Geometría conformal - Enciclopedia España

En las matemáticas, la geometría conformal es el estudio del sistema ( conformal) de transformaciones angle-preserving en un múltiple Riemannian o el múltiple Pseudo-Riemannian . Particularmente la geometría conformal en dos dimensiones (verdaderas) es la geometría de las superficies de Riemann.

Geometría plana de Conformally

La geometría plana de Conformally es el estudio del " El espacio euclidiano con un punto agregó en el infinity", o un " El espacio de Minkowski (o pseudo-Euclidiano) con uces par de puntos agregó en el infinity". Es decir, el ajuste es un Compactification de un espacio familiar; la geometría se refiere a las implicaciones de preservar ángulos. El caso euclidiano también se conoce como geometría de Möbius del .

En un nivel abstracto, los espacios euclidianos y pseudo-Euclidianos se pueden manejar más o menos de la misma manera, excepto en el caso de la dimensión dos. El plano de dos dimensiones comprimido de Minkowski exhibe la simetría conformal extensa . Formalmente, su grupo de transformaciones conformales es dimensional infinito. Por el contrario, el grupo de transformaciones conformales del plano euclidiano comprimido es solamente 6 dimensionales.

Dos dimensiones

Espacio de Minkowski

El grupo conformal para el cuadrático 2 xy del q ( x, y ) de la forma de Minkowski = en el plano es el grupo de mentira abeliano : el

| a, b \ en \ mathbb {R} \ derecho \}

con cso (1.1) del de la álgebra de mentira consistiendo en todos los × verdaderos de la diagonal 2; 2 matrices.

Ahora considerar el plano de Minkowski: ² del R equipado del $g métrico del de = dy 2 dx. \,$ Un 1 grupo de parámetro de transformaciones conformales da lugar a un X del campo de vector con la característica que el derivado de la mentira del g a lo largo del X es proporcional al g . Simbólicamente, L g del del X del _{de = λ g para alguÌn λ. Particularmente, usar la descripción antedicha del cso (1.1) del de la álgebra de mentira, esto implica ese L X del _dedx = un}

del dx de ( x ) L X del _dedy = dy del b ( y ) para un cierto con valores reales de las funciones un y el b dependiendo, respectivamente, del x y del y . Inversamente, dado cualesquiera pares de funciones con valores reales, existe un X del campo de vector que satisface 1. por lo tanto la álgebra de mentira de simetrías infinitesimales de la estructura conformal es dimensionales infinito.

El compactification conformal del plano de Minkowski es un producto de cartesiano de dos × del S ¹ de los círculos; S ¹. En la cubierta universal, no hay obstrucción a integrar las simetrías infinitesimales, y así que el grupo de transformaciones conformales es el grupo de mentira dimensional infinito

$(\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathrm {Diff} (S^1)) \ época (\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathrm {Diff} (S^1)) \,$

donde está el grupo Diff ( S ¹) de Diffeomorphism del círculo.

El CSO conformal del grupo (1.1) y su álgebra de mentira están de interés actual en la teoría de campo conformal . Ver también la álgebra de Virasoro.

Espacio euclidiano

El grupo de simetrías conformales del

q cuadrático del de la forma (, \ barra {z} de z) = z \ barra {z}

es el grupo GL₁ ( C ) = el C ^* de números complejos diferentes a cero. Su álgebra de mentira es el gl ₁ ( C ) del = el C .

Considerar el plano complejo (euclidiano) equipado del $g = de DZ métricos d \ barra {z} del .$ Las simetrías conformales infinitesimales satisfacen el _Xdz del $\ del mathbf {L} =$

de f (z) dz _Xd del

\ del mathbf {L} \ barra {z} = f (\ barra {z}) d \ barra {z}

donde el f satisface la ecuación de Cauchy-Riemann, y así que es el olomorfo sobre su dominio. (Véase la álgebra de Witt.)

Los isometries conformales de un dominio por lo tanto consisten en uno mismo-mapas olomorfos. Particularmente, en el &mdash conformal del compactification; el &mdash de la esfera de Riemann ; las transformaciones conformales son dadas por las transformaciones de Möbius $z \ rightarrow \ frac del l {az+b} {cz+d}$

donde un &minus del d de ; el c del b es diferente a cero.

Dimensiones más altas

En dos dimensiones, el grupo de automorfismos conformales de un espacio puede ser absolutamente grande (como en el caso de la firma de Lorentzian) o variable (como con la caja de firma euclidiana). La carencia comparativa de la rigidez del caso de dos dimensiones con el de dimensiones más altas debe al hecho analítico de que los progresos asintóticos de los automorfismos infinitesimales de la estructura son relativamente libres. En la firma de Lorentzian, la libertad está en un par de funciones con valores reales. En euclidiano, la libertad está en una sola función olomorfa.

