteriana que doble cada 20 minutos puede (aproximadamente, como esto no está realmente un problema continuo) se exprese como exponencial, al igual que el valor de un coche que disminuya por el 10% por año.

Usar el logaritmo natural, uno puede definir funciones exponenciales más generales. ¡El $del\; de\; la\; función\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash ,\; ^x=e^\; del\; a^x=\; (e^\; \{\backslash \; ln\; a\})\; \{x\; \backslash \; ln\; a\}$ definido para todo el > 0, y todo el x de los números verdaderos, se llama la función exponencial del con el bajo del de un . Observar que esta definición del $\backslash ,\; el\; a^x$ se reclina sobre la existencia previamente establecida del $de\; la\; función\; \backslash ,\; del\; e^x$, definidos para todos los números verdaderos. (Aquí, ni aclaramos formalmente ni conceptual si existe tal función o qué exponentes non-natural se suponen para significar.)

¡Observar que los asimientos antedichos de la ecuación para el = el e, desde $del\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash ,\; =e^\; del\; e^\; \{x\; \backslash \; ln\; e\}\; \{x\; \backslash \; cdot\; 1\}\; =e^x.$

" de las funciones exponenciales; traducir entre la adición y el multiplication" como se expresa en los primeros tres y el quinto de las leyes exponenciales del siguiente: ¡$del\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡\backslash ,$ del$$
a^0 = 1 \, \! ¡\, $del$
de a^1 = de a \, \! ¡\, a^ {x + y} = $a^x\; a^y$ \, \! ¡\, a^ {x y} = \ (a^x \ derecho) $dejado\; del$
de ^y \, \! ¡\, {1 \ sobre a^x} = \ ({1 \ sobre a} \ derecho) $dejado\; ^x\; =\; del\; a^\; \{-\; x\}$ \, \! \, b^x del a^x = (un b)^x

Éstos son válidos para todo el positivo de los números verdaderos al y el b y todo el x de los números verdaderos y el y . Las expresiones que implican las fracciones y las raíces se pueden simplificar a menudo usar la notación exponencial: $del\; \backslash ,\; \{1\; \backslash \; sobre\; a\}\; =\; a^\; \{-\; 1\}$ y, para cualquie > 0, el b del número verdadero, y el   del n del número entero; >  1: $del\; \backslash ,\; \backslash raíz\; cuadrada\{a^b\}\; =\; \backslash \; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{a\}\; \backslash \; derecho)\; ^b\; =\; a^\; dejados\; \{b/n\}.$

Derivados y ecuaciones diferenciales

La importancia de funciones exponenciales en matemáticas y las ciencias proviene principalmente de las características de sus derivados particularmente, $del$

l \, {d \ sobre dx} e^x = e^x.

Es decir, el x del ^{del e es su propio derivado . Las funciones del $de\; la\; forma\; \backslash ,\; Ke^x$ para K constante son las únicas funciones con esa característica. (Esto sigue del teorema de Picard-Lindelöf, con el $\backslash ,\; y\; (t)\; =\; e^t,\; y\; (0)\; =K$ y el $\backslash ,\; f\; (t,\; y\; (t))\; =\; y\; (t)$.) Otras maneras de decir la misma cosa incluyen:
La cuesta del gráfico en cualquier momento es la altura de la función en ese punto.
El coeficiente de incremento de la función en el x es igual al valor de la función en el x .
La función soluciona el $de\; la\; ecuación\; diferencial\; \backslash ,\; el\; y\text{'}=\; y$.
el exp es un punto fijo del derivado como funcional}

De hecho, muchas ecuaciones diferenciales dan lugar a funciones exponenciales, incluyendo la ecuación de Schrödinger y la ecuación del Laplace así como las ecuaciones para el movimiento armónico simple .

Para las funciones exponenciales con otras bases: $del$

l \, {d \ sobre dx} a^x = (\ ln a) a^x.

Así, el cualquier función exponencial de es un múltiplo constante de su propio derivado.

