En las matemáticas, si ƒ es una función A a el B, entonces una función inversa para el ƒ es una función en la dirección opuesta, del B a el A, con la característica que un viaje de ida y vuelta (una composición ) A a del B a del A y/o de del B a el A a el B vuelve cada elemento del sistema inicial a sí mismo. No cada función tiene lo contrario; los que lo hacen se llaman el inversible.

Por ejemplo, dejar el ƒ ser la función que convierte una temperatura en el cent3igrado de los grados a una temperatura en el Fahrenheit de los grados: $f\; del\; (C)\; =\; \backslash \; tfrac95\; C\; +\; 32;\; ¡\backslash ,\; \backslash !$ entonces su función inversa convierte los grados Fahrenheit a los grados Celsius: = \ tfrac59 (F del f^ del $del\; \{-\; 1\}\; (f)\; -\; 32).\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

O, suponer el ƒ asigna a cada niño en una familia de tres el año de su nacimiento. Una función inversa nos diría qué niño nació en un año dado. Sin embargo, si la familia tiene gemelos (o tríos) entonces no podemos saber cuál al nombre por su año común del nacimiento. También, si nos dan un año en el cual no hay niño entonces nosotros no puede nombrar a un niño. Pero si cada niño nació en un año separado, y si restringimos la atención a los tres años en los cuales un niño nació, después tenemos una función inversa. Por ejemplo, el

Definiciones

Dejar el ƒ ser una función cuyo dominio es el fijado X de, y cuya gama es el Y del sistema. Entonces el inverso de ƒ es la función ƒ^-1 con el Y del dominio y el X de la gama, definido por la regla siguiente: $del\; \backslash \; texto\; \{si\}\; f\; (f^\; de\; x)\; =\; de\; y\; \backslash \; del\; texto\; \{,\; entonces\}\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; x\; \backslash \; texto\; \{.\}¡\backslash ,\; \backslash !$

Así, una función inversa identifica únicamente el x de la entrada de otra función basada solamente en su y de la salida, para todo el &isin del y ; Y . No todas las funciones tienen lo contrario. Para que esta regla sea appliable, cada   del y del elemento; ∈   El Y debe corresponder a exactamente un   del x del elemento; ∈   X . Un ƒ de la función con esta característica se llama uno por, o el información-preservar, o una inyección .

Por ejemplo, si el ƒ ( x ) = el y = el x ², cada elemento en el Y correspondiera a dos diversos elementos en el X ( x del ±), y por lo tanto el ƒ no sería inversible. Más exacto, el cuadrado x no es inversible porque es imposible deducir de su salida la muestra de su entrada. Tal función se llama no-inyectiva o información-perdidosa. Notar que ni la raíz cuadrada ni la función principal de la raíz cuadrada es lo contrario del x ² porque la primera no es el de un solo valor, y el segundo vuelve - el x cuando el x es negativo.

Lo contrario en matemáticas más altas

La definición dada arriba se adopta comúnmente en el cálculo . ¡En matemáticas más altas, el $f\; del\; de\; la\; notación\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; X\; \backslash \; a\; Y\; \backslash ,\; \backslash !$ significa el " el ƒ es una función que traza elementos de un X del sistema a los elementos de un " del Y del sistema;. La fuente, X, se llama el dominio del ƒ, y la blanco, Y, se llama el Codomain . El codomain contiene la gama de ƒ como subconjunto, y se considera parte de la definición del ƒ.

Al usar codomains, lo contrario de una función se requiere para tener el Y del dominio y X del codomain. Para que lo contrario sea definido en todo el Y, cada elemento del Y debe mentir en la gama del ƒ de la función. Una función con esta característica se llama sobre o un Surjection . Así, una función con un codomain es inversible si y solamente si es una por y sobre. Tal función se llama una correspondencia una por o un Bijection, y tiene la característica que cada elemento corresponde a exactamente un elemento.

