En las matemáticas, la función gamma (representada por el &Gamma griego capitalizado del ''' de la letra ; el ''' ) es una extensión de la función factorial al los números complejos verdaderos de y . Para un z del número complejo con la parte real positiva se define cerca

$\ gamma (z) = \ int_0^ \ infty t^ {z-1} e^ {-} \, \ mathrm {d} t$ de t

cuál se puede ampliar al resto del plano complejo, excepto los números enteros no positivos.

¡Si el z es un número entero positivo, entonces $\ gamma del (z) = (z-1)! \,$ demostrar la conexión a la función factorial. La función gamma generaliza la función factorial para el no-número entero y los valores complejos del n .

La función gamma es un componente en varias funciones de la probabilidad-distribución, y como tal él es aplicable en los campos de la probabilidad y de las estadísticas, así como la combinatoria .

Definición

Definición principal

La notación Γ ( z ) es debido al Adrien-Marie Legendre . Si la parte real del z del número complejo es positiva (con referencia a > 0), entonces el $del ¡\ Gamma (z) = \ int_0^ \ infty t^ {z-1} e^ {-} \, de t despegue \, \!$ el converge absolutamente . Usar la integración por las piezas, uno puede demostrar ese $(z+1)=z del \, \ gamma (z) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,¡\, \, \, \, \, \, (1) \, \!$ .

¡Esta ecuación funcional generaliza el n de la relación! = × del n ; ¡( n -1)! de la función factorial. Podemos evaluar Γ (1) analítico: $\ gamma del (1) = \ int_0^ \ = infty \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} del e^ {- t} despegue - e^ {- t} |_0^k = -0 - (- 1) = 1$ .

Combinar estas demostraciones de dos relaciones cómo la función factorial es un caso especial de la función gamma: ¡ $\ gamma del l (n+1) = n \, \ gamma (n) = \ cdots = n! ¡\, \ gamma (1) = n! \,$

para todo el n de los números naturales .

Es una función meromórfica x con los postes simples en el x = el n ( n del − = 0, 1, 2, 3,…) y residuos ( n del n /de −1)^{!. Puede ser utilizado más lejos para ampliar Γ ( z ) a una función meromórfica definida para todo el z de los números complejos excepto del z ; = 0, −1, −2, −3,… por la continuación analítica . Es esta versión extendida que se refiere comúnmente como la función gamma.}

Definiciones alternativas

Las definiciones siguientes del producto infinito para la función gamma, las debido al Euler y al Weierstrass respectivamente, son válidas para todo el z de los números complejos que no sean números enteros o cero negativos:

$\ comenzar {alinear} ¡\ Gamma (z) &= \ lim_ {n \ \} infty \ frac {n! \; n^z} {z \; (de z+1) \ cdots (z+n)} \ \ \ Gamma (z) &= \ frac {e^ {- \ gamma z}} {z} \ ^ del prod_ {n=1} \ (1 + \ frac {z} {n} \ derecho) del ^ {- 1} del e^ {z/n} \ infty \ dejado \ \ extremo {alinear}$

donde γ es el Euler-Mascheroni constante.

Es directo demostrar que la definición de Euler satisface la ecuación funcional (1) arriba, como sigue. Con tal que el z no sea igual a 0, -1, -2,…

$\ comenzar {alinear} ¡\ Gamma (z+1) &= \ lim_ {n \ \} infty \ frac {n! \; n^ {z+1}} {(z+1) \; (de z+2) \ cdots (z+1+n)} \ \ el &= \ el lim_ {n \ \ infty} \ se fueron (z \; ¡\ frac {n! \; n^z} {z \; (z+1) \; (z+2) \ cdots (z+n)} \; \ del frac {n} {(z+1+n)} \ derecho) \ \ &= z \; \ Gamma (z) \; \ lim_ {n \ \} infty \ frac {n} {(z+1+n)} \ \ &= z \; \ Gamma (z) \ \ \ extremo {alinear}$

Características

General

Otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de la reflexión de Euler

${(\ pi z)}} \, \!$

y la fórmula de la duplicación

$\ Gamma (z) \; \ Gamma \ ido (z + \ frac {1} {2} \ derecho) = 2^ {1-2z} \; \ raíz cuadrado} \; {\ pi \ Gamma (2z). ¡\, \!$

La fórmula de la duplicación es un caso especial del teorema de la multiplicación