En el caso de dimensiones más altas, los progresos asintóticos de simetrías infinitesimales son a lo más polinomios cuadráticos. Particularmente, forman una álgebra de mentira dimensional finita. Las simetrías conformales infinitesimales del pointwise de un múltiple pueden ser integradas exacto cuando el múltiple es cierto espacio conformally plano modelo del (encima de llevar las cubiertas universales y los cocientes discretos del grupo).

La teoría general de la geometría conformal es similar, aunque con algunas diferencias, cuando se trata de firma euclidiana y pseudo-Euclidiana. En cualquier caso, hay un número de maneras de introducir el espacio modelo de la geometría conformally plana. A menos que despejar de otra manera del contexto, los convites de este artículo el caso de la geometría conformal euclidiana con la comprensión que también se aplica, mutatis mutandis del, a la situación pseudo-Euclidiana.

El modelo inversivo

El modelo inversivo de la geometría conformal consiste en el grupo de transformaciones locales en el E ⁿ del espacio euclidiano generado por la inversión en esferas. Por el teorema de Liouville, cualquier transformación (conformal) local angle-preserving está de esta forma. De esta perspectiva, las características de la transformación del espacio conformal plano son las de la geometría inversiva .

El modelo descriptivo

El modelo descriptivo identifica la esfera conformal con cierto cuádrico en un espacio descriptivo . Dejar el q denotar la forma cuadrático de Lorentzian en el R ⁿ⁺² definido por el

q del (x_0, x_1, \ ldots, x_ {n+1}) = -2x_0x_ {n+1} +x_1^2+x_2^2+ \ ldots+x_n^2.

En el P ( R ⁿ⁺²) del espacio descriptivo, dejar el S ser el lugar geométrico del q = 0. Entonces el S es el modelo descriptivo (o Möbius) de la geometría conformal. Una transformación conformal en el S es una transformación linear descriptiva del P ( R ⁿ⁺²) que preserva la cuadrica.

En una construcción relacionada, el cuádrico S se piensa en como la esfera celestial en el infinito del cono de la falta de información en el R ^n+1,1 del espacio de Minkowski, que se equipa del cuadrático q de la forma como arriba. El cono nulo es definido por = \ a la izquierda \ {del $N del \ se fue. (x_0, \ ldots, x_ {n+1}) \ derecho| -2x_0x_ {n+1} + x_1^2 + \ ldots+x_n^2 = 0 \ derecho \}.$ Éste es el cono de la afinación sobre el cuádrico descriptivo S . Dejar el N ⁺ ser la parte futura del cono nulo (con el origen suprimido). Entonces el tautológico R ^n+1,1 de la proyección - {0} P ( R ⁿ⁺²) del → restringen a un S del → del N ⁺ de la proyección. Esto da a N ⁺ la estructura de una línea paquete sobre el S . Las transformaciones conformales en el S son inducidas por las transformaciones orthochronous de Lorentz del R ^n+1,1, puesto que éstas son transformaciones lineares homogéneas que preservan el cono nulo futuro.

La esfera euclidiana

Intuitivo, la geometría conformally plana de una esfera es menos rígida que la geometría Riemannian de una esfera. Las simetrías conformales de una esfera son generadas por la inversión en todos sus hyperspheres. Por una parte, los isometries Riemannian de una esfera son generados por inversiones en hyperspheres geodésicos del (véase el teorema de Cartan-Dieudonné.) La esfera euclidiana se puede trazar a la esfera conformal en una manera canónica, pero no viceversa.

La esfera de unidad euclidiana es el lugar geométrico en el
$z^2+x_1^2+x_2^2+ \ ldots+x_n^2=1.$ del
del R ⁿ⁺¹ Esto se puede trazar al R ^n+1,1 del espacio de Minkowski dejando el ${2}} x_1=x_1, \, \, \, de los ldots, \, del x_n=x_n = \ frac {z-1} del x_ {n+1} {\ raíz cuadrada {2}}.$ Se ve fácilmente que la imagen de la esfera bajo esta transformación es nula en el espacio de Minkowski, y así que miente en el N ⁺ del cono. Por lo tanto, determina una sección representativa de la línea S del → del N ⁺ del paquete.

