ortal Geometría (γεωμετρία griego del del ; el geo = la tierra, el metria = la medida) es una parte de las matemáticas referidas a cuestiones del tamaño, de la forma, y de la posición relativa de figuras y a las características del espacio. La geometría es una de las más viejas ciencias. Inicialmente un cuerpo del conocimiento práctico referente las áreas de las longitudes y a los volúmenes en el tercer siglo A., geometría fue puesto en una forma axiomática por el Euclid, cuyo tratamiento - geometría euclidiana - fijar un estándar por muchos siglos para seguir. El campo de la astronomía, trazando especialmente las posiciones de las estrellas y de los planetas respecto a la esfera celestial, sirvió como fuente importante de problemas geométricos durante los uno y medio milenios próximos.

La introducción de los coordenadas por el René Descartes y el desarrollo concurrente de la álgebra marcó una nueva etapa para la geometría, desde figuras geométricas, tales como curvas planas que podría ahora ser el representado analítico, es decir, con funciones y ecuaciones. Esto desempeñó un papel dominante en la aparición del cálculo en el siglo XVII. Además, la teoría de la perspectiva demostró que hay más a la geometría que apenas las características métricas de figuras. El tema de la geometría fue enriquecido más a fondo por el estudio de la estructura intrínseca de los objetos geométricos que originaron con el Euler y el gauss y llevado a la creación de la topología y de la geometría diferenciada .

Desde el descubrimiento del siglo XIX de la geometría No-Euclidiana, el concepto del espacio ha experimentado una transformación radical. La geometría contemporánea considera los espacios de los múltiples que son considerablemente más abstractos que el espacio euclidiano familiar, a que él se asemeja solamente aproximadamente en las pequeñas escalas. Estos espacios se pueden dotar con la estructura adicional, permitiendo que una hable sobre longitud. La geometría moderna tiene enlaces fuertes múltiples con la física, ejemplificada por los lazos entre la geometría Riemannian y la relatividad general . Una de las teorías físicas más jovenes, la teoría de la secuencia, es también muy geométrica en sabor.

La naturaleza visual de la geometría hace inicialmente más accesible que otras partes de matemáticas, tales como álgebra o teoría de número . Sin embargo, la lengua geométrica también se utiliza en los contextos que se quitan lejos de su procedencia tradicional, euclidiana, por ejemplo, en la geometría del fractal, y especialmente en la geometría algebraica .

Historia de la geometría

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¡ Los principios registrados más tempranos de la geometría se pueden remontar al antiguo Mesopotamia, al Egipto, y al valle de Indus alrededor 3000 A. La geometría temprana era una colección de principios empírico descubiertos referentes longitudes, ángulos, áreas, y a los volúmenes, que fueron desarrollados para cubrir una cierta necesidad práctica en el que examinaba, la construcción, la astronomía, y varios artes. Los textos sabidos más tempranos en geometría son el papiro egipcio de Rhind y el papiro de Moscú, las tabletas de arcilla babilónicas, y el indio Shulba Sutras, mientras que el chino tenía el trabajo Mozi, Zhang Heng, y de los capítulos nueve del en el arte matemático, corregido por el Liu Hui .

El de de Euclid los elementos de la geometría ( 300 BCE de la C.) era uno de los textos tempranos más importantes en la geometría, en la cual él presentó geometría en una forma axiomática ideal, que vino ser conocida como geometría euclidiana . El tratado no es, como se piensa a veces, un compendio de todos que los matemáticos helenísticos sabían sobre geometría en aquel momento; algo, es una introducción elemental a él; Euclid mismo escribió ocho libros avanzados en geometría. Sabemos de otras referencias que Euclid no era el primer libro de textos de la geometría elemental, pero los otros bajaron en dejar de usar y fueron perdidos.

En las Edades Medias, los matemáticos musulmanes contribuidos al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica y la álgebra geométrica . 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos tales como duplicación del cubo a los problemas en la álgebra . Ibn Qurra de Thābit (conocido como Thebit en el latino) (836-901) ocupado de las operaciones aritméticas aplicadas a los cocientes de cantidades geométricas, y contribuidas al desarrollo de la geometría analítica . El Omar Khayyám (1048-1131) encontró que las soluciones geométricas a las ecuaciones cúbicas y a sus estudios extensos del paralelo postulan contribuido al desarrollo de la geometría No-Euclidiana .

