En las matemáticas, las tablas de las funciones trigonométricas son útiles en un número de áreas. Antes de la existencia de las tablas trigonométricas del de las calculadoras de bolsillo eran esenciales para la navegación, la ciencia y la ingeniería . El cálculo de las tablas matemáticas era un campo de estudio importante, que llevó al desarrollo de los dispositivos computacionales mecánicos primero.

Las computadoras y las calculadoras de bolsillo modernas ahora generan valores de la función trigonométrica a pedido, usar bibliotecas especiales del código matemático. A menudo, estas bibliotecas utilizan las tablas calculadas de antemano interno, y computan el valor required usando un método apropiado de la interpolación.

La interpolación de las tablas de operaciones de búsqueda simples de funciones trigonométricas todavía se utiliza en los gráficos de computadora, donde están no necesarios los cálculos exactos, o no se puede hacer rápidamente bastante.

Otro uso importante de tablas trigonométricas y de esquemas de la generación está para el que Fourier rápido transforma los algoritmos de (FFT), donde los mismos valores de la función trigonométrica (llamados vuelta ligera del descompone en factores ) se deben evaluar muchas veces en dado transforman, especialmente en el caso común donde se computan muchos transforman de los mismos tamaños. En este caso, la llamada de rutinas de biblioteca genéricas es cada vez inaceptable lenta. Una opción es llamar las rutinas de biblioteca una vez, para acumular una tabla de esos valores trigonométricos que sean necesarios, pero éste requiere memoria significativa almacenar la tabla. La otra posibilidad, puesto que una secuencia regular de valores se requiere, es utilizar una fórmula de repetición para computar los valores trigonométricos en marcha. La investigación significativa se ha dedicado a encontrar los esquemas exactos, estables de la repetición para preservar la exactitud del FFT (que es muy sensible a los errores trigonométricos).

fórmulas del Mitad-ángulo y de la ángulo-adición

Históricamente, el método más temprano por el cual las tablas trigonométricas eran computadas, y probablemente el más común hasta el advenimiento de computadoras, eran aplicar en varias ocasiones las identidades trigonométricas del mitad-ángulo y de la ángulo-adición a partir de un valor conocido (tal como pecado (π/2)=1, lechuga romana (π/2)=0). Las identidades relevantes, las primeras registraron la derivación cuyo está al lado de Ptolemy, son: $del$

l \ lechuga romana \ (\ frac {x} {2} \ derecho) = dejado \ P. \, \ raíz cuadrada {\ frac {1 + \ lechuga romana (x)} {2}} $del$

l \ pecado \ (\ frac {x} {2} \ derecho) = dejado \ P. \, \ raíz cuadrada {\ frac {1 - \ lechuga romana (x)} {2}} $del$

l \ pecado (= \ pecado de x \ del P. y) (x) \ lechuga romana (y) \ P. \ lechuga romana (x) \ pecado (y) \, $del$

l \ lechuga romana (= \ lechuga romana de x \ del P. y) (x) \ lechuga romana (y) \ P. \ pecado (x) \ pecado (y) \,

Las otras permutaciones en estas identidades son posibles (por ejemplo, las tablas trigonométricas más tempranas no seno y coseno usado, pero seno y Versine ).

Un rápido, pero inexacto, aproximación

Un rápido, pero inexacto, algoritmo para calcular una tabla del n del _{del s de las aproximaciones del N para el pecado (&pi de 2 ; el n / N de ) y el n} del _{del c para el lechuga romana (2π n / N ) es: s del}

l ₀ = 0 c del
₀ = 1 n del _{del s del
+1} = n del _{del s} + × del d ; n del _{del c n} del _{del c +1} = &minus del n del _{del c ; × del d ; n} del _{del s para el n = 0,…, N -1, donde d = 2π/ N .}

Éste es simplemente el método de Euler para integrar la ecuación diferencial :

l
de $ds/dt\; =\; de\; c$ $dc/dt\; =\; -\; s$

con inicial condiciona el s (0) = 0 y el c (0) = 1, cuya solución analítica es el s = pecado ( t ) y el c = lechuga romana ( t ).

Desafortunadamente, esto no es un algoritmo útil para generar las tablas del seno porque tiene un error significativo, proporcional a 1 N .

Por ejemplo, porque el N = 256 el error máximo en los valores del seno es ~0.061 (el s ₂₀₂ = − 1.0368 en vez de − 0. Para el N = 1024, el error máximo en los valores del seno es ~0.015 (el s ₈₀₃ = − 0.99321 en vez de − 0.97832), cerca de 4 veces más pequeño. Si se trazaran los valores del seno y del coseno obtenidos, este algoritmo dibujaría un espiral logarítmico algo que un círculo.

Un mejor, pero aún imperfecto, fórmula de repetición

Una fórmula de repetición simple para generar las tablas trigonométricas se basa en la fórmula de Euler y la relación: $e^\; del$

l {i (\ + \ delta \ theta de la theta)} = e^ {i \ theta} \ e^ de las épocas {i \ delta \ theta}

Esto lleva a la repetición siguiente para computar el trigonométrico n del _{del n} y del c del _{del s de los valores como arriba: c del}

l ₀ = 1 s del
₀ = 0 n del _{del c del
+1} = &minus del n del _{del c del r} del _{del w ; n del del s n del del s del i del del w +1 = n del del c del i del del w + n} del _{del s del r} del _{del w para el n = 0,…, &minus del N ; 1, donde r del del w = lechuga romana (2π/ N ) y i del del w = pecado (2π/ N ). Estos dos valores trigonométricos que comienzan se computan generalmente usar funciones de biblioteca existentes (pero podría también ser encontrado e. empleando el método de Newton en el plano complejo para solucionar para la raíz primitiva del &minus del N del ^{del z ; 1).}}

Este método produciría una tabla exacta del en aritmética exacta, pero tiene errores en aritmética flotante de la finito-precisión. De hecho, los errores crecen como O ( N del ε) (en los casos peores y medios), donde está la precisión el ε flotante.

Una mejora significativa es utilizar la modificación siguiente al antedicho, un truco (debido al Singleton) de uso frecuente para generar los valores trigonométricos para las puestas en práctica de FFT: c del

l ₀ = 1 s del
₀ = 0 n del _{del c del
+1} = &minus del n del _{del c ; (α n del del c + β n del del s n del del s ) +1 = n del del s + (β &minus del n} del _{del c ; α n} ) del _{del s}

donde α = pecado 2 ² ( N de π/) y β = pecado (2π/ N ). Los errores de este método son mucho más pequeños, O ( N del √ del ε) en promedio y O ( N del ε) en el peor caso, pero éste es todavía bastante grande degradar substancialmente la exactitud de FFTs de tamaños grandes.

Ver también

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