En las matemáticas, las funciones especiales son las funciones particulares tal como las funciones trigonométricas que tienen características útiles o atractivas, y que ocurren en diversos usos a menudo bastante para autorizar un nombre y una atención sus los propios. No hay teoría de las funciones del general del, como tal; eso es cubierta principalmente por el análisis matemático y el análisis funcional .

Teoría clásica

Mientras que la trigonometría puede ser codificada, como estaba claro ya a los matemáticos expertos del siglo XVIII (si no antes), la búsqueda para una teoría completa y unificada de funciones especiales ha continuado desde el siglo XIX . El punto álgido de la teoría de la función especial en el período 1850-1900 era la teoría de las funciones elípticas que los tratados de que eran esencialmente completos, por ejemplo el de la curtiduría y de Molk, se podrían escribir como manuales a todas las identidades básicas de la teoría. Fueron basados en técnicas complejas del análisis .

Sería asumido desde entonces que la teoría de la función analítica, que había unificado ya el trigonométrico y las funciones exponenciales era una herramienta fundamental. El final del siglo también consideró una discusión muy detallada de los armónicos esféricos

Cambio y motivaciones fijas

Por supuesto el deseo para una teoría amplia incluyendo tanto como sea posible de las funciones especiales sabidas tiene su súplica intelectual, pero vale el observar de otras razones de quererla. Las funciones especiales estaban durante mucho tiempo en la provincia particular de las matemáticas aplicadas ; los usos a las ciencias físicas y la ingeniería determinaron la importancia relativa de funciones. En los días antes de la computadora electrónica, el último elogio a una función especial era el cómputo, a mano, de las tablas extendidas de sus valores . Esto era un proceso costoso, previsto para hacer la función disponible por las operaciones de búsqueda, en cuanto a las tablas de logaritmo del familiar . Los aspectos de la teoría que entonces importados pudieron entonces estar dos:
el

para el análisis numérico, el descubrimiento de la serie infinita o la otra expresión analítica permitiendo el cálculo rápido; y
reducción de tantas funciones como sea posible a la función dada.

En cambio, uno pudo decir, allí es acercamientos típicos de los intereses de las matemáticas puras : Análisis asintótico, continuación analítica y Monodromy en el plano complejo, y el descubrimiento de los principios de la simetría y de la otra estructura detrás del façade de fórmulas sin fin en filas. No hay un conflicto verdadero entre estos acercamientos, de hecho.

vigésimo siglo

El vigésimo siglo consideró varias ondas del interés en teoría de la función especial. El clásico Whittaker del y el libro de textos de Watson intentaron unificar la teoría usando las variables complejas el del tomo G. Watson que un tratado en la teoría de las funciones de Bessel empujó las técnicas lo más lejos posible para un tipo importante que admitió particularmente la asintótica que se estudiará.

El proyecto posterior del manuscrito de Bateman, bajo dirección editorial Arturo Erdélyi, frustrada para ser enciclopédico, y vino aproximadamente el tiempo en que el cómputo electrónico cambiaba las motivaciones. La tabulación es no más el punto principal.

Teorías contemporáneas

La teoría moderna de los polinomios ortogonales está de un alcance definido pero limitado. La serie hipergeométrica se convirtió en una teoría intrincada, necesitando el arreglo conceptual posterior. Los grupos de mentira y particularmente su teoría de la representación, explican lo que se podría modificar un que la función esférica puede ser en general a partir de 1950 hacia adelante porciones substanciales de la teoría clásica en términos del grupo de mentira. Además, el trabajo sobre la combinatoria algebraica también restableció interés en más viejas partes de la teoría. Las conjeturas Ian G. Macdonald ayudaron a abrir nuevos campos grandes y activos con el sabor típico de la función especial. Las ecuaciones de diferencia han comenzado a tomar su lugar además de las ecuaciones diferenciales como fuente para las funciones especiales.

En gran número teoría

En la teoría de número ciertas funciones especiales se han estudiado tradicionalmente, por ejemplo la serie de Dirichlet particular y las formas modulares que casi todos los aspectos de la teoría de la función especial se reflejan allí, así como algunos nuevos, por ejemplo salió de la teoría monstruosa del alcohol ilegal .

Ver también

.