Si el crecimiento de una variable o la tarifa de decaimiento es el proporcional a su &mdash del tamaño; al igual que el caso en crecimiento demográfico ilimitado (véase la catástrofe Malthusian ), el interés continuamente compuesto, o el &mdash del decaimiento radiactivo ; entonces la variable se puede escribir como las épocas constantes una función exponencial del tiempo.

Además para cualquier f ( x ) de la función diferenciable, encontramos, por la regla de cadena : $del$

l \, {d \ sobre dx} e^ del e^ {f (x)} = f'(x) {f (x)}.

Definición formal

El x del e ^{de la función exponencial se puede definir de una variedad de maneras equivalentes, como serie infinita . Particularmente puede ser definido por una serie de energía : $e^x\; del$}

l = \ ^ del sum_ {n = 0} {\ infty} {x^n \ sobre n!} = 1 + x + {x^2 \ sobre 2!} + {x^3 \ sobre 3!} + {x^4 \ sobre 4!} + \ cdots.

Observar que esta definición tiene la forma de una serie de Taylor . Usar una definición alterna para la función exponencial debe llevar al mismo resultado cuando está ampliado que una serie de Taylor .

Una definición menos común define $e^x$ como la solución $y$ al = \ int_ {1} del $x\; del\; de\; la\; ecuación\; ^y\; \{despegue\; \backslash \; sobre\; t\}.$

Valor numérico

Para obtener el valor numérico de la función exponencial, la serie infinita se puede reescribir como: $del$

l \, e^x = {1 \ sobre 0!} + x \, \ se fue ({1 \ sobre 1!} + x \, \ se fue ({1 \ sobre 2!} + x \, \ se fue ({1 \ sobre 3!} + \ cdots \ derecho) \ derecho) \ derecho)
$\backslash ,\; =\; 1\; +\; \{x\; \backslash \; sobre\; 1$ } \ dejado (1 + {x \ sobre 2} \ ido (1 + {x \ sobre 3} \ dejados (1 + \ cdots \ derecho) \ derechos) \ derecho)

Esta expresión convergerá rápidamente si podemos asegurarnos de que x sea menos de uno.

Para asegurar esto, podemos utilizar la identidad siguiente.

Exp computacional ( x ) para el verdadero x

Un algoritmo incluso mejor se puede encontrar como sigue.

Primero, notar que el y de la respuesta = el x del ^{del e es generalmente un número de la coma flotante representado por un m de la mantisa y un n del exponente tan el n} de y = del m 2 ^{para un cierto n del número entero y el convenientemente pequeño m . Así, conseguimos: $del$}

l \, y = m \, 2^n = e^x.

Tomar a conexión ambos lados de los dos pasados nos da: $del$

l \, \ ln (y) = \ ln (m) + n \ ln (2) = x.

Así, conseguimos el n como resultado de dividir el x por el registro (2) y encontrar el número entero más grande que no es mayor que esto - es decir, la función del piso: el $del$

l \, n = \ se fue \ lfloor \ el frac {x} {\ ln (2)} \ derecho \ rfloor.

Encontrando el n podemos entonces encontrar el fraccionario u de la parte como esto: $del$

l \, u = x - n \ ln (2).

El u del número es pequeño y en el u del ≤ de la gama 0 < ln (2) y así que nosotros puede utilizar la serie previamente mencionada para computar el m : $del$

l \, m = e^u = 1 + u (1 + u (\ frac {1} {2!} + u (\ frac {1} {3!} + u (….

Encontrando el m y el n podemos entonces producir y simplemente combinando esos dos en un número de la coma flotante: $del$

l \, y = e^x = m \, 2^n.