En el siglo XVII temprano, había dos progresos importantes en geometría. El primer, y el más importante, era la creación de la geometría analítica, o la geometría con el coordina y las ecuaciones, por el René Descartes (1596-1650) y el Pierre De Fermat (1601-1665). Esto era un precursor necesario al desarrollo del cálculo y a una ciencia cuantitativa exacta de la física . El segundo desarrollo geométrico de este período era el estudio sistemático de la geometría descriptiva al lado de Girard Desargues (1591-1661). La geometría descriptiva es el estudio de la geometría sin la medida, apenas el estudio de cómo los puntos alinean con uno a.

Dos progresos en geometría en el siglo XIX cambiaron la manera que había sido estudiada previamente. Éstos eran el descubrimiento de las geometrías no-Euclidianas al lado de Lobachevsky, Bolyai y el gauss y de la formulación de la simetría como la consideración central en el programa de Erlangen Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidianas y no euclidianas). Dos de los geómetras principales del tiempo eran Bernhard Riemann, trabajando sobre todo con las herramientas del análisis matemático, e introduciendo el Riemann superficial, y el Enrique Poincaré, el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos

Como consecuencia de estos cambios importantes en el concepto de la geometría, el concepto de " space" se convirtieron algo rico y variado, y el fondo natural para las teorías tan diferentes como el análisis complejo y los mecánicos clásicos . El tipo tradicional de geometría fue reconocido como que de los espacios homogéneos esos espacios que tienen una suficiente fuente de la simetría, de modo que de punto a punto miren apenas iguales.

¿Cuál es geometría?

El desarrollo registrado de la geometría atraviesa más de dos milenios. Es apenas asombrosamente que las opiniones de qué constituyó la geometría desarrollada a través de las edades. Los paradigmas geométricos presentaron abajo se deben ver como “cuadros en una exposición ” de una clase: no agotan el tema de la geometría sino reflejan algo algunos de sus temas de definición.

Geometría práctica

No hay duda de que geometría originada como ciencia práctica del, referida a examinar, a medidas, a áreas, y a volúmenes. Entre las realizaciones notables uno encuentra las fórmulas para las áreas de las longitudes y los volúmenes tal como teorema pitagórico, circunferencia y área de un círculo, área de un triángulo, volumen de un cilindro, esfera, y una pirámide . Desarrollo de la astronomía llevada a la aparición de la trigonometría y de la trigonometría esférica, junto con las técnicas de cómputo acompañantes.

Geometría axiomática

Un método de computar las ciertas distancias o alturas inaccesibles basadas en la semejanza de figuras geométricas y atribuidas al Thales presagió un acercamiento más abstracto a la geometría tomada por el Euclid en sus elementos, uno de los libros más influyentes escritos nunca. Euclid introdujo ciertos axiomas o los postulados que expresaban características primarias o evidentes en sí de puntos, de líneas, y de planos. Él procedió riguroso a deducir otras características por el razonamiento matemático. La característica del acercamiento de Euclid a la geometría era su rigor. En el vigésimo siglo, el David Hilbert razonamiento axiomático empleado en su tentativa de poner al día Euclid y de proporcionar fundaciones de la geometría modernas.

Construcciones geométricas

Los científicos antiguos prestaron la especial atención a construir los objetos geométricos que habían sido descritos en una cierta otra manera. Los instrumentos clásicos permitieron en construcciones geométricas son el compás y la regla . Sin embargo, algunos problemas resultados para ser difíciles o imposibles de solucionar por estos medios solamente, y las construcciones ingeniosas usar parábolas y otras curvas, así como los dispositivos mecánicos, fueron encontrados. El acercamiento a los problemas geométricos con medios geométricos o mecánicos se conoce como geometría sintética .

Números en geometría

Los pitagóricos consideraban ya el papel de números en geometría. Sin embargo, el descubrimiento de las longitudes inconmensurables, que contradijeron sus opiniones filosóficas, les hizo números (abstractos) del abandono a favor (concreto) de cantidades geométricas, tales como longitud y área de figuras. Los números fueron reintroducidos en geometría bajo la forma de coordenadas por el Descartes, que realizó que el estudio de formas geométricas se puede facilitar por su representación algebraica. La geometría analítica aplica métodos de álgebra a las preguntas geométricas, relacionando el geométrico curva típicamente y algebraico ideas de las ecuaciones estas desempeñaron un papel dominante en el desarrollo del cálculo en el siglo XVII y llevaron al descubrimiento de muchas nuevas características de curvas planas. La geometría algebraica moderno considera preguntas similares sobre un nivel sumamente más abstracto.

