Ejemplos y un contraejemplo

para cualquier X del sistema, el X del id _{de la función de identidad en el X es surjective.
El f de la función:     del R ; →  El R definido por el 2 x del f ( x ) = + 1 es surjective (e incluso bijective), porque para cada y del número verdadero tenemos f ( x ) = el y donde está el x (el y - 1)/2.
El ln de la función del logaritmo natural :   (0, +∞)   →  El R es surjective.
El f de la función:     del Z ; →  el {0.3} definido por el f ( x ) = MOD 4 del del x es surjective.
El g de la función:     del R ; →  R definido por el   de g ( x ) del ; = el x ² es el no surjective, porque (por ejemplo) no hay x del número verdadero tales que   del x ²; =  − 1. Sin embargo, si se define el codomain pues el entonces '' g '' es surjective.}

Existe siempre un " de la función; reversible" por un surjection

Cada función con una derecha inverso es un surjection. El inverso es equivalente al axioma de la opción . Es decir, opción asumida, un f de la función:     del X ; →  El Y es surjective si y solamente si existe allí un g de la función:     del Y ; →  X tales que, para cada $y\; \backslash \; en\; Y$ $f\; del$

l (g (y)) = y \, (el g se puede deshacer por el f ) eso es un g de la función tales que   del f ; o  el g iguala la función de identidad en el Y (cf. con la definición de la función inversa ).

Observar que el g puede no ser un completo inverso del f porque la composición en la otra orden,   de g del ; o  el f, puede no ser la identidad en el X . Es decir f puede deshacer o " " reverso del ; el g, pero se puede invertir no no necesario por él. Surjections no es siempre el inversible ( Bijective).

Por ejemplo, en la primera ilustración, hay un cierto g de la función tales que el g (C) = 4 . Hay también un cierto f de la función tales que el f (4) = C . No importa que el g (C) puede también el igual 3; importa solamente ese " del f ; reverses" g .

Otras características

si el f y el g son ambo surjective, entonces   del f ; o  el g es surjective.
Si   del f ; o  el g es surjective, después el f es surjective (solamente g puede no ser).
f :     del X ; →  El Y es surjective si y solamente si, dado cuaesquiera funciones el g, h :   del Y ; →  Z, siempre que   de g del ; o    del f ; =   del h ; o  f, entonces   de g del ; =  h . Es decir las funciones surjective son exacto el Epimorphisms en el ''' determinado del ''' de la categoría de sistemas.
Si f :     del X ; →  El Y es surjective y el B es un subconjunto Y, entonces f (  ^{del f ; − 1} ( B ))  =  B . Así, el B se puede recuperar de su   ^{del f de Preimage ; − 1} ( B ).
Para cualquie h de la función:     del X ; →  El Z allí existe un f del surjection:   del X ; →  Y y g de la inyección :   del Y ; →  Z tales que   del h ; =   de g del ; o  f . Para ver esto, definir el Y para ser el   ^{del h de los sistemas; − 1} ( z ) donde está el z en el Z . Estos sistemas son desunen y reparten el X . Entonces el f lleva cada x al elemento del Y que lo contiene, y el g lleva cada elemento del Y al punto en el Z a el cual el h envía sus puntos. Entonces el f es surjective puesto que es un mapa de la proyección, y el g es inyectivo por definición.
Derrumbándose todas las discusiones que trazan a una imagen fija dada, cada surjection induce un bijection definida en un cociente de su dominio. Más exacto, cada f del surjection: El B del → del A se puede descomponer en factores como proyección seguida por un bijection como sigue. Dejar el A /~ ser las clases de equivalencia del A bajo relación de equivalencia siguiente: y del ~ del x si y solamente si f ( x ) = f ( y ). Equivalente, el A /~ es el sistema de todos los preimages bajo f . Dejar el P (~): El A /~ del → del A sea el mapa de la proyección que envía cada x en el A a su clase de equivalencia _~, y dejó el P del _{del f : El B del → del A /~ sea la función bien definida dada por el P} (_~) del _{del f = el f ( x ). Entonces f = P (~) del P} o del _{del f .
Si f :     del X ; →  El Y es una función surjective, después el X tiene por lo menos tantos elementos como Y, en el sentido de los números cardinales
Si el X y el Y son el finito con el mismo número de elementos, entonces   del f ;:     del X ; →  El Y es surjective si y solamente si el f es el inyectivo.}

Ver también

Función Bijective
Función inyectiva

Opinión de la teoría de la categoría

En la lengua de la teoría de la categoría, las funciones surjective son exacto el Epimorphisms en la categoría de los sistemas .