Las funciones olomorfas son el objeto central del estudio del análisis complejo ; son las funciones definidas en un subconjunto abierto del C del plano del número complejo con los valores en el C que son el Complejo-diferenciable en cada punto. Esto es una condición mucho más fuerte que el differentiability verdadero e implica que la función es el infinitamente a menudo diferenciable y se puede describir por su serie de Taylor . La función analítica del del término es de uso frecuente alternativamente con el " function" olomorfo;, aunque nota que el término anterior tiene varios otros significados. Una función que es en general plano complejo olomorfo se llama una función entera . El " de la frase; olomorfo en un del punto un " de ; los medios no apenas diferenciables en el un, pero diferenciable por todas partes dentro de algún disco abierto centraron en el un en el plano complejo.

Definición

Si el U es un abrir el subconjunto de del C y del f : &rarr del U ; El C es una función compleja en el U, decimos que el f es el diferenciable complejo en un z ₀ del punto del U si el límite = \ lim_ {z \ rightarrow z_0} {f del $f\text{'}(z\_0)\; del$

l (z) - f (z_0) \ sobre z - z_0}

existe.

El límite aquí se asume el control todas las secuencias de números complejos del que se acercan al z ₀, y para todas tales secuencias el cociente de diferencia tiene que acercarse al mismo   del f del número; '( z ₀). Intuitivo, si el f es diferenciable complejo en el z ₀ y nos acercamos al z ₀ del punto del r de la dirección, después las imágenes se acercará al f ( z ₀) del punto del   del f de la dirección; '( z ₀) r, donde está la multiplicación el producto pasado de números complejos. Este concepto de differentiability comparte varias características con el differentiability verdadero : es el linear y obedece el producto, el cociente y las reglas de cadena.

Si el f es diferenciable complejo en el cada z ₀ del punto de en el U, decimos que el f es olomorfo en U . Decimos que el f es olomorfo en el z ₀ del punto si es olomorfo en alguna vecindad del z ₀. Decimos que el f es olomorfo en algún no-abre el determinado A si es olomorfo en un que contiene determinado abierto A .

La relación entre el differentiability verdadero y el differentiability complejo es la siguiente. Si una función compleja f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) es olomorfa, después u y v tienen primeros derivados parciales con respecto a x y a y, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. El inverso no es verdad. Un inverso simple es que si u y v tienen derivados parciales del primer continuo y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, después f es olomorfo. Un inverso más satisfying, que es mucho más duro de probar, es el teorema de Looman-Menchoff: si f es continuo, u y v tienen primeros derivados parciales, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, después f es olomorfo.

Terminología

El " de la palabra; holomorphic" fue introducido por dos estudiantes de s de Cauchy de los ', Briot (1817 - 1882) y el ramo (1819 - 1895), y deriva del " griego del significado del őλo (holos del ); entire", y " del significado del μoρφń (morphe del ); form" o " appearance".

Hoy, muchos matemáticos prefieren el " del término; function" olomorfo; al " function" analítico;, como estes 3ultimo está un concepto más general. Esto está también porque un resultado importante en análisis complejo es que cada función olomorfa es analítica complejo, un hecho que no siga directo de las definiciones. El " del término; analytic" está sin embargo también en uso amplio.

Características

Porque la diferenciación compleja es linear y obedece el producto, el cociente, y las reglas de cadena, las sumas, los productos y las composiciones de funciones olomorfas son olomorfos, y el cociente de dos funciones olomorfas es olomorfo dondequiera que el denominador no sea cero.

Si uno identifica el C con el 2 del ^{del R, después las funciones olomorfas coinciden con esas funciones de dos variables verdaderas con los primeros derivados continuos que solucionan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales}

Cada función olomorfa se puede separar en sus piezas verdaderas e imaginarias, y cada uno de éstos es una solución de la ecuación de Laplace en el R² . Es decir si expresamos un olomorfo f ( z ) de la función como u ( x,     del y ); +  i&thinsp del ; v ( x,   el u del y ) y el v son las funciones armónicas

En regiones donde no está funciones el primer derivado cero, olomorfas está el conformal en el sentido que preservan ángulos y la forma (pero no tamaño) de pequeñas figuras.

La fórmula integral de Cauchy indica que cada función olomorfa dentro de un disco es determinada totalmente por sus valores en el límite del disco.

Cada función olomorfa es analítico. Es decir, un olomorfo f de la función tiene derivados de cada orden en cada del punto un en su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en el un en una vecindad del un . De hecho, el f coincide con su serie de Taylor en el que un en cualquier disco se centró en ese punto y la mentira dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el sistema de funciones olomorfas en un sistema abierto es un anillo comutativo y un espacio de vector complejo . De hecho, es un espacio de vector topológico convexo localmente, con los seminorms siendo el suprema en los subconjuntos del acuerdo.

Ejemplos

Todas las funciones polinómicas en el z con los coeficientes complejos son olomorfas en el C, y están tan el seno, el coseno y la función exponencial . (Las funciones trigonométricas son de hecho estrechamente vinculadas a y se pueden definir vía la función exponencial usar la fórmula de Euler). La rama principal de la función compleja del logaritmo es olomorfa en el determinado C - {&isin del z ; R : &le de z; 0}. La función de la raíz cuadrada se puede definir como $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{z\}\; del\; =\; el\; e^\; \{\backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; registro\; z\}$ y es por lo tanto olomorfo dondequiera que sea el registro del logaritmo ( z ). El z de la función 1 está olomorfo prendido {el z : &ne del z ; 0}.

Los ejemplos típicos de las funciones que no son olomorfas son conjugación compleja y tomar al la parte real .

Varias variables

Una función analítica compleja varias variables complejas se define para ser analítica y olomorfa en un punto si es localmente extensible (dentro de un Polydisk, de un producto de cartesiano de los discos centrados en ese punto) como serie de energía convergente en las variables. Esta condición es más fuerte que las ecuaciones de Cauchy-Riemann; de hecho puede ser indicado como sigue:

Una función de varias variables complejas es olomorfo si y solamente si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y está localmente el Cuadrado-integrable.

Extensión al análisis funcional

considera también:

Infinito-dimensional de la olomorfia El concepto de una función olomorfa se puede ampliar a los espacios infinito-dimensionales del análisis funcional . Por ejemplo, el Fréchet o el derivado de Gâteaux se puede utilizar para definir una noción de una función olomorfa en un espacio de Banach sobre el campo de números complejos.

Lectura adicional

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