Geometría de la posición

Incluso en épocas antiguas, los geómetras consideraban cuestiones de la posición relativa o la relación espacial de figuras y de formas geométricas. Algunos ejemplos son dados por los círculos inscritos y circunscritos de la intersección y de la tangente de las líneas de los polígonos a las secciones cónicas el mechón y las configuraciones de Menelaus de puntos y de líneas. En las Edades Medias nuevas y cuestiones más complicadas de este tipo eran considerados: ¿Qué el número máximo de esferas simultáneamente está tocando una esfera dada del mismo radio (problema del número que se besa)? ¿Cuál es el embalaje más denso de las esferas del tamaño igual en el espacio (conjetura de Kepler)? La mayor parte de estas preguntas implicaron formas geométricas “rígidas”, tales como líneas o esferas. El descriptivo, el convexo y la geometría discreta son tres subdisciplinas dentro de la actual geometría del día que se ocupan de estos y de preguntas relacionadas.

Un nuevo capítulo en el situs de Geometria del fue abierto por el Leonhard Euler, que echó audazmente hacia fuera las características métricas de figuras geométricas y consideraba su estructura geométrica más fundamental basada solamente en forma. La topología, que creció fuera de geometría, pero dio vuelta en una disciplina independiente grande, no distingue entre los objetos que se pueden deformir continuamente en uno a. Los objetos pueden sin embargo conservar una cierta geometría, como en el caso de los nudos hiperbólicos

Geometría más allá de Euclid

Por casi dos mil años desde Euclid, mientras que la gama de preguntas geométricas pidió y contestó ampliado inevitable, la comprensión básica del espacio seguía siendo esencialmente igual. El Immanuel Kant sostuvo que hay solamente uno, el absoluto, la geometría, que es sabida para ser el verdadero a priori por una facultad interna de mente: La geometría euclidiana era el sintético a priori. Esta visión dominante fue volcada por el descubrimiento revolucionario de la geometría no-Euclidiana en los trabajos del gauss (quién nunca publicaron su teoría), Bolyai, y Lobachevsky, que demostraron que el espacio euclidiano ordinario es solamente una posibilidad del desarrollo de la geometría. Una visión amplia del tema de la geometría entonces fue expresada por el Riemann en su Über de la conferencia del inaugurational muere Hypothesen, liegen ( de Grunde del zu de Geometrie del der del welche en las hipótesis en las cuales la geometría es basado), publicado solamente después de su muerte. La nueva idea de Riemann del espacio probó crucial en teoría de relatividad general de s de Einstein muy general la ' y la geometría Riemannian, que considera los espacios en los cuales la noción de la longitud se define, es un apoyo principal de la geometría moderna.

Simetría

El tema de la simetría en geometría es casi tan viejo como la ciencia de la geometría sí mismo. El círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos llevaron a cabo la significación profunda para muchos filósofos antiguos y fueron investigados detalladamente antes Euclid. Los patrones simétricos ocurren en naturaleza y artístico fueron rendidos en una multiplicidad de formas, incluyendo los gráficos desconcertantes M. No obstante, no era hasta la segunda mitad del siglo XIX que el papel unifying de la simetría en fundaciones de la geometría había sido reconocido. programa de Erlangen de s de Klein Felix el 'proclamó ese, en un sentido muy exacto, la simetría, expresada vía la noción de un grupo de la transformación, determina qué de la geometría es . La simetría en la geometría euclidiana clásico es representada por las congruencias y los movimientos rígidos, mientras que en la geometría descriptiva un papel análogo es desempeñado por las transformaciones geométricas de Collineations que toman líneas rectas en líneas rectas. No obstante estaba en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y la mentira de Sophus que la idea de Klein “define una geometría vía su grupo de la simetría” probó la más influyente. Las simetrías discretas y continuas juegan papel destacado en geometría, el anterior en la topología y la teoría de grupo geométrica, estes 3ultimo en la teoría de la mentira y la geometría Riemannian .

Geometría moderna

La geometría moderna del es el título de un libro de textos popular de Dubrovin, Novikov, y de Fomenko primero publicado en 1979 (en ruso). En cerca de 1000 páginas, el libro tiene un hilo de rosca importante: estructuras geométricas de varios tipos en los múltiples y de sus usos en la física teórica contemporáneo. Un siglo cuarto después de su publicación, sigue habiendo la geometría diferenciada, la geometría algebraica, la geometría simpléctica, y la teoría de la mentira presentada en el libro entre las áreas más visibles de la geometría moderna, con las conexiones múltiples con otras partes de matemáticas y de la física.

Geómetras contemporáneos

Algunas de las figuras prominentes representativas en geometría moderna son Michael Atiyah, Mikhail Gromov, y Guillermo Thurston . La característica común en su trabajo es el uso de los múltiples lisos como la idea básica del espacio del ; tienen de otra manera direcciones e intereses algo diversos. La geometría ahora es, en parte grande, el estudio de las estructuras del en los múltiples que tienen un significado geométrico, en el sentido del principio de covariación que mienta en la raíz de la teoría de la relatividad general en la física teórica. (Véase el : Categoría: Estructuras en los múltiples para un examen.)