Lo contrario y composición

Si el ƒ es una función inversible con el X del dominio y el Y de la gama, entonces el f^ del $del$

l {- 1} \ se fue (\, f (x) \, \ derecho) = x \ el texto {, para cada} x \ en X \ texto {.}

Esta declaración es equivalente al primera de las definiciones sobre-dadas de lo contrario, y llega a ser equivalente a la segunda definición si Y coincide con el codomain del ƒ. Usar la composición de las funciones podemos reescribir esta declaración como sigue:

$f^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; f\; =\; \backslash \; \_X\; del\; mathrm\; \{identificación\}\; \backslash texto\{,\}$

donde está la función el X del id _{de identidad en el X del sistema. En la teoría de la categoría, esta declaración se utiliza como la definición de un inverso Morphism .}

Si pensamos en la composición como clase de multiplicación de funciones, esta identidad dice que lo contrario de una función es análogo a lo contrario multiplicativo . Esto explica el origen de la notación ƒ^-1.

Nota sobre la notación

La notación potencia para lo contrario se puede confundir a veces con otras aplicaciones de exponentes, especialmente al ocuparse las funciones hiperbólicas trigonométricas de y .

En ƒ⁻¹ ( x ), el " potencia; − 1" no es un exponente. Una notación similar se utiliza en los sistemas dinámicos para las funciones iteradas por ejemplo, ƒ² denota dos iteraciones del ƒ de la función; si, entonces, o x + 2.

En cálculo, el ƒ ^{( n )} , con paréntesis, denota el derivado del th del n de un ƒ de la función.

En trigonometría, por razones históricas, el de sin² ( x ) hace generalmente medio de el cuadrado del pecado ( x ). Por ejemplo, las expresiones

$\backslash \; sin^2\; x\; \backslash \; patio\; \backslash \; texto\; \{y\}\; \backslash \; patio\; (\backslash pecadox)^2$

representar la misma cosa, el primer ser una abreviatura conveniente para el segundo. Sin embargo, las expresiones

$\backslash \; sin^\; \{-\; 1\}\; x\; \backslash patio\backslash \; texto\; \{y\}\; \backslash \; patio\; (\backslash \; x)^\; del\; pecado\; \{-\; 1\}$

es el diverso . El primer denota lo contrario a la función del seno (realmente lo contrario parcial, considera abajo). Para evitar la confusión, una función trigonométrica inversa es indicada a menudo por el " del prefijo; arc". Por ejemplo el seno inverso típicamente se llama el arco de seno : ¡

$\backslash \; sin^\; \{-\; 1\}\; x\; =\; \backslash \; arcsin\; x\; =\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash ,\; del\; asin\; X.\; \backslash ,\; \backslash !$

La función es lo contrario multiplicativo al seno, y se llama la cosecante . Es generalmente csc  denotado; x : ¡$del\; (\backslash \; x)^\; del\; pecado\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; csc\; x.\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pecado\; x\}$

Características

Unicidad

Si una función inversa existe para un ƒ dado de la función, es única.

Simetría

Hay una simetría entre una función y su lo contrario. Específicamente, si lo contrario del ƒ es ƒ^-1, después lo contrario de ƒ^-1 es el ƒ original de la función. En símbolos: el $del$

l \ comienza {alinear} y \ texto {si} &f^ {- 1} \ circ f = \ del mathrm {identificación} del _X \ del texto {,} \ \ y \ &f del texto {entonces} \ f^ del circ {- 1} = \ _Y \ texto del mathrm {identificación} {.} \ extremo {alinear}

Esta declaración es una consecuencia obvia de la deducción sobre-explicada que, para que el ƒ sea inversible, debe ser inyectiva (primera definición de lo contrario) o bijective (segunda definición). La característica de la simetría se puede expresar sucinto por la fórmula siguiente: ¡$del$

l \ (f^ {- 1} \ derecho) ^ dejado {- 1} = F. \, \!

Lo contrario de una composición

Lo contrario de una composición de funciones es dado por el $del\; de\; la\; fórmula\; (g)^\; de\; f\; \backslash \; del\; circ\; \{-\; 1\}\; =\; g^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; el\; f^\; del\; circ\; \{-\; 1\}$ Notar que la pedido del ƒ y el g se han invertido; para deshacer el g seguido por el ƒ, debemos primero deshacer el ƒ y en seguida deshacer el g .

Por ejemplo, dejar, y dejar. Entonces la composición es la función que primero multiplica cerca tres y después agrega cinco: $del\; (f\; \backslash \; circ\; g)\; (x)\; =\; 3x\; +\; 5$ Para invertir este proceso, debemos primero restar cinco, y después dividimos por tres: $del\; (=\; \backslash \; tfrac13\; (y\; del\; g)^\; de\; f\; \backslash \; del\; circ\; \{-\; 1\}\; (y)\; -\; 5)$ Ésta es la composición .

