Un f de la función: El A ¹ del → del n del ^{del A reputa el regular si puede ser escrito como polinomio, es decir, si hay un polinómico p en el k tales que el f ( t ₁,…, n del _{del t ) = el p ( t 1,…, n} del _{del t ) para cada punto ( t 1,…, n} del _{del t ) del n}} del ^{del A .}

Las funciones regulares encendido afinan el n - el espacio es así exactamente igual que polinomios sobre el k en variables del n . Escribiremos las funciones regulares en el n del ^{del A como k .}

Decimos que un polinómico desaparece en un punto si la evaluación de él en ese punto da cero. Dejar el S ser un sistema de polinomios en el k . El sistema de desaparición del de S (o del lugar geométrico vanishing del ) es el V ( S ) del sistema de todos los puntos en el n del ^{del A donde cada polinomio en el S desaparece. Es decir}

l |\ forall p \ en S, p (t_1, \ puntea, t_n) = 0 \}. \,

Un subconjunto de n del ^{del A que sea el V ( S ), para un cierto S, se llama un sistema algebraico . El V representa la variedad (un tipo específico del de sistema algebraico que se definirá abajo).}

¿Dado un U del subconjunto del n del ^{del A, puede uno recuperar el sistema de los polinomios que lo generan? Si el U es cualquier subconjunto de del n} del ^{del A, definir el I ( U ) para ser el sistema de todos los polinomios cuyo sistema de desaparición contenga el U . El I representa el ideal: si el f de dos polinomios y el g ambos desaparece en el U, después el f + el g desaparece en el U, y si el h es cualquier polinómico, después hf del desaparece en el U, así que el I ( U ) es siempre un ideal del k .}

Dos preguntas naturales a pedir son:
¿Se da un U del subconjunto del n del ^{del A, cuándo el U = el V ( I ( U ))?
¿Dado un S del sistema de polinomios, cuándo es el S = el I ( V ( S ))?}

La respuesta a la primera pregunta es proporcionada introduciendo la topología, una topología de Zariski en el n del ^{del A que refleja directo la estructura algebraica del k . Entonces U = V ( I ( U )) si y solamente si el U es un sistema Zariski-cerrado. La respuesta a la segunda pregunta es dada por Nullstellensatz de Hilbert. En una de sus formas, dice ese I ( V ( S )) es la prima radical del ideal generado por el S . En una lengua más abstracta, hay una conexión de Galois, dando lugar a dos operadores del encierro pueden ser identificados, y desempeñan naturalmente un papel básico en la teoría; el ejemplo se elabora en la conexión de Galois.}

Por varias razones podemos no querer siempre trabajar con la correspondencia ideal entera a un algebraico U del sistema. El teorema de la base de Hilbert implica que los ideales en el k siempre finito están generados.

Un sistema algebraico se llama el irreducible si no puede ser escrito como la unión de dos sistemas algebraicos más pequeños. Un sistema algebraico irreducible también se llama una variedad del . Resulta que un sistema algebraico es una variedad si y solamente si los polinomios que la definen generan una prima ideal del anillo polinómico.

Funciones regulares

Apenas pues las funciones continuas son los mapas naturales en los espacios topológicos y las funciones lisas es los mapas naturales en los múltiples diferenciables que allí es una clase natural de funciones en un sistema algebraico, llamada las funciones regulares. Un que la función regular en un algebraico V del sistema contuvo en el A ⁿ se define para ser la restricción de una función regular en el A ⁿ, en el sentido definimos arriba.

Puede parecer artificial restrictivo requerir que una función regular extiende siempre al espacio ambiente, pero es muy similar a la situación en un espacio topológico normal, donde el teorema de la extensión de Tietze garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado extiende siempre al espacio topológico ambiente.

Apenas como con las funciones regulares encendido afinar el espacio, las funciones regulares en forma del V un anillo, que denotamos por el k . Este anillo se llama el anillo del coordenada del del V .

Puesto que las funciones regulares en V vienen de funciones regulares en el A ⁿ, debe haber una relación entre sus anillos coordinados. Específicamente, conseguir a una función en el k nos tomamos una función en el k, y dijimos que era igual que otra función si dieron los mismos valores cuando estaban evaluados en el V . Éste es igual que diciendo que su diferencia es cero en el V. De esto podemos ver que el k es el k /I ( V ) del cociente.

La categoría de afina variedades

Usar funciones regulares de una variedad de la afinación al A ¹, podemos definir funciones regulares a partir de la una afinamos variedad a otra. Primero definiremos una función regular de una variedad en afinamos el espacio: Dejar el V ser una variedad contenida en el A ⁿ. Elegir las funciones regulares del m en el V, y llamarlas el f ₁,…, el m del _{del f . Definimos un f de la función regular del V al A ^m dejando el f ( t 1,…, n} del _{del t ) = (el f 1,…, m} del _{del f ). Es decir cada i} del _{del f determina un coordenada de la gama f .}

Si el V ' es una variedad contenida en el A ^m, decimos que el f es una función regular del V al V ' si la gama del f se contiene en el V '.