Fracciones continuas para el x del ^{del e}

Vía la identidad de Euler: $del$

l \, \ e^x=1+x+ \ frac {x^2} {2!}+ \ cdots= 1+ \ cfrac {x} {1 \ cfrac {x} {x+2- \ cfrac {2x} {x+3- \ cfrac {3x} {x+4- \ cfrac {4x} {x+5- \ cfrac {5x} {\ ddots}}}}}}

Técnicas más avanzadas son necesarias construir el siguiente: $del$

l \, \ e^ {2m/n}} \, de =1+ \ del cfrac {los 2m} {(nanómetro) + \ cfrac {m^2} {3n+ \ cfrac {m^2} {5n+ \ cfrac {m^2} {7n+ \ cfrac {m^2} {9n+ \ cfrac {m^2} {\ ddots}}}}}

m del ajuste = x y n = 2 producciones $del$

l \, \} \, de e^x=1+ \ del cfrac {2x} {(2-x) + \ cfrac {x^2} {6+ \ cfrac {x^2} {10+ \ cfrac {x^2} {14+ \ cfrac {x^2} {18+ \ cfrac {x^2} {\ ddots}}}}}

Cómputo del $\backslash ,\; a^n$ para el n del número natural (número entero positivo)

Hay una manera rápida de computar el $\backslash ,\; a^n$ cuando el n es un número entero positivo. Hace uso del hecho de que probando que tal número es impar es muy fácil en una computadora y la división por 2 es también rápida simplemente cambiando de puesto todos los pedacitos a la derecha.

el paso 1, inicializa algún variables
y: = 1, k: = n, f: = a

paso 2, prueba k
el si k es 0, va al paso 7 de

paso 3, (k no es 0 aquí, prueba si k es uniforme)
el si k es incluso va al paso 5 de

paso 4, (k es impar aquí, se multiplica adentro)
$\backslash ,\; y:\; =\; y\; *\; f$

paso 5, (la divisoria k por 2/no hace caso del resto, divisoria por el cambio, también f)
cuadrado k: = la derecha del cambio del de k por 1 f: = f * f

paso 6, (lazo)
el vuelve al paso 2 de

paso 7, (hecho, y es resultado = aⁿ)
de vuelta y

En el C usted puede escribir el algoritmo como esto:

energía doble (a doble, internacional sin firmar n) { doble y = 1; doble f = a; internacional sin firmar k = n; ¡mientras que (k! = 0) { ¡si ((k y 1)! = 0) *= f de y; >>= 1 de k; *= f de f; } y de vuelta; }

Mientras que una multiplicación ingenua de a^100 requeriría 100 iteraciones de un lazo que multiplica a, este lazo itera solamente 7 veces (el número 100 se escribe usar 7 pedacitos).

Este algoritmo puede fácilmente ser extendido para los enteros con signo haciendo los pasos siguientes antes y después:

el paso 1. si k es negativa, niega el valor así que conseguimos un K. positivo n todavía recordamos el valor original. realiza el cómputo antedicho para el $\backslash ,\; el$

de y = del a^ ¡En el plano complejo

Como en el caso verdadero, la función exponencial se puede definir en el plano complejo en varias formas equivalentes. Algunas de estas definiciones reflejan las fórmulas para la función exponencial con valores reales. Específicamente, uno puede todavía utilizar la definición de la serie de energía, donde el valor verdadero es substituido por complejo: ¡$del\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash ,\; e^z\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n\; =\; 0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{z^n\}\; \{n!\}$ Usar esta definición, es fácil demostrar porqué el e^z del $\{d\; \backslash \; sobre\; DZ\}\; =\; e^z$ se sostiene en el plano complejo.

Otra definición amplía la función exponencial verdadera . Primero, indicamos el $e^\; deseado\; de\; lacaracterística\{x\; +\; iy\}\; =\; el\; e^\; del\; e^x\; \{i\; y\}$. Para $e^x$ utilizamos la función exponencial verdadera . Entonces procedemos definiendo solamente: $e^\; \{i\; y\}\; =\; lechuga\; romana\; (y)\; +\; pecado\; de\; i\; (y)$. Así utilizamos la definición verdadera algo que ella.

¡Cuando está considerada como función definida en el plano complejo, la función exponencial conserva el $importante\; del\; de\; las\; características\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡\backslash ,\; e^\; \{z\; +\; w\}\; =$ e^z\; e^w$\backslash ,\; \backslash !\; ¡\backslash ,$ del$$
e^0 = 1 \, \! ¡\, $e^z\; \backslash \; ne\; 0$ \, \! \, {d \ sobre DZ} e^z = e^z para todo el z y el w .

