En las matemáticas, una función homogénea es una función con comportamiento multiplicativo del escalamiento: si la discusión es multiplicada por un cierto factor, después el resultado es multiplicado por una cierta energía de este factor. Los ejemplos son dados por los polinomios homogéneos

Debajo también se dan a algunas generalizaciones de esta definición, particularmente homogeneidad positiva o capacidad de conversión a escala positiva .

Definición formal

Formalmente, dejar el f del : V \ rarr W \ qquad \ qquad ser una función entre dos espacios de vector sobre un F \ qquad \ qquad del campo .

Nosotros dicen que f \ qquad \ qquad es homogéneo de grado k \ qquad \ qquad si ecuación

f (\ alfa \ mathbf {v}) = \ alpha^k f (\) \ qquad \ qquad (*) del mathbf {v} asimiento para todo el \ alfa \ isin F \ qquad \ qquad y \ mathbf {} \ isin V \ qquad \ qquad de v.

Algunas características

Suponer que el ^n \ el rarr \ el mathbb de f:\mathbb del del de la función {R} {R} ^m (es decir trazando los números verdaderos n a los números verdaderos del m ) es el y homogéneo diferenciables del k \ qquad \ qquad del grado. Entonces los teoremas siguientes sobre el f son verdades:
Los derivados parciales de primer orden del f son funciones homogéneas del k-1 \ qquad \ qquad del grado.
El f de la función satisface el teorema de la función homogénea de Euler del (también llamado el lema de Euler), que indica ese \ mathbf {} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) \ (\ mathbf {x} del x_i \ del frac {\ f parcial equivalentes \ del sum_} de x {i=1} del ^n {\ x_i parcial})

kf (\) \ qquad \ qquad del mathbf {x}

Generalizaciones

A veces, un satisfying de la función (*) para todo el positivo \ alpha reputa el positivamente homogéneo del del grado k. (Esto tiene sentido solamente si hay una noción razonable del " positivity" definido, por ejemplo en los campos pedidos )

Una definición similar, dada generalmente para las funciones que toman solamente a valores positivos de, la homogeneidad positiva o la capacidad de conversión a escala positiva es definida tomando al el valor absoluto del factor. Por ejemplo, el Seminorms es (positivamente) homogéneo del grado 1. (en ese caso, uno debe tener un valor absoluto definido en el campo.)

Más generalmente, un f de la función reputa homogéneo si el f de la ecuación (\ alfa \ mathbf {v}) = g (\ alfa) f (\ mathbf {v}) se sostiene para un cierto que aumenta terminantemente el positivo g de la función de . (Esto, alternadamente, requiere una relación de orden en el sistema de escalares.)

Aplicaciones

Resulta que si está dado una ecuación diferencial de la forma ¡I del

l (x, y) \, dx + J (x, y) \, dy = 0, \, \!

donde están ambas funciones I y J homogéneas del mismo grado, es posible substituir z = y/x y la ecuación llegará a ser separable.

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