Mucha de esta teoría se relaciona con la teoría de la simetría continua del, o es decir los grupos de mentira desde el punto de vista fundacional, en los múltiples y sus estructuras geométricas, importantes son el concepto de Pseudogroup, definido formalmente por el Shiing-shen Chern en la prosecución de las ideas expuestas por el Élie Cartan . Un pseudogroup puede desempeñar el papel de un grupo de mentira de dimensión infinita del .

Dimensión

Donde la geometría tradicional permitió las dimensiones 1 (una línea ), 2 (un plano ) y 3 (nuestro mundo ambiente concebido como de espacio tridimensional ), los matemáticos han utilizado dimensiones más altas por casi dos siglos. La dimensión ha pasado a través de las etapas de ser cualquier n del número natural, posiblemente infinitas con la introducción del espacio de Hilbert, y de cualquier número verdadero positivo en la geometría del fractal. La teoría de la dimensión es un área técnica, inicialmente dentro de la topología general, que discute las definiciones del ; en común con la mayoría de las ideas matemáticas, la dimensión ahora se define algo que una intuición. Los múltiples topológicos conectados tienen una dimensión bien definida; esto es un teorema (invariación del dominio ) algo que cualquier cosa el a priori.

La aplicación la dimensión todavía importa a la geometría, en la ausencia de respuestas completas a las preguntas clásicas. Las dimensiones 3 del espacio y 4 del espacio-tiempo son casos especiales en la topología geométrica . La dimensión 10 o 11 es un número dominante en la teoría de la secuencia. Exactamente porqué es algo a el cual la investigación puede traer a un satisfactorio respuesta geométrica de .

Geometría euclidiana contemporánea

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euclidiano de la geometría

El estudio de la geometría euclidiana tradicional es de ninguna manera muerto. Ahora se presenta típicamente mientras que la geometría de los espacios euclidianos de cualquier dimensión, y del grupo euclidiano de los movimientos rígidos las fórmulas fundamentales de la geometría, tales como el teorema pitagórico, se puede presentar de esta manera para un espacio general del producto interno.

La geometría euclidiana se ha conectado de cerca con la geometría de cómputo, los gráficos de computadora, la geometría convexa, la geometría discreta, y algunas áreas de la combinatoria . El ímpetu fue dado a trabajo adicional sobre geometría euclidiana y los grupos euclidianos por la cristalografía y al trabajo H. Coxeter, y se puede considerar en teorías de los grupos de Coxeter y la teoría de grupo geométrica de Polytopes es un área de extensión de la teoría del dibujo discreto de los grupos de un más general en modelos geométricos y técnicas algebraicas.

Geometría algebraica

El campo de la geometría algebraica es la encarnación moderna que la geometría cartesiana coordina . Después de un período turbulento de la axiomatización, sus fundaciones son en el siglo XXI sobre una base estable. Cualquiera uno estudia el caso “clásico” donde están los múltiples los espacios complejos que se pueden describir por las ecuaciones algebraicas o la teoría del esquema proporciona una teoría técnico sofisticada basada en los anillos comutativos general

El estilo geométrico que tradicionalmente fue llamado el la escuela italiana ahora se conoce como geometría de Birational. Ha hecho progreso en los campos de la teoría de la singularidad de los threefolds y de los espacios de los módulos así como la recuperación y la corrección del bulto de los más viejos resultados. Los objetos de la geometría algebraica ahora se aplican comúnmente en la teoría de la secuencia, así como la geometría Diophantine .

Los métodos de geometría algebraica confían pesadamente en la teoría de la gavilla y otras partes de la álgebra Homological . La conjetura de Hodge es un problema abierto que ha tomado gradualmente su lugar como una de las preguntas principales para los matemáticos. Para los usos prácticos, la teoría de la base de Gröbner y la geometría algebraica verdadera son subcampos importantes.

Geometría diferenciada

La geometría diferenciada, que en términos simples es la geometría de la curvatura, ha sido de importancia cada vez mayor a la física matemática desde la sugerencia que el espacio no es el espacio plano . La geometría diferenciada contemporánea es el intrínseco, significar que el espacio es un múltiple y la estructura es dada por un métrico Riemannian, o análogo, localmente determinando una geometría que sea variable de punto a punto.