Sin embargo, había una opción arbitraria. De hecho, si el κ ( x ) es cualquier función positiva del x = (el z, x ₀, …, x _n), entonces el de la asignación $x_0 = \, \, del frac {z+1} {\ kappa (x) \ raíz cuadrada {2}} x_1=x_1, \, \, \, de los ldots, \, del x_n=x_n = \ frac {(z-1) \ kappa (x)} {\ raíz cuadrada {2}}$ del x_ {n+1} también da un trazado en el N ⁺. El κ de la función es una opción arbitraria de la escala conformal del .

Métrica representativa

Un representativo métrico Riemannian en la esfera es un métrico que es proporcional a la esfera estándar métrica. La esfera estándar métrica es la restricción del métrico euclidiano en el

g=dz^2+dx_1^2+dx_2^2+ \ ldots+dx_n^2

del
del R ⁿ⁺¹ al

z^2+x_1^2+x_2^2+ \ ldots+x_n^2.

del
de la esfera Un representante conformal del g es un métrico del g del ² del λ de la forma donde está una función el λ positiva en la esfera. La clase conformal del g, denotada, es la colección de todos tales representantes: el

del = \ se fue \ {\ se fue. \ lambda^2g \ derecho| \ lambda>0 \ derecho \}.

Una encajadura de la esfera euclidiana en el N ⁺, como en la sección anterior, determina una escala conformal en el S . Inversamente, cualquier escala conformal en el S es dada por tal encajadura. Así la línea S del → del N ⁺ del paquete se identifica con el paquete de escalas conformales en el S : para dar una sección de este paquete es equivalente a especificar un métrico en la clase conformal.

Modelo métrico ambiente

Construcción ambiente Otra manera de realizar la métrica representativa está a través de un sistema coordinado especial en el R ^n+1,1. Suponer que el euclidiano n - el S de la esfera lleva un sistema coordinado estereográfico . Esto consiste en el mapa siguiente del R ⁿ⁺¹ del ⊂ del S del → del R ⁿ:

$\ mathbf {} \ en \ ^n del mathbf {R} de y \ mapsto \ (\ frac {2 \ mathbf {y}} jado$

de El modelo de Kleinian

Considerar primero el caso de la geometría conformal plana en firma euclidiana. El n - modelo dimensional es la esfera celestial del (el n +2) - dimensional R ^n+1,1 del espacio de Lorentzian. Aquí el modelo es una geometría de Klein: un homogéneo G / H del espacio donde G = TAN (el n +1, 1) actuando en (el n +2) - el dimensional R ^n+1,1 y H del espacio de Lorentzian es el grupo de la isotropía de un rayo nulo fijo en el cono de la luz. Así los modelos conformally planos son los espacios de la geometría inversiva . Para pseudo-Euclidiano de la firma métrica ( p, q ), la geometría plana modelo se define análogo como el espacio homogéneo O ( p +1, q +1)/H, donde el H se toma otra vez como el estabilizador de una línea nula. Observar que los espacios modelo euclidianos y pseudo-Euclidianos son el compacto.

Las álgebra de mentira conformales

Para describir los grupos y las álgebra implicados en el espacio modelo plano, fijar la forma siguiente en el R ^{p+1, q+1}:

Q= \ comienza {el pmatrix} 0&0&-1 \ \ 0&J&0 \ \ -1&0&0 \ extremo {pmatrix}

donde está una forma el J cuadrático de firma ( p, q ). Entonces G = O (el p +1, q +1) consiste en (el n +2)× (matrices del n +2) que estabilizan el Q : MQM DE ^T = Q . Mentira álgebra admite Cartan descomposición

\ mathbf {g} = \ mathbf {g} _ {- 1} \ oplus \ mathbf {g} _0 \ oplus \ mathbf {g} _1

donde

del \ el _ del mathbf {g} {- 1} = \ se fue \ {\ se fue. \ comenzar {el pmatrix} 0&^tp&0 \ \ de 0&0&J^ {- 1} p \ \ 0&0&0 \ extremo {pmatrix} \ derecho| p \ en \ ^n del mathbb {R} \ derecho \}, \ patio \ el _ del mathbf {g} {- 1} = \ se fue \ {\ se fue. \ comenzar {el pmatrix} 0&0&0 \ \ ^tq&0&0 \ \ 0&qJ^ {- 1} &0 \ extremo {pmatrix} \ derecho| q \ en (\ ^n)^* del mathbb {R} \ derechos \}

\ el mathbf {g} _0 = \ se fue \ {\ se fue. \ comenzar {el pmatrix} - a&0&0 \ \ 0&A&0 \ \ 0&0&a \ extremo {pmatrix} \ derecho| A \ en \ mathfrak {tan} (p, q), a \ en \ mathbb {R} \ derechos \} .