Uno mismo-lo contrario

Si el X es un sistema, después la función de identidad en el X es su propio lo contrario: = \ mathrm {identificación} _X del _X^ del $\backslash \; del\; mathrm\; del$

l {identificación} {- 1}

Más generalmente, una función es igual a su propio lo contrario si y solamente si la composición es igual al x del id_{. Tal función se llama una involución .}

Lo contrario en cálculo

el cálculo Solo-variable se refiere sobre todo a las funciones que trazan los números verdaderos a los números verdaderos. Tales funciones se definen a menudo con las fórmulas por ejemplo: ¡$f\; del\; (x)\; =\; (2x\; +\; 8)^3.\; \backslash ,\; \backslash !$ Un ƒ de la función de los números verdaderos a los números verdaderos posee lo contrario mientras sea uno por, es decir mientras el gráfico de la función pasa el la linea horizontal prueba .

La tabla siguiente demuestra varias funciones estándar y sus lo contrario:

Fórmula para lo contrario

Un acercamiento a encontrar una fórmula para ƒ^-1, si existe, es solucionar la ecuación para el x . Por ejemplo, si el ƒ es la función ¡$f\; del$

l (x) = (2x + 8)^3 \, \!

entonces debemos solucionar la ecuación para el x : el $del$

l \ comienza {alinear} y y = (2x+8)^3 \ \ \ raíz cuadrada {y} y = 2x + 8 \ \ \ raíz cuadrada {y} - 8 y = 2x \ \ \ dfrac {\ raíz cuadrada {y} - 8} {2} y = X. \ extremo {alinear}

Así la función inversa ƒ^-1 es dada por la fórmula = \ dfrac del $f^\; del$

l {- 1} (y) {\ raíz cuadrada {y} - 8} {2}. ¡\, \!

Lo contrario de una función no se puede expresar a veces por una fórmula. Por ejemplo, si el ƒ es la función ¡$f\; del$

l (x) = x + \, \, \! del pecado x

entonces el ƒ es uno por, y por lo tanto posee una función inversa ƒ^-1. No hay fórmula simple para este lo contrario, puesto que la ecuación no se puede solucionar algebraico para el x .

Gráfico de lo contrario

Si el ƒ y ƒ^-1 son lo contrario, entonces el gráfico de la función ¡

l $y\; =\; f^\; \{-\; 1\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !$

está igual que el gráfico de la ecuación $x\; del$

l = f (y). ¡\, \!

Esto es idéntico a la ecuación que define el gráfico del ƒ, salvo que el papeles del x y del y se han invertido. Así el gráfico de ƒ^-1 se puede obtener del gráfico del ƒ cambiando las posiciones de las hachas del x y del y . Esto es equivalente al que refleja el gráfico a través de la línea .

Lo contrario y derivados

Un ƒ de la función continua es uno por (y por lo tanto inversible) si y solamente si es que aumenta o que disminuye (sin los máximos o los mínimos locales ). Por ejemplo, la función ¡$f\; del$

l (x) = x^3 + x \, \!

es inversible, desde el derivado es siempre positivo.

Si el ƒ de la función es el diferenciable, después el ƒ^-1 inverso será diferenciable mientras. El derivado de lo contrario es dado por el teorema de función inversa : $del\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dy\}\; \backslash \; f^\; dejado\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash \; =\; derecho\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\text{'}\backslash \; dejado\; (f^\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash \; derecho)\}.$ Si fijamos, después la fórmula antedicha se puede escribir = \ frac {1} del $\backslash \; del\; frac\; del\; \{dx\}\; \{dy\}\; \{dy/dx\}.$ Este resultado sigue de la regla de cadena (véase el artículo sobre las funciones inversas y la diferenciación ).

El teorema de función inversa se puede generalizar a las funciones de varias variables. Específicamente, una función diferenciable es inversible en una vecindad de un p del punto mientras la matriz de Jacobian del ƒ en el p sea el inversible. En este caso, el Jacobian de ƒ^-1 en el ƒ ( p ) es la matriz inverso del Jacobian del ƒ en el p .