¡Es una función olomorfa que es periódica con el $imaginario\; del\; período\; \backslash ,\; 2\; \backslash \; pi\; i$ y puede ser escrito como $del\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash ,\; e^\; \{a\; +\; BI\}\; =\; e^a\; (\backslash \; lechuga\; romana\; b\; +\; i\; \backslash \; pecado\; b)$ donde están valores el un y el b verdaderos. Esta fórmula conecta la función exponencial con las funciones trigonométricas y a las funciones hiperbólicas vemos así que todas las funciones elementales a excepción del resorte de los polinomios de la función exponencial de un modo u otro.

Ver también la fórmula de Euler.

Ampliar el logaritmo natural a las discusiones complejas rinde a la función polivalente, ln ( z ). Podemos entonces definir una exponenciación más general: ¡$del\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash ,\; z^w\; =\; e^\; \{w\; \backslash \; ln\; z\}$ para todo el z de los números complejos y el w . Esto es también una función polivalente. Las leyes exponenciales arriba indicadas siguen siendo verdades si están interpretadas correctamente como declaraciones sobre funciones polivalentes.

La función exponencial traza cualquier línea en el plano complejo a un espiral logarítmico en el plano complejo con el centro en el origen . Dos casos especiales pudieron ser observados: cuando la línea original es paralela al eje verdadero, el resultar sprial nunca se cierra adentro en sí mismo; cuando la línea original es paralela al eje imaginario, el espiral resultante es un círculo de un cierto radio.

Cómputo de exp ( z ) para un complejo z

Éste es bastante directo dado la fórmula $del$

l \, e^ {x + yi} = e^xe^ {yi} = e^x (\ lechuga romana (y) + i \ pecado (y)) = e^x \ lechuga romana (y) + ie^x \ pecado (y).

Observar que la discusión y a las funciones trigonométricas es verdadera.

Cómputo del $\backslash ,\; a^b$ donde están complejos el un y el b

Éste es también directo dado las fórmulas:

si a = x + yi y b = u + VI que podemos primero convertir a a polar coordina encontrando un $\backslash ,\; \backslash \; theta$ y un $\backslash ,\; un\; r$ tales que: $del$

l \, re^ = r \ lechuga romana \ theta + i r \ pecado \ theta = a = x + yi

o $del$

l \, x = r \ lechuga romana \ theta y $\backslash ,\; y\; =\; r\; \backslash \; pecado\; \backslash \; theta.$

Así, $\backslash ,\; x^2\; +\; y^2\; =\; r^2$ o $\backslash ,\; r\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2\; +\; y^2\}$ y $\backslash ,\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}$ o $\backslash ,\; \backslash \; =\; \backslash \; operatorname\; \{atan2\}\; (y,\; x).$ del tan \ de la theta de la theta

Ahora, tenemos eso: $del$

l \, a = re^ = e^ {\ registro (r) + {\ theta} i}

tan: $del$

l \, a^b = (e^ {\ registro (r) + {\ theta} i}) ^ {u + VI} = e^ {(\ registro (r) + {\ theta} i) (u + VI)}

El exponente es así una multiplicación simple de dos valores complejos que rinden un resultado complejo que se pueda entonces traer de nuevo a formato cartesiano regular por la fórmula: $del$

l \, e^ {p + qi} = e^p (\ lechuga romana (q) + i \ pecado (q)) = e^p \ lechuga romana (q) + ie^p \ pecado (q)

donde está la parte el p real de la multiplicación: $del\; \backslash ,\; p\; =\; u\; \backslash \; registro\; (r)\; -\; v\; \backslash \; theta$

y el q es la parte imaginaria de la multiplicación: $del\; \backslash ,\; q\; =\; v\; \backslash \; registro\; (r)\; +\; u\; \backslash \; theta.$

Observar que todo el $\backslash ,\; x,\; y,\; u,\; v,\; r,$ \backslash ,\; \backslash \; theta$,$ \backslash ,\; p$y$ \backslash ,\; q$es\; todo\; de$ valores verdaderos en estos cómputos. El resultado del $\backslash ,\; a^b$ es así $\backslash ,\; de\; p\; +\; de\; qi$.