Alternativo, esta descomposición está de acuerdo con una estructura natural de la álgebra de mentira definida con el ⊕ del cso ( p, q ) del del ⊕ del R ⁿ ( R ⁿ) ^*.

El estabilizador del rayo nulo que señala encima del vector coordinado pasado es dado por el h del del subalgebra de Borel = &oplus de g ₀ del ; g ₁.

Geometrías de Weyl y la forma de la matanza

¡ La álgebra de mentira conformal Una manera alternativa de llegar el modelo plano está por una investigación directa de la álgebra de mentira de simetrías conformales infinitesimales de un espacio. Observar primero que el grupo de transformaciones lineares que preservan una forma cuadrático de la firma métrica ( p, q ) hasta escala es CO ( p, q ) = los × del R ⁺; O ( p, q ).

Suponer ahora que el R ⁿ se equipa del métrico del $del de la firma ( p, q ) g = (dx^1)^2+ (dx^2)^2+ \ dots+ (dx^p)^2- \ puntos (dx^ {p+q}) ^2.$ La álgebra de mentira de automorfismos conformales infinitesimales del g consiste en = \ sum_i \ xi^i \ frac {\ parcial} del $del de los campos de vector X {\ x^i parcial}$ para cuál matrix-valued función

$\ frac {\ parcial \ xi^i} {\} parcial \ en \ mathbf {co} (p, q) del x^j.$ Considerar + asintótico \ frac {1} del x^ del ${j_1} {2} + \ dots$ del x^ del x^ del t^i_ {j_1j_2} {j_1} {j_2} Entonces las identidades siguientes son inmediatas: el $del \ comienza {arsenal} {l} t^i_ {jk} = \ + \ delta^i_kt^p_ {pj} - g^ del delta^i_jt^p_ {PK} {t^p_ del g_ del ii'} {jk} {del pi'} \ \ t^i_ {jk \ ana} = \ + \ delta^i_kt^p_ {pj \ ana} del delta^i_jt^p_ {PK \ ana} - g^ {t^p_ del g_ del ii'} {jk} {ana del pi'\} \ extremo {arsenal}$ Esta última ecuación implica particularmente que el t ⁱ_jkl debe, de hecho, ser cero puesto que también se requiere ser totalmente simétrico en sus índices más bajos. Semejantemente, todos los términos más altos de la orden en el desarrollo asintótico desaparecen también. Por lo tanto, el primer de estas ecuaciones determina totalmente la estructura de la álgebra de mentira de simetrías infinitesimales del espacio modelo.

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Conformally curvó geometría

Conformally curvó la geometría (designada por sus médicos simplemente geometría conformal) es el estudio de un múltiple Riemannian o del Pseudo-Riemannian M del múltiple con el métrico g . Sin embargo, desemejante en de geometría Riemannian (pseudo-), el métrico se define solamente hasta escala en cada punto. Es decir el métrico se define solamente hasta los cambios del

g \ del mapsto \ lambda g

del de la forma donde está un positivo λ>0 liso funcionar. Una estructura conformal consiste en tan la clase de equivalencia de todos los múltiplos positivos del métrico.

La geometría conformal tiene un número de características que la distingan de geometría Riemannian (pseudo-). El primer es que aunque en geometría Riemannian (pseudo-) una tenga un métrico bien definido en cada punto, en la geometría conformal una tiene solamente una clase de métrica. Así la longitud de un vector de la tangente no puede ser definida, pero el ángulo entre dos vectores todavía puede. Otra característica es que no hay conexión de Levi-Civita porque si el g y el g del λ son dos representantes de la estructura conformal, después los símbolos de Christoffel g y del g del λ no convendrían. Ésos asociados al g del λ implicarían los derivados del λ de la función mientras que ésos asociados al g no.

A pesar de estas diferencias, la geometría conformal es todavía manejable. El tensor de la curvatura de la conexión y de Levi-Civita, aunque solamente siendo definido una vez un representante particular de la estructura conformal se ha seleccionado, satisface ciertas leyes de la transformación que implicaban el λ y sus derivados cuando se elige un diverso representante. Particularmente, (en la dimensión más arriba de 3) que el tensor de Weyl resulta no depender de λ, y así que es un invariante conformal. Por otra parte, aunque no hay conexión de Levi-Civita en un múltiple conformal, hay una conexión de Cartan en un paquete higher-order del marco. Esto permite que uno defina la curvatura conformal, así como otros invariants de la estructura conformal.

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