En la álgebra del extracto, un que genera el sistema de un grupo $G$ es un S del subconjunto tales que cada elemento del G se puede expresar como el producto finito de muchos elementos del S y de sus lo contrario.

Más generalmente, si el S es un subconjunto de un G del grupo, después el < S >, el subgrupo del generado por $S$, es el subgrupo más pequeño G que contiene cada elemento del S, significando la intersección sobre todos los subgrupos que contienen los elementos del S ; equivalente, < S> es el subgrupo de todos los elementos de G que se puedan expresar como el producto finito de elementos en S y sus lo contrario.

Si G = < S>, entonces decimos que del S genera el G de ; y los elementos en S se llaman los generadores o los generadores del grupo del . Si el S es el sistema vacío, después el < S > es el grupo trivial { e }, puesto que consideramos el producto vacío ser la identidad.

Cuando hay solamente un solo x del elemento en S, el < S > se escribe generalmente como < x >. En este caso, el < x > es el subgrupo cíclico de las energías de x, un grupo cíclico, y decimos que el x genera a este grupo. El equivalente a decir un x del elemento genera a grupo está diciendo que tiene orden |G|, o ese < x > iguala el grupo entero G.

Grupo finito generado

Si el S es finito, entonces un   de G grupo; =  el < S > se llama el finito generado. La estructura de los grupos abelianos finito generados particularmente se describe fácilmente. Muchos teoremas que son verdades para los grupos finito generados fallan para los grupos en general.

Generan a cada grupo finito finito desde < >  de G del ; =  G . Los números enteros bajo adición son un ejemplo de un grupo infinito que finito sea generado por <1> y <-1>, pero el grupo de los números racionales bajo adición no puede finito ser generado. Ningún grupo no numerable puede finito ser generado.

Diversos subconjuntos del mismo grupo pueden generar subconjuntos; por ejemplo, si p y q son números enteros con el gcd ( p,     del q ); =  1, entonces < { p,   el q } > también genera el grupo de números enteros bajo adición (por la identidad de Bézout).

Mientras que es verdad que cada cociente de un grupo finito generado finito está generado (toma simplemente las imágenes de los generadores en el cociente), un subgrupo de un grupo finito generado no necesita finito ser generado. Por ejemplo, dejar el G ser el grupo libre en dos generadores, x y y (que claramente finito se genere, desde el G = < {el x, el y } >), y dejar el S sea el subconjunto que consiste en todos los elementos del G del ^{&minus xy del del n} del ^{del y de la forma; n} , para el n un número natural . Puesto que el < S > es claramente isomorfo al grupo libre en generadores contables, no puede finito ser generado. Sin embargo, cada subgrupo de un grupo abeliano finito generado que está en sí mismo finito generó. Puede ser dicho algo más sobre esto sin embargo: la clase de todos los grupos finito generados es cerrada bajo extensiones . Para ver esto, tomar un sistema de generación para el subgrupo normal (finito generado) y el cociente: entonces los generadores para el subgrupo normal, junto con los preimages de los generadores para el cociente, generan a grupo.

Grupo libre

El grupo más general generado por un S del sistema es el ''' libremente generado del ''' del grupo al lado del S . Cada grupo generado por S es el isomorfo a un grupo de factor de este grupo, una característica que se utilice en la expresión de la presentación de un grupo.

Subgrupo de Frattini

Un asunto interesante del compañero es el de los no-generadores . Un x del elemento del G del grupo es un no-generador si cada S del sistema que contiene el x que genera el G, todavía genera el G cuando el x se quita del S . En los números enteros con la adición, el único no-generador es 0. El sistema de todos los no-generadores forma un subgrupo del G, el subgrupo de Frattini.

Ejemplos

El grupo de las unidades U ( Z ₉) es el grupo de toda la prima de los números enteros relativamente a 9 bajo MOD 9 de la multiplicación (U₉ = {1. La aritmética aquí es todo el Modulo hecho 9. siete no es un generador de U ( Z ₉), desde entonces $del$

l \ {7^i \ pmod {9} \ |\ i \ en \ mathbb {} \} de N = \ {7.

mientras que es 2, desde entonces: $del$

l \ {2^i \ pmod {9} \ |\ i \ en \ mathbb {} \} de N = \ {2.

Por una parte, el grupo simétrico n del tamaño no es cíclico, así que no es generado por ningún un elemento. Sin embargo, es generado por las dos permutaciones (1 2) y (1 2 3… n ). Por ejemplo, porque S ₃ que tenemos: e del

l = (1 2) (1 2)
(1 2) = (1 2)
(2 3) = (1 2) (1 3)
2 (1 3) = (1 2 3) (1 2)
(1 2 3) = (1 3)
2 (1 3 2) = (1 2) (1 2 3) (1 2)

Los grupos infinitos pueden también tener sistemas de generación finitos. El grupo aditivo de números enteros tiene 1 pues un sistema de generación. El elemento 2 no es un sistema de generación, pues los números impares faltarán. El subconjunto del dos-elemento {3, 5} es un sistema de generación, desde (- 5) + 3 + 3 = 1 (de hecho, cualquier par de números coprimeros está, como consecuencia de la identidad de Bézout).

Ver también

gráfico de Cayley
que genera el sistema para los significados relacionados en otras estructuras
Presentación de un grupo

.

Zenithic

Bismuth-209

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