Este acercamiento pone en contraste con el punto de vista extrínseco del, donde la curvatura significa que la manera un del espacio dobla dentro de un espacio más grande. La idea de espacios “más grandes” se desecha, y en lugar de otro los múltiples llevan paquetes del vector que el fundamental de a este acercamiento es la conexión entre la curvatura y las clases de la característica según lo ejemplificado por el teorema generalizado del Gauss-Capo.

Topología y geometría

El campo de la topología, que consideró el desarrollo masivo en el vigésimo siglo, es en un sentido técnico un tipo de la geometría de la transformación, en el cual las transformaciones son Homeomorphisms esto se ha expresado a menudo bajo la forma de sentencia “topología es geometría de la caucho-hoja”. La topología geométrica contemporáneo y la topología diferenciada, y los subcampos particulares tales como teoría de Morse, serían contadas por la mayoría de los matemáticos como parte de geometría. La topología algebraica y la topología general han ido sus propias maneras.

Desarrollo axiomático y abierto

El modelo de los elementos, un desarrollo conectado del de Euclid de la geometría como sistema axiomático, está en una tensión con reducción de s de Descartes René 'de la geometría a la álgebra por medio de un sistema coordinado . Había muchos campeones de la geometría sintética, desarrollo del Euclid-estilo de la geometría descriptiva, en el siglo XIX, Jacobo Steiner que era una figura particularmente brillante. En contraste con tales acercamientos a la geometría como un sistema cerrado, culminando en los axiomas de Hilbert y mirado en fecha valor pedagógico importante, la mayoría de la geometría contemporánea es una cuestión de estilo. La geometría sintética de cómputo ahora es una rama de la álgebra de la computadora.

El acercamiento cartesiano predomina actual, con las preguntas geométricas que son abordadas por las herramientas de otras partes de matemáticas, y las teorías geométricas siendo absolutamente abiertas e integradas. Éste debe ser visto en el contexto de la axiomatización del conjunto de las matemáticas puras, que entró encendido en el período c.1950: en principio todos los métodos están en un pie axiomático común. Este acercamiento reductor ha tenido varios efectos. Hay una tendencia taxonómica, que Klein lo que sigue y su programa de Erlangen (una taxonomía basada en el concepto del subgrupo ) arregla teorías según la generalización y la especialización. Por ejemplo el afina la geometría es más general que geometría euclidiana, y más especial que geometría descriptiva. La teoría entera de los grupos clásicos de tal modo se convierte en un aspecto de la geometría. Su teoría invariante, en un punto en el siglo XIX llevado para ser la teoría geométrica principal anticipada, es apenas un aspecto de la teoría general de la representación de los grupos de mentira. Usar los campos finitos los grupos clásicos dan lugar a los grupos finitos estudiados intensivo en lo referente a los grupos simples finitos y a la geometría finita asociada, que tiene lados (cartesianos) combinatorios (sintético) y algebro-geométricos.

Un ejemplo a partir de últimas décadas es la teoría de Twistor Rogelio Penrose, inicialmente una teoría intuitiva y sintética, después demostrado posteriormente para ser un aspecto de la teoría de la gavilla en los múltiples complejos en cambio, la geometría no conmutativa Alain Connes es un uso consciente de la lengua geométrica de expresar los fenómenos de la teoría de las álgebra de Von Neumann y de ampliar geometría en el dominio de la teoría del anillo donde la ley comutativa de la multiplicación no se asume.

Otra consecuencia del acercamiento contemporáneo, atribuible en gran medida a la cama de Procusto representada por la axiomatización de Bourbakiste que intenta terminar el trabajo David Hilbert, es crear ganadores y a perdedores. El Ausdehnungslehre (cálculo del de la extensión) Hermann Grassmann era durante muchos años un remanso matemático, compitiendo en tres dimensiones contra otras teorías populares en el área de la física matemática tal como ésos derivados Quaternions en la forma de la álgebra exterior general, sintió bien a un beneficiario de la presentación de Bourbaki de la álgebra multilinear, y del 1950 hacia adelante ha sido ubicuo. Más o menos de la misma manera, la álgebra de Clifford llegó a ser popular, ayudado por una álgebra geométrica del de 1957 libros por el Emilio Artin . La historia de “perdió” métodos geométricos, por ejemplo el cerca de los puntos ', que fueron caídos puesto que no manaron ajuste en el post- de Principia Mathematica del mundo matemático puro, está infinitamente con todo no escrito. La situación es análoga a la expulsión Infinitesimals del cálculo diferenciado . Como en ese caso, los conceptos se pueden recuperar por acercamientos y definiciones frescos. Ésos pueden no ser únicos: La geometría diferenciada sintética es un acercamiento a los infinitesimals del lado de la lógica categórica, pues el análisis no estándar está por medio de la teoría modelo .

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