También observan que puesto que computamos y utilizamos el $\backslash ,\; \backslash \; registro\; (r)$ algo que r sí mismo usted no tiene que computar la raíz cuadrada. En lugar computar simplemente el $\backslash ,\; \backslash \; registro\; (r)\; =\; \backslash \; frac12\; \backslash \; registro\; (x^2\; +\; y^2)$. Tener cuidado para el desbordamiento potencial sin embargo y reducir proporcionalmente posiblemente el x y y antes del $computacional\; \backslash ,\; x^2\; +\; y^2$ por una energía conveniente de 2 si del $\backslash ,\; x$ y $\backslash ,\; de\; y$ ser tan grande que usted desbordaría. Si usted en lugar de otro corre el riesgo de desbordamiento de capacidad inferior, aumentar proporcionalmente por una energía conveniente de 2 antes de computar la suma de los cuadrados. En cualquier caso usted entonces consigue la versión escalada del $\backslash ,\; x$ - podemos llamarla del $\backslash ,\; x\text{'}$ y la versión escalada del $\backslash ,\; de\; y$ - la llaman del $\backslash ,\; del\; y\text{'}y\; asíque\; de\; usted\; consiguen:$ del\; \backslash ,\; x\; =\; x\text{'}2^s$y$ \backslash ,\; y\; =\; y\text{'}2^s$$

donde está el factor el $\backslash ,\; 2^s$ de escala.

Entonces usted consigue el $\backslash ,\; \backslash \; registro\; (r)\; =\; \backslash \; frac12\; (\backslash \; el\; registro\; (x\text{'}^2\; +\; el\; y\text{'}^\; 2)\; +\; s)$ donde el $\backslash ,\; x\text{'}$ y $\backslash ,\; el\; y\text{'}\; se\; escalan\; de\; modo\; que\; no\; desborde\; lasumade\; los\; cuadrados\; o\; desbordamiento\; de\; capacidad\; inferior.\; Si\; el$ \backslash ,\; x$es\; muy\; grande\; mientras\; que\; desbordará\; el$ \backslash ,\; y$es\; muy\; pequeño\; de\; modo\; que\; usted\; no\; pueda\; encontrar\; tal\; factor\; de\; escala\; usted\; de\; todos\; modos\; y\; así\; que\; la\; suma\; es\; esencialmente\; igual\; al$ \backslash ,\; a\; x^2$puesto\; que\; se\; no\; hace\; caso\; y\; y\; usted\; consigue\; así\; el$ \backslash ,\; r\; =\; |x|$en\; este\; caso\; y$ \backslash ,\; \backslash \; registro\; (r)\; =\; \backslash \; registro\; (|x|)$.\; Igual\; sucede\; en\; el\; caso\; cuando\; el$ \backslash ,\; x$es\; muy\; pequeño\; y$ \backslash ,\; y$es\; muy\; grande.\; Si\; ambos\; son\; muy\; grandes\; o\; ambos\; son\; muy\; pequeños\; usted\; pueden\; encontrar\; un\; factor\; de\; escala\; según\; lo\; mencionado\; anterior.$

Observar que esta función es, generalmente el polivalente para las discusiones complejas. Esto es porque la rotación de un directo monopunto cualquier ángulo más 360 grados, o los radianes de $2\; \backslash \; de\; pi$, es igual que la rotación con el ángulo sí mismo. El $\backslash \; theta$ antedicho no es tan único: = \ theta del $\backslash \; del\; theta\_k\; +\; 2\; \backslash \; pi\; k$ para cualquier número entero $k$ haría también. La convención es sin embargo que cuando se toma $a^b$ como un solo valor él debe ser ése para el $k\; =\; 0$, IE. utilizamos (en magnitud) el valor posible más pequeño de la theta, de el cual tiene una magnitud, a lo más, el $\backslash \; pi$.