Generalizaciones

Lo contrario parciales

Incluso si un ƒ de la función no es uno por, puede ser posible definir lo contrario parcial del ƒ por el que restringe el dominio. Por ejemplo, la función ¡$f\; del$

l (x) = x^2 \, \!

no es uno por, desde entonces. Sin embargo, la función llega a ser una por si restringimos al dominio, en este caso = \ raíz cuadrada {y} del $f^\; del$

l {- 1} (y).

(Si en lugar de otro restringimos al dominio, después lo contrario es la negativa de la raíz cuadrada del x .) Alternativo, no hay necesidad de restringir el dominio si somos contentos con lo contrario que es una función polivalente : = \ P. \ raíz cuadrada {y} del $f^\; del$

l {- 1} (y).

A veces este lo contrario polivalente se llama lo contrario completo del ƒ, y las porciones (tales como √ x y −√ el x ) se llama las ramas . La rama más importante de una función polivalente (e. la raíz cuadrada positiva) se llama la rama principal, y su valor en el y se llama el valor principal de ƒ^-1 ( y ).

Para una función continua en la línea verdadera, una rama se requiere entre cada par de los extremos locales . Por ejemplo, lo contrario de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (véase el cuadro a la derecha).

Estas consideraciones son particularmente importantes para definir lo contrario de las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función del seno no es una por, desde entonces ¡= \ pecado del $\backslash \; del\; pecado\; del$

l (x + 2 \ pi) (x) \, \!

para cada verdadero x (y más generalmente para cada n del número entero ). Sin embargo, el seno es uno por en el intervalo, y lo contrario parcial correspondiente se llama el arco de seno . Esto se considera la rama principal del seno inverso, así que el valor principal del seno inverso es siempre en medio - ^π ⁄ ₂ y ^π ⁄ ₂. La tabla siguiente describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa:

Lo contrario izquierdos y derechos

Si ƒ: El Y del → del X, lo contrario izquierdo para el ƒ (o la contracción del del ƒ) es una función tales que $g\; \backslash \; circ\; del$

l f = \ _X del mathrm {identificación}. ¡\, \!

Es decir, el g de la función satisface la regla ¡$del$

l \ texto {si} f (x) = y \ texto {, entonces} g (y) = X. \, \!

Así, el g debe igualar lo contrario del ƒ en la gama de ƒ, pero puede tomar cualquier valor para los elementos del Y no en la gama. Un ƒ de la función tiene lo contrario izquierdo si y solamente si es inyectivo.

Una derecha inverso del para el ƒ (o la sección del del ƒ) es una función tales que $f\; \backslash \; circ\; del$

l h = \ _Y del mathrm {identificación}. ¡\, \!

Es decir, el h de la función satisface la regla ¡$del$

l \ texto {si} h (y) = x \ texto {, entonces} f (x) = Y. \, \!

Así, el h ( y ) puede ser los elementos uces de los del x que trazan al y bajo ƒ. Un ƒ de la función tiene lo contrario correcto si y solamente si es surjective (sin embargo el construir tal lo contrario en general requiere el axioma de la opción ).

Lo contrario que es lo contrario izquierdo y derecho debe ser único; si no no. Asimismo, si el g es lo contrario izquierdo para el ƒ entonces ƒ no puede ser lo contrario correcto para el g ; y si ƒ es lo contrario correcto para el g de g del entonces no es necesario lo contrario izquierdo para el ƒ.

Preimages

Si ƒ: El Y del → del X es cualquier función (no no necesario inversible), el preimage (o la imagen inversa ) de un elemento es el sistema de todos los elementos del X que tracen al y : el $f^\; del$

l {- 1} (y) = \ se fue \ {x \ en X: f (x) = y \ derecho \}. ¡\, \!

El preimage del y se puede pensar en como la imagen y bajo lo contrario completo (polivalente) del f de la función.

Semejantemente, si el S es cualquier subconjunto Y, el preimage del S es el sistema de todos los elementos del X que tracen al S : el $f^\; del$

l {- 1} (s) = \ se fue \ {x \ en X: f (x) \ en S \ derecho \}. ¡\, \!

El preimage de un solo elemento a veces se llama la fibra del del y . Cuando el Y es el sistema de números verdaderos, es común referir a ƒ^-1 ( y ) pues un nivel determinado del .

Ver también

Función trigonométrica inversa
Logaritmo
Teorema de función inversa
Funciones inversas y diferenciación
Relación inversa
Elemento inverso

.

Zenithic

Dalków, Lower Silesian Voivodeship

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