$\ Gamma (z) \; \ Gamma \ ido (z + \ frac {1} {m} \) derecho \; \ Gamma \ ido (z + \ frac {2} {m} \ derecho) \ cdots \ Gamma \ ido (z + \ frac {m-1} {m} \ derecho) = (2 \ pi) ^ {(m-1) /2} \; m^ {el 1/2 -} \; de MZ \ Gamma (MZ). ¡\, \!$

Una característica básica pero útil, que se puede considerar de la definición del límite, es:

$¡\ overline {\ = \ gamma (\) \, \! de la gamma (z)} del overline {z}$

Quizás el valor más bien conocido de la función gamma en una discusión del no-número entero está ¡ $del l \ (\ frac {1} {2} \ derecho), gamma \ dejado \, \! = \ raíz cuadrada {\ pi}$

cuál puede ser encontrado fijando el z =1/2 en las fórmulas de la reflexión o de la duplicación, usando la relación a la función beta dada abajo con el x = el y el = 1/2, o simplemente haciendo = \ raíz cuadrada {t} del $u de la substitución en la definición integral de la función gamma, dando por resultado un integral gausiano . Generalmente para los valores de número entero impares del n tenemos: \ gamma \ ido (\ frac {n} {2} +1 \ derechos) = \ raíz cuadrado} \, \ frac {n {\ pi!!}{2^ {(n+1)/2}} ( n impar)$

¡donde n !! denota el doble factorial.

Los derivados de la función gamma se describen en términos de función de Polygamma. Por ejemplo: $del l \ z)= del Gamma'(\ gamma (z) \ psi_0 (z). ¡\, \!$

La función gamma tiene un poste de la orden 1 en el del z ; = n del − para cada n del número natural ; el residuo allí se da cerca $del l \ operatorname {Res} (\ gamma, - n) = \ frac {(- 1) ^n} {n!}. ¡\, \!$

El teorema de Bohr-Mollerup indica que entre todas las funciones ampliar las funciones factoriales a los números verdaderos positivos, sólo la función gamma es el Registro-convexo, es decir, su logaritmo natural es el convexo. $del l \ gamma (z+1)=z \ gamma (z) \,$ porque:

$\ comenzar {alinear} \ Gamma (z+1) &= \ int_0^ \ infty t^ {z+1-1} e^ {-} \, de t \ del mathrm {d} t \ \ &= \ int_0^ \ infty t^ {z} e^ {-} \, de t \ del mathrm {d} t \ \ \ extremo {alinear}$

Y con la integración por las piezas:

$\ comenzar {alinear} &= \ ido t^ {} \ frac de z {1} {\ registro (e^ {- 1})}(e^ {- 1}) ^ {t} \ right_ {0} ^ {\ infty} + \ int_0^ \ infty zt^ {z-1} e^ {-} \, de t \ del mathrm {d} t \ \ &= \ underbrace {- ^ del _ del e^ del t^ {z} {- t} 0} {{\ infty}} _ {=0-0} + \ int_0^ \ infty zt^ {z-1} e^ {-} \, de t \ del mathrm {d} t \ \ &= z \ int_0^ \ infty t^ {z-1} e^ {-} \, de t \ del mathrm {d} t \ \ &= z \ gamma (z) \ extremo {alinear}$

El derivado de la función gamma es:

${d \ sobre dx} \, \ gamma (x) = \ int_0^ \ infty t^ {x-1} e^ {-} \ ln t \, de t dt$

Función del pi

Una notación alternativa que fueron introducidas original por el gauss y que se utiliza a veces es la función pi, que en términos de función gamma está

\ pi del l (z) = \ gamma (z+1) = z \; ¡\ Gamma (z), \, \!

de modo que ¡ $\ pi del l (n) = n! ¡\!$ .

Usar la función del pi la fórmula de la reflexión adquiere la forma $\ pi del l (z) \; ¡\ Pi (- z) = \ frac {\ pi z} {\ = \ frac {1} del pecado (\ pi z)} {\} \, \! del operatorname {sinc} (z)$

donde está la función el sinc del normalizada de Sinc, mientras que el teorema de la multiplicación adquiere la forma

$\, \ pi \ ido (\ frac {z-1} {m} \ derecho) \ cdots \ pi \ (\ frac {z-m+1} {m} \ derecho)$

dejado

\ ido (\ frac {(2 \ pi) ^m} {2 \ pi m} \ derecho) ^ {el 1/2} \, m^ {-} de z \, \ pi (z). ¡\, \!

