La geometría analítica, también llamada el la geometría coordinada y designada anterior la geometría cartesiana o la geometría analítica, es el estudio de la geometría usar los principios de la álgebra . Que la álgebra de los números verdaderos se puede emplear para rendir resultados sobre la serie continua linear de geometría confía en el axioma del Chantre-Dedekind. El sistema coordinado de cartesiano se aplica generalmente para manipular las ecuaciones para las líneas líneas rectas de los planos del, y el ajusta a menudo adentro dos y a veces en tres dimensiones de la medida. Según lo enseñado en libros de escuela, la geometría analítica se puede explicar más simplemente: se refiere a definir formas geométricas de una manera numérica y a extraer la información numérica de esa representación. La salida numérica, sin embargo, pudo también ser un vector o una forma . Algunos consideran que la introducción de geometría analítica era el principio de las matemáticas modernas .

Historia

Los problemas solucionados griegos de Menaechmus del matemático y los teoremas probados usando un método que tenía una semejanza fuerte al uso de coordenadas y lo se han mantenido a veces que él tenía geometría analítica. Apollonius de Perga, en en la sección determinada ocupada de los problemas de una forma que se pueden llamar una geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar señala en una línea que estaba en un cociente a los otros. Apollonius en el Conics fomenta desarrolló un método que sea tan similar a la geometría analítica que su trabajo está pensado a veces para haber anticipado el trabajo de Descartes por unos 1800 años. Su uso de líneas de referencia, de un diámetro y de una tangente no es esencialmente ningún diferente que nuestro uso moderno de un bastidor coordinado, donde están los abscissas las distancias medidas a lo largo del diámetro del punto de la tangencia, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Él desarrolló más lejos relaciones entre los abscissas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a las ecuaciones retóricas de curvas. Sin embargo, aunque Apollonius viniera cerca de desarrollar geometría analítica, él no manejó hacer tan puesto que él no consideró magnitudes negativas y en todos los casos el sistema coordinado fue sobrepuesto sobre un dado a posteriori de la curva en vez del a priori. Es decir, las ecuaciones fueron determinadas por las curvas, pero las curvas no fueron determinadas por ecuaciones. Los coordenadas, las variables, y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica.

El persa Omar Khayyám del matemático del siglo XI consideró una relación fuerte entre la geometría y la álgebra, y se movía en la dirección correcta cuando él ayudó a cerrar el boquete entre la álgebra numérica y geométrica pero el paso decisivo vino más adelante con Descartes.

La geometría analítica se ha atribuido tradicionalmente al René Descartes que hizo progreso significativo con los métodos de geometría analítica cuando en 1637 en el apéndice dio derecho a la geometría discurso titulado del en el método derecho de conducir la razón en la búsqueda para la verdad en las ciencias, designados comúnmente discurso en el método . Este trabajo, escrito en su lengüeta francesa nativo, y sus principios filosóficos, con tal que la fundación para el cálculo en Europa.

El Abraham de Moivre también inició el desarrollo de la geometría analítica. Con la asunción del axioma del Chantre-Dedekind, esencialmente esa geometría euclidiana es el interpretable en la lengua de la geometría analítica (es decir, cada teorema de uno es un teorema del otro), Alfred que la prueba de de Tarski de la decidibilidad del campo verdadero pedido se podría ver como prueba que la geometría euclidiana es constante y el decidible.

Temas

Los temas importantes de la geometría analítica son
Espacio de vector
definición del plano
Problemas de la distancia
el producto de punto, conseguir el ángulo de dos vectores
el producto cruzado, conseguir un vector perpendicular de dos vectores sabidos (y también de su volumen espacial)
problemas de la intersección

Muchos de estos problemas implican la álgebra linear .

Ejemplo

Aquí un ejemplo de un problema de la búsqueda matemática del talento de los Estados Unidos de América que se puede solucionar vía geometría analítica:

Problema del : en un pentágono convexo $ABCDE$, los lados tienen longitudes $1$, $2$, $3$, $4$, y $5$, aunque no no necesario adentro esa orden. Dejar $F$, $G$, $H$, y $I$ sea los puntos medianos de los lados $AB$, $BC$, $CD$, y $DE$, respectivamente. Dejar $X$ ser el punto mediano del segmento $FH$, y $Y$ sea el punto mediano del segmento $GI$. La longitud de el segmento $XY$ es un número entero. Encontrar todos los valores posibles para la longitud del lado $AE$.

Solución del : dejan $A$, $B$, $C$, $D$, y $E$ estén situados en el $A\; (0.0)$, $B\; (a,\; 0)$, $C\; (b,\; e)$, $D\; (c,\; f)$, y $E\; (d,\; g)$.

Usar la fórmula del punto mediano, los puntos $F$, $G$, $H$, $I$, $X$, y $Y$ se localizan en el $F\; del$

l \ (\ frac {a} {2}, 0 \ derecho) dejado, $G\; \backslash ,\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{e\}\; \{2\}\; \{a+b\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)$, $H\; \backslash ,\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{e+f\}\; \{2\}\; \{b+c\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)$, $I\; \backslash ,\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{f+g\}\; \{2\}\; \{c+d\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)$, $X\; \backslash \; se\; fueron\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{e+f\}\; \{4\; del\; frac\; \{a+b+c\}\; \{4\}\}\; \backslash )$ derecho, y $Y\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{e+f+g\}\; \{4\}\; del\; frac\; \{a+b+c+d\}\; \{4\}\; \backslash \; derecho).$

Usar la fórmula de la distancia, $AE=\; \backslash raíz\; cuadrada\{d^2+g^2\}$ del

l

y = \ frac del $XY=\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{g^2\}\; \{16\}\; del$

l del frac {d^2} {16}} {\ raíz cuadrada {d^2+g^2}} {4}.

Puesto que $XY$ tiene que ser un número entero, $AE\; del\; \backslash \; 0\; equivalente\; \backslash \; pmod\; \{4\}$ (véase la aritmética modular ) tan $AE=4$.

Otro aplicaciones

La geometría analítica, para los geómetras algebraicos, es también el nombre para la teoría (verdadero o) de los múltiples complejos y de los espacios analíticos de un más general definida localmente por la desaparición de las funciones analíticas varias variables complejas (o las a veces verdaderas). Se liga de cerca a la geometría algebraica, especialmente a través del trabajo Juan Pedro Serre en el GAGA del .

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