En las matemáticas, las funciones de cilindro parabólico del son las funciones especiales definidas como soluciones a la ecuación diferencial el $del$

l \ el frac {d^2f} {dz^2} + \ salieron (az^2+bz+c \ derecho) de f=0

Esto se puede traer en dos formas distintas (a) y (b) realizando la secuencia siguiente de operaciones: terminar el cuadrado en el término en los soportes para obtener, $del$

l \ frac {d^2f} {dz^2} + (a {(z \ frac {b} {2a})}^2 - \ frac {b^2} {4a} +c) f=0

Y realizar el cambio de la variable, = \ raíz cuadrada {a} (z \ frac {b} {2a} del $z)\; del\; ;\; z\; =\; i\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{a\}\; (z\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{2a\})$

Entonces, conservando el original z del símbolo para la variable independiente y amontonando los términos constantes en un para la simplicidad, las dos ecuaciones se escribe como: $del$

l \ frac {d^2f} {dz^2} - \ (\ frac {z^2} {4} +a \ derechos) f=0 dejado (a) y $del\; \backslash \; frac\; \{d^2f\}\; \{dz^2\}\; +\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{z^2\}\; \{4\}\; -\; a\; \backslash \; derecho)\; f=0$ dejado (b)

Si f ( un, z ) del

l

es una solución, después está tan f (

l un, − z ), f (− un, iz del ) y f (− un, − iz del ).

Si f ( un, z ) del

l

es una solución de la ecuación (a), entonces f (&minus del

l ; ia, ^{i&pi del del ze del ; /4})

está una solución de (b), y, por simetría, f (&minus del

l ; ia, &minus del ; ze ^iπ/4), f (ia, &minus del ; ze ^{−iπ /4}) y f (ia, ^{&minus del del ze del ; iπ /4})

están también las soluciones de (b).

Soluciones

Hay independiente incluso y las soluciones impares de la forma (a). Éstos se dan cerca (siguiendo la notación Abramowitz y Stegun ):

$y\_1\; (a\; del\; ;\; z)\; =\; \backslash \; exp\; (-\; z^2/4)\; \backslash ;\; \_1F\_1\; \backslash \; 2\}\; +\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\; \{\{4\};\; \backslash ;\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash ;\; ;\; \backslash ;\; \backslash \; frac\; \{z^2\}\; \{2\}\; \backslash )$ derecho

y

$y\_2\; (a\; del\; ;\; z)\; =\; z\; \backslash \; exp\; (-\; z^2/4)\; \backslash ;\; \_1F\_1\; \backslash \; 2\}\; +\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{a\}\; \{\{4\};\; \backslash ;\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\; \backslash ;\; ;\; \backslash ;\; \backslash \; frac\; \{z^2\}\; \{2\}\; \backslash )$ derecho

donde $\backslash ;\; \_1F\_1\; (a;\; b;\; z)=M\; (a;\; b;\; z)$ es la función hipergeométrica confluente .

Para los valores del Mitad-número entero un, éstos se puede re-expresar en términos de polinomios de Hermite; alternativamente, pueden también ser expresados en términos de funciones de Bessel Del

.