También encontramos a veces ¡ $\ pi del l (z) = \, \! del frac {1} {\ pi (z)} \$

cuál es una función entera, definida para cada número complejo. Que el π ( z ) es entero lo exige no tiene ninguÌn poste, así que Γ ( z ) no tiene ninguÌn cero .

Relación a otras funciones

En el primer integral arriba, que define la función gamma, los límites de integración son fijos. Las funciones gammas incompletas superior y más bajo son las funciones obtenidas permitiendo que (respectivamente) el límite de integración más bajo o superior varíe.
La función gamma es relacionada con la función beta por el de la fórmula

\ Beta (x, y)= \ frac {\ gamma (x) \; \ Gamma (y)} {\ gamma (x+y)}. ¡\, \!

El derivado del logaritmo de la función gamma se llama la función de la digamma; derivados más altos son las funciones de Polygamma
El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito es las sumas gausianas al tipo de la suma exponencial .
La función gamma recíproca es una función entera y se ha estudiado como asunto específico.
La función gamma también aparece en una relación importante con la función de zeta de Riemann, ζ ( z ).

\ pi^ {- z/2} \; \ Gamma \ ido (\ frac {z} {2} \ derecho) \ zeta (z) = \ pi^ {- \ 2}} \; del frac {1-z} { \ Gamma \ ido (\ frac {1-z} {2} \) derecho \; \ zeta (1-z). de

y también en la fórmula elegante siguiente:

del  \ zeta (z) \; \ Gamma (z) = \ int_ {0} ^ {\} infty \ frac {u^ {z-1}} {e^u - 1} \; \ mathrm {d} u \, \!.

que es solamente válido para el re (z) > 1.

Diagramas

Valores particulares

Artículo principal del : Valores particulares de la función gamma

$(del 1/2) {\ pi} 1.772 \ \ ¡\ Gamma (1) &= 0! del &= 1 \ \ \ 2} y \ aproximadamente de la gamma (3/2) &= \ frac {\ raíz cuadrada {\ pi}} {0.886 \ \ ¡\ Gamma (2) &= 1! del &= 1 \ \ \ 4} y \ aproximadamente de la gamma (5/2) &= \ frac {3 \ raíz cuadrada {\ pi}} {1.329 \ \ ¡\ Gamma (3) &= 2! del &= 2 \ \ \ 8} y \ aproximadamente de la gamma (7/2) &= \ frac {15 \ raíz cuadrada {\ pi}} {3.323 \ \ ¡\ Gamma (4) &= 3! del &= 6 \ \ \ extremo {arsenal}$

Aproximaciones

Los valores complejos de la función gamma se pueden computar numéricamente con la precisión arbitraria usar la aproximación de Stirling o la aproximación de Lanczos.

Aplicando la integración por las piezas al integral de Euler, la función gamma puede también ser escrita

¡ ¡ $\ gamma del l (z) = e^ del x^z {- x} \ ^ del sum_ {n=0} \, infty \ del frac \! {x^n} {z (z+1) \ cdots (z+n)} + \ int_x^ \ infty e^ {- t} t^ {z-1} \ mathrm {d} t \$

con referencia a donde, si (el z ) se ha reducido al intervalo 2, el integral pasado es más pequeño que del x ; exp (- x ) < 2^{- N}. Así eligiendo un apropiado x, la función gamma se puede evaluar a los pedacitos del N de la precisión con la serie antedicha. Si el z es racional, el cómputo se puede realizar con el que parte binario O a tiempo (el M ( N ) (del registro ( N ) ²) donde está el tiempo el M ( N ) necesario multiplicar dos el N - números de pedacito.

Para las discusiones que son múltiplos de número entero de 1/24 la función gamma se puede también evaluar rápidamente usar iteraciones Aritmético-geométricas del medio (véase los valores particulares de la función gamma ).

Porque la gamma y las funciones factoriales crecen tan rápido para las discusiones moderado-grandes, muchos ambientes computacionales incluyen una función que vuelva el logaritmo natural de la función gamma; esto crece mucho más lentamente, y cálculos combinatorios tiene en cuenta el agregar y el restar de registros en vez de multiplicar y de dividir valores muy grandes. La función de la digamma, que es el derivado de esta función, está también comúnmente - considerado.

Ver también

style=" del
Función beta
Teorema de Bohr-Mollerup
Función de la digamma
Función gamma elíptica
factorial
Distribución gamma
constante del gauss
Función gamma incompleta
Función gamma multivariante
K-símbolo de Pochhammer
Función de Polygamma
Aproximación de Stirling
Función de Trigamma

Zenithic

Marriage Protection Act of 2007

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