Esto hace que la colección de todo afina variedades en una categoría, donde están los objetos afinan variedades y el Morphisms es mapas regulares. El teorema siguiente caracteriza la categoría de afina variedades: el

l que la categoría de afina variedades es el enfrente de la categoría a la categoría del integral finito generado k - álgebra y sus homomorphisms .

Espacio descriptivo

Comparar esto al V (  de la variedad del y ; -   x ³). Esto es una ecuación cúbica . Como el x aumenta, la cuesta de la línea del origen al punto ( x,   el x ³) llega a ser más grande y más grande apenas como antes. Pero desemejante de antes, como el x disminuye, la cuesta de la misma línea llega a ser otra vez más grande y más grande. Tan el " del comportamiento; en el infinity" de V (y-x³) es diferente del " del comportamiento; en el infinity" del V (  del y ; -   x ²). Es, sin embargo, difícil hacer el concepto de " en el infinity" significativo, si restringimos al trabajo adentro afinar el espacio.

El remedio a esto es trabajar en el espacio descriptivo . El espacio descriptivo tiene características análogas a las de un espacio de Hausdorff del acuerdo . Entre otras cosas, nos deja hacer exacto la noción de " en el infinity" incluyendo el punto extra. El comportamiento de una variedad en eso punto extra entonces nos da más información sobre él. Como resulta, el V (  del y ; -   el x ³) tiene una singularidad a la una de eso punto extra, pero V (  del y ; -   el x ²) es liso.

Mientras que la geometría descriptiva fue establecida original en una fundación sintética, el uso de los coordenadas homogéneos permitió la introducción de técnicas algebraicas. Además, la introducción de técnicas descriptivas hizo muchos teoremas en geometría algebraica más simples y más agudos: Por ejemplo, el teorema de Bézout en el número de puntos de intersección entre dos variedades se puede indicar en su forma más aguda solamente del espacio descriptivo. Por esta razón, el espacio descriptivo desempeña un papel fundamental en geometría algebraica.

El punto de vista moderno

Historia

Prehistoria: Antes del siglo XIX

Tales técnicas de aplicar construcciones geométricas a los problemas algebraicos también fueron adoptadas por un número de matemáticos del renacimiento tales como Gerolamo Cardano y Niccolò Fontana Tartaglia en sus estudios de la ecuación cúbica. El acercamiento geométrico a los problemas de la construcción, algo que el algebraico, fue favorecido por la mayoría de los matemáticos el décimosexto y del siglo XVII, notablemente el Blaise Pascal que discutió contra el uso de métodos algebraicos y analíticos en geometría. El francés Franciscus Vieta de los matemáticos y el posterior René Descartes y el Pierre De Fermat revolucionaron el modo de ver convencional sobre problemas de la construcción a través de la introducción de la geometría coordinada . Estuvieron interesados sobre todo en las características de las curvas algebraicas del, tal como ésos definidas por las ecuaciones Diophantine (en el caso de Fermat), y la reformulación algebraica del Griego clásico trabaja en conics y cubics (en el caso de Descartes).

Durante el mismo período, Blaise Pascal y el Gérard Desargues se acercaron a geometría de una perspectiva distinta, desarrollando las nociones sintéticas de la geometría descriptiva . Pascal y Desargues también estudiaron curvas, pero desde el punto de vista puramente geométrico: el análogo de la construcción griega de la regla y del compás del . En última instancia, la geometría analítica de Descartes y de Fermat ganados hacia fuera, porque él suministraron a matemáticos del siglo XVIII las herramientas cuantitativas concretas necesarias para estudiar problemas físicos usar el nuevo cálculo Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . Sin embargo, antes de fin de siglo XVIII, la mayor parte de el carácter algebraico de la geometría coordinada fue incluido por el cálculo del de los infinitesimals José Louis Lagrange y Leonard Euler .

Diecinueveavo y a principios de siglo 20 siglo

El segundo desarrollo temprano del siglo XIX, de que de integrales abelianos, llevaría el Bernhard Riemann al desarrollo de las superficies de Riemann. ¡

vigésimo siglo

En el Juan Pedro Serre de los años 50 y de los años 60 y el Alexander Grothendieck modificó las fundaciones que hacían uso de la teoría de la gavilla. Más adelante, a partir de cerca de 1960, la idea de los esquemas fue resuelta, conjuntamente con un aparato muy refinado de las técnicas homological . Después de una década de desarrollo rápido el campo se estabilizó en los años 70, y las nuevas aplicaciones fueron hechas, a la teoría de número y a preguntas geométricas más clásicas en variedades, las singularidades y los módulos algebraicos .

Una clase importante de variedades, no facilmente comprensible directo de sus ecuaciones de definición, es las variedades abelianas, que son las variedades descriptivas cuyos puntos forman un grupo abeliano . Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas que tienen una teoría rica. Eran instrumentales en la prueba del teorema pasado de Fermat y también se utilizan en la criptografía elíptica de la curva.

Mientras que mucha de geometría algebraica se refiere a declaraciones abstractas y generales sobre variedades, los métodos para el cómputo eficaz con polinomios concreto-dados también se han desarrollado. El más importante es la técnica de las bases de Gröbner que se emplea en todos los sistemas de la álgebra de la computadora.

Ver también

.