Álgebra de las matrices y de Banach

La definición de la función exponencial dada arriba se puede utilizar in extenso para cada álgebra de Banach, y particularmente para las matrices cuadradas (en este caso la función se llama la matriz exponencial). En este caso nosotros tienen

$\backslash ,\; \backslash \; e^\; \{x\; +\; y\}\; =\; e^x\; e^y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; xy\; =\; yx$
$\backslash ,\; \backslash \; e^0\; =\; 1$
$\backslash ,\; \backslash \; e^x$ es inversible con inverso $\backslash ,\; \backslash \; e^\; \{-\; x\}$
derivado de $\backslash ,\; \backslash \; e^x$ en punto $\backslash ,\; \backslash \; x$ es ese linear mapa que envía el $\backslash ,\; \backslash \; u$ al $\backslash ,\; \backslash \; ue^x$.

En el contexto de las álgebra no conmutativas de Banach, tales como álgebra de matrices o de operadores en el Banach o espacios de Hilbert, la función exponencial se considera a menudo en función de una discusión verdadera: $del\; \backslash ,\; \backslash \; f\; (t)\; =\; e^\; \{t\; A\}$ donde está el A un elemento fijo de la álgebra y del t es cualquier número verdadero. Esta función tiene el $importante\; del\; de\; las\; características\; \backslash ,\; \backslash \; f\; (s\; +\; t)\; =\; f\; f\; ($ del$$
de t) \, \ f (0) = $del$
1 \, \ f'(t) = A f (t)

En álgebra de mentira

El " el mapa exponencial que envía una álgebra de mentira al grupo de mentira que le dio lugar comparte las características antedichas, que explica la terminología. De hecho, puesto que el R es la álgebra de mentira del grupo de mentira de todos los números verdaderos positivos con la multiplicación, la función exponencial ordinaria para las discusiones verdaderas es un caso especial de la situación de la álgebra de mentira. Semejantemente, desde la álgebra de mentira M ( n, R ) de todos ajustar las matrices verdaderas pertenece al grupo de mentira de todas las matrices cuadradas inversibles, la función exponencial para las matrices cuadradas es un caso especial del mapa exponencial de la álgebra de mentira.

Función exponencial doble

considera también:

doble de la función exponencial La función exponencial del doble del del término puede tener dos significados:
una función con dos términos exponenciales, con diversos exponentes
un $de\; la\; función\; \backslash ,\; f\; (x)\; =\; a^\; \{a^x\}$; esto crece incluso más rápido que una función exponencial; por ejemplo, si = 10: f (−1) = 1.26, f (0) = 10, f (1) = 10¹⁰, f (2) = 10¹⁰⁰ = Googol ,…, f (100) = Googolplex .

Factorials crece más rápidamente que funciones exponenciales, pero funciones más lentamente que doble-exponenciales. El Fermat numera generado por el $\backslash ,\; F\; (m)\; =\; 2^\; \{los\; 2^m\}\; +\; 1$ y los números dobles de Mersenne generados por el $\backslash ,\; el\; milímetro\; (p)\; =\; 2^\; \{(2^p-1)\}-\; 1$ son ejemplos de funciones exponenciales dobles.

Características similares de $e$ y de la función $e^z$

La función $e^z$ no está en el C ( z ) (IE. no el cociente de dos polinomios con coeficientes complejos).

Para el $distinto\; \backslash \; \{a\_1,\dots \; a\_n\; \backslash \}$, $\backslash \; \{el\; e^\; \{a\_1\; z\},\dots \; e^\; \{\}\; \backslash \}\; del\; a\_n\; z$ de los números complejos de n está linear la independiente sobre el C ( z ).

La función $e^z$ es trascendental sobre el C ( z ).

Periodicidad

Para todos los números enteros n y x complejo:

$e^\; \{x\}\; =\; e^\; \{x\; \backslash ,\; \backslash \; P.\; \backslash ,\; 2i\; \backslash \; pi\; n\}$

Prueba:

Para todos los números enteros positivos n y el complejo a y x:

$a^\; \{x\}\; =\; e^\; \{\backslash \; a^\; del\; ln\; \{x\}\}\; =\; e^\; \{x\; \backslash \; ln\; a\}\; =\; e^\; \{x\; \backslash \; ln\; a\; \backslash ,\; \backslash \; P.\; \backslash ,\; 2i\; \backslash \; pi\